（江苏专用）2020高考数学二轮复习 专题五 函数、不等式与导数教学案

1专题五函数、不等式与导数[江苏卷5年考情分析]小题考情分析大题考情分析常考点1.函数的基本性质(5年5考)2.函数的零点问题(5年4考)3.导数与函数的单调性(5年2考)4.基本不等式(5年4考)本部分内容在高考解答题中为必考内容，考查类型有四类：第一类考查函数的单调性及应用函数零点求参数(2015年T19)，第二类考查函数与不等式零点问题(2016年T19)，第三类考查函数与导数、函数的极值、零点问题(2017年T20，2019年T19)，第四类考查函数的定义、零点以及导数应用与函数的性质(2018年T19)；题目总体难度较大，多体现分类讨论思想和考查推理论证的能力.偶考点1.一元二次不等式恒成立问题2.线性规划问题第一讲|小题考法——函数考点(一)函数的基本性质主要考查函数的三要素以及函数的单调性、奇偶性、周期性的应用，常结合分段函数命题.[题组练透]1．(2018·江苏高考)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)＝cosπx2，0x≤2，x＋12，－2x≤0，则f(f(15))的值为________．解析：由函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，可知函数f(x)的周期是4，所以f(15)＝f(－1)＝－1＋12＝12，所以f(f(15))＝f12＝cosπ4＝22.答案：222．(2017·江苏高考)已知函数f(x)＝x3－2x＋ex－1ex，其中e是自然对数的底数．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是________．2解析：由f(x)＝x3－2x＋ex－1ex，得f(－x)＝－x3＋2x＋1ex－ex＝－f(x)，所以f(x)是R上的奇函数．又f′(x)＝3x2－2＋ex＋1ex≥3x2－2＋2ex·1ex＝3x2≥0，当且仅当x＝0时取等号，所以f(x)在其定义域内单调递增．因为f(a－1)＋f(2a2)≤0，所以f(a－1)≤－f(2a2)＝f(－2a2)，所以a－1≤－2a2，解得－1≤a≤12，故实数a的取值范围是－1，12.答案：－1，123．(2019·南通等七市一模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋2)＝f(x)．当0x≤1时，f(x)＝x3－ax＋1，则实数a的值为________．解析：f(x＋2)＝f(x)，令x＝－1，得f(－1)＝f(1)，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－1)＝－f(1)，所以f(1)＝0.当0x≤1时，f(x)＝x3－ax＋1，则f(1)＝2－a＝0，故a＝2.答案：24．(2019·南通等七市一模)已知函数f(x)＝(2x＋a)(|x－a|＋|x＋2a|)(a0)．若f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(672)＝0，则满足f(x)＝2019的x的值为________．解析：因为a0，所以f(x)＝（2x＋a）2，x≥－2a，－3a（2x＋a），ax－2a，－（2x＋a）2，x≤a.易知函数f(x)的图象关于点－a2，0对称，且在R上单调递增．若f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(672)＝0，则－a2＝1＋6722，a＝－673，则当x≥－2a时，f(x)≥9a2＝9×67322019，当x≤－a2时，f(x)≤0，所以3×673(2x－673)＝2019，所以x＝337.3答案：337[方法技巧]函数性质的应用技巧奇偶性具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上．尤其注意偶函数f(x)的性质：f(|x|)＝f(x)单调性可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性周期性利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解对称性利用其轴对称或中心对称可将研究的问题，转化到另一对称区间上研究考点(二)基本初等函数主要考查基本初等函数的图象和性质以及由基本初等函数复合而成的函数的性质问题.[题组练透]1．(2018·南通检测)已知幂函数f(x)＝xα，其中α∈－2，－1，12，1，2，3.则使f(x)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数的α的所有取值的集合为________．解析：幂函数f(x)为奇函数，则α＝－1，1，3，f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，则α的所有值为1，3.答案：{1，3}2．已知函数y＝2x＋12x＋1与函数y＝x＋1x的图象共有k(k∈N*)个公共点：A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，…，Ak(xk，yk)，则i＝1k(xi＋yi)＝________．解析：如图，函数y＝2x＋12x＋1与函数y＝x＋1x的图象都关于点(0，1)成中心对称，所以它们的交点也关于点(0，1)成中心对称，且只有两个交点，4所以i＝12xi=0,i＝12yi=2,则i＝1k(xi＋yi)＝2.答案：23．(2018·镇江期末)不等式logax－ln2x＜4(a＞0且a≠1)对任意x∈(1，100)恒成立，则实数a的取值范围为________________．解析：不等式logax－ln2x＜4可化为lnxlna－ln2x＜4，即1lna＜4lnx＋lnx对任意x∈(1，100)恒成立．因为x∈(1，100)，所以lnx∈(0，2ln10)，所以4lnx＋lnx≥4，故1lna＜4，解得lna＜0或lna＞14，即0＜a＜1或a＞e14.答案：(0，1)∪e14，＋∞4．(2019·南京盐城二模)已知函数f(x)＝|x＋3|，x≤0，x3－12x＋3，x0.设g(x)＝kx＋1，且函数y＝f(x)－g(x)的图象经过四个象限，则实数k的取值范围为________．解析：由题意知，要使y＝f(x)－g(x)的图象经过四个象限，只需y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象在(－∞，0)和(0，＋∞)都相交且交点个数大于1.当x0时，f(x)＝x3－12x＋3，f′(x)＝3x2－12.易知f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，且f(2)0.又g(x)＝kx＋1的图象恒过(0，1)，所以易得过(0，1)且与f(x)＝x3－12x＋3(x0)的图象相切的切线的斜率为－9，所以k－9.当x≤0时，作出f(x)＝|x＋3|的图象(图略)，数形结合易知k13.综上可知，实数k的取值范围为－9，13.答案：－9，13[方法技巧]基本初等函数图象与性质的应用技巧(1)指数函数与对数函数的单调性都取决于其底数，当底数a的值不确定时，要注意分a1和0a1两种情况讨论．5(2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断．(3)对于幂函数y＝xα的性质要注意α0和α0两种情况的不同.考点(三)函数的零点问题主要考查函数零点个数问题以及根据函数零点个数求参数的取值范围.[典例感悟][典例](1)(2018·苏锡常镇一模)若函数f(x)＝12x－1，x1，lnxx2，x≥1，则函数y＝|f(x)|－18的零点个数为________．(2)(2018·镇江期末)已知k为常数，函数f(x)＝x＋2x＋1，x≤0，|lnx|，x0，若关于x的方程f(x)＝kx＋2有且只有四个不同解，则实数k的取值构成的集合为________．[解析](1)当x≥1时，y＝lnxx2－18，则lnxx2＝18，即lnx＝18x2，令g(x)＝lnx－18x2，x≥1，则函数g(x)是连续函数且先增后减，g(1)＝－18＜0，g(2)＝ln2－12＞0，g(4)＝ln4－2＜0，由函数的零点判定定理可知g(x)＝lnx－18x2有2个零点．当x＜1时，y＝12x－1，x0，1－12x，x∈[0，1），函数的图象与y＝18的图象如图，则两个函数有2个交点，综上，函数y＝|f(x)|－18有4个零点．6(2)作函数y＝f(x)和y＝kx＋2的图象，如图所示，两图象除了(0，2)还应有3个公共点．当k≥0时，直线应与曲线y＝f(x)(x1)相切，设切点为(x0，lnx0)，则切线斜率为k＝1x0，又k＝lnx0－2x0，则1x0＝lnx0－2x0，解得x0＝e3，此时k＝1e3；当k0时，当y＝kx＋2与曲线y＝x＋2x＋1相切于点(0，2)时，k＝－1，函数y＝f(x)和y＝kx＋2的图象只有3个公共点，不符合题意，当－1k0时，函数y＝f(x)和y＝kx＋2的图象只有3个公共点，不符合题意，当直线y＝kx＋2与y＝f(x)(0x1)相切时，两图象只有3个公共点，设切点为(x0，－lnx0)，则切线的斜率k＝－1x0，又k＝－lnx0－2x0，则－1x0＝－lnx0－2x0，解得x0＝e－1，此时k＝－e不符合题意，当k－e时，两图象只有两个公共点，不合题意，而当－ek－1时，两图象有4个公共点，符合题意，所以实数k的取值范围是1e3∪(－e，－1)．[答案](1)4(2)1e3∪(－e，－1)[方法技巧]利用函数零点的情况求参数值或范围的方法[演练冲关]1．(2019·苏州期末)设函数f(x)＝－x2＋2x，x≥0，－2x，x0，若方程f(x)－kx＝3有三个相异的实根，则实数k的取值范围是________．7解析：法一：方程f(x)－kx＝3，即f(x)＝kx＋3有三个相异的实根，即曲线y＝f(x)和直线y＝kx＋3有三个不同的交点，作出大致图象如图所示．又直线y＝kx＋3和y＝－2x(x0)必有一个交点，所以k－2，则直线y＝kx＋3与曲线y＝－x2＋2x(x≥0)有两个交点，联立方程，得y＝kx＋3，y＝－x2＋2x（x≥0），整理得x2＋(k－2)x＋3＝0(x≥0)，由－（k－2）0，Δ＝（k－2）2－120，得k2－23，故实数k的取值范围是(－2，2－23)．法二：当x0且k≠－2时，方程f(x)－kx＝3可转化为－2x－kx＝3，解为x＝－32＋k，当x≥0时，方程f(x)－kx＝3可转化为－x2＋2x－kx＝3，即x2＋(k－2)x＋3＝0(x≥0)，若Δ＝(k－2)2－120，则x＝2－k±（k－2）2－122，因为方程f(x)－kx＝3有三个相异的实根，所以－32＋k0，2－k－（k－2）2－122≥0，（k－2）2－120，解得－2k2－23，所以实数k的取值范围是(－2，2－23)．答案：(－2，2－23)2．(2019·江苏高考)设f(x)，g(x)是定义在R上的两个周期函数，f(x)的周期为4，g(x)的周期为2，且f(x)是奇函数．当x∈(0，2]时，f(x)＝1－（x－1）2，g(x)＝k（x＋2），0x≤1，－12，1x≤2，其中k0.若在区间(0，9]上，关于x的方程f(x)＝g(x)有8个不同的实数根，则k的取值范围是________．解析：当x∈(0，2]时，y＝f(x)＝1－（x－1）2⇔(x－1)2＋y2＝1(y≥0)，结合f(x)是周期为4的奇函数，可作出f(x)在(0，9]上的图象如图所示．8∵当x∈(1，2]时，g(x)＝－12，又g(x)的周期为2，∴当x∈(3，4]∪(5，6]∪(7，8]时，g(x)＝－12.由图可知，当x∈(1，2]∪(3，4]∪(5，6]∪(7，8]时，f(x)与g(x)的图象有2个交点，∴当x∈(0，1]∪(2，3]∪(4，5]∪(6，7]∪(8，9]时，f(x)与g(x)的图象有6个交点．又当x∈(0，1]时，y＝g(x)＝k(x＋2)(k0)恒过定点A(－2，0)，由图可知，当x∈(2，3]∪(6