（江苏专用）2020高考数学二轮复习 专题一 三角教学案

1专题一三角[江苏卷5年考情分析]小题考情分析大题考情分析常考点1.三角化简求值(5年3考)2.三角函数的性质(5年3考)3.平面向量的数量积(5年5考)江苏高考中，对三角计算题的考查始终围绕着求角、求值问题，以两角和与差的三角函数公式的运用为主，可见三角恒等变换比三角函数的图象与性质更加重要，三角变换的基本解题规律是：寻找联系、消除差异.三角考题的花样翻新在于条件变化，大致有三类：第一类给出三角函数值(见2018年三角解答题)，第二类是给出三角形(见2015年、2016年、2019年三角解答题)，第三类是给出向量(见2017年三角解答题).偶考点1.平面向量的概念及线性运算2.正弦、余弦定理第一讲|小题考法——三角函数、解三角形考点(一)三角化简求值主要考查利用三角恒等变换解决化简求值或求角问题．多涉及两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式.[题组练透]1．计算：sin50°(1＋3tan10°)＝________．解析：sin50°(1＋3tan10°)＝sin50°1＋3sin10°cos10°＝sin50°×cos10°＋3sin10°cos10°＝sin50°×212cos10°＋32sin10°cos10°＝2sin50°cos50°cos10°＝sin100°cos10°＝cos10°cos10°＝1.答案：122．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，则2α－β的值为________．解析：∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tan（α－β）＋tanβ1－tan（α－β）tanβ＝12－171＋12×17＝130，∴0απ2.又∵tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×131－132＝340，∴02απ2，∴tan(2α－β)＝tan2α－tanβ1＋tan2αtanβ＝34＋171－34×17＝1.∵tanβ＝－170，∴π2βπ，－π2α－β0，∴2α－β＝－3π4.答案：－3π43．(2019·江苏高考)已知tanαtanα＋π4＝－23，则sin2α＋π4的值是______．解析：法一：由tanαtanα＋π4＝tanαtanα＋11－tanα＝tanα（1－tanα）tanα＋1＝－23，解得tanα＝2或－13.sin2α＋π4＝22(sin2α＋cos2α)＝22(2sinαcosα＋2cos2α－1)＝2(sinαcosα＋cos2α)－22＝2·sinαcosα＋cos2αsin2α＋cos2α－22＝2·tanα＋1tan2α＋1－22，3将tanα＝2和－13分别代入得sin2α＋π4＝210.法二：∵tanαtanα＋π4＝sinαcosα＋π4cosαsinα＋π4＝－23，∴sinαcosα＋π4＝－23cosαsinα＋π4.①又sinπ4＝sinα＋π4－α＝sinα＋π4cosα－cosα＋π4sinα＝22，②由①②，解得sinαcosα＋π4＝－25，cosαsinα＋π4＝3210.∴sin2α＋π4＝sinα＋α＋π4＝sinαcosα＋π4＋cosαsinα＋π4＝－25＋3210＝210.答案：210[方法技巧]1．解决三角函数求值或求角问题的关键与思路解决三角函数的求值或求角问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”转化为kπ，kπ2(k∈Z)与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2．常见的配角技巧(1)2α＝(α＋β)＋(α－β)；(2)α＝(α＋β)－β；(3)β＝α＋β2－α－β2；(4)α＝α＋β2＋α－β2；(5)α－β2＝α＋β2－α2＋β等．3．三角函数化简的原则及结果4考点(二)三角函数的性质主要考查三角函数的对称性、求函数的单调区间或最值(值域)，以及根据函数的单调性求参数的值或取值范围.[题组练透]1．(2018·江苏高考)已知函数y＝sin(2x＋φ)－π2φπ2的图象关于直线x＝π3对称，则φ的值为________．解析：由题意得fπ3＝sin2π3＋φ＝±1，∴2π3＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，∴φ＝kπ－π6，k∈Z.∵φ∈－π2，π2，∴φ＝－π6.答案：－π62．(2019·南京盐城一模)设函数f(x)＝sinωx＋π3，其中ω＞0.若函数f(x)在[0，2π]上恰有2个零点，则ω的取值范围是________．解析：法一：由f(x)＝0得ωx＋π3＝kπ(k∈Z)，解得x＝kπω－π3ω(k∈Z)，因为ω＞0，且函数f(x)在[0，2π]上恰有2个零点，所以－π3ω＋πω≥0，－π3ω＋2πω≤2π，解得56≤ω＜43.－π3ω＋3πω＞2π，法二：f(x)取零点时，x满足条件x＝－π3ω＋kπω(k∈Z)，当x0时的零点从小到大依5次为x1＝2π3ω，x2＝5π3ω，x3＝8π3ω，所以5π3ω≤2π，8π3ω2π，解得56≤ω＜43.答案：56，433．(2019·苏北三市一模)将函数f(x)＝sin2x的图象向右平移π6个单位长度得到函数g(x)的图象，则以函数f(x)与g(x)的图象的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为________．解析：函数f(x)＝sin2x的图象向右平移π6个单位长度得到函数g(x)＝sin2x－π6＝sin2x－π3的图象，如图所示，点A的坐标为π3，32，B，C之间的距离为一个周期π，所以三角形ABC的面积为12π×2×32＝3π2.答案：3π24．已知函数f(x)＝2sinx－π6sinx＋π3，π6≤x≤5π12，则函数f(x)的值域为________．解析：依题意，有f(x)＝232sinx－12cosx·12sinx＋32cosx＝sinxcosx－32(cos2x－sin2x)＝12sin2x－32cos2x＝sin2x－π3，因为π6≤x≤5π12，所以0≤2x－π3≤π2，从而0≤sin2x－π3≤1，所以函数f(x)的值域为[0，1]．答案：[0，1][方法技巧]1．对于f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象平移后图象关于y轴或原点对称的两种处理方法(1)若平移后所得函数解析式为y＝Asin(ωx＋φ＋θ)，要关于原点对称，则φ＋θ＝kπ，k∈Z；要关于y轴对称，则φ＋θ＝kπ＋π2，k∈Z.(2)利用平移后的图象关于y轴或原点对称得到原函数的对称性，再利用y＝sinx的对称性去求解．62．求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法：求形如y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(A，ω，φ为常数，A≠0，ω0)的单调区间时，令ωx＋φ＝z，则y＝Asinz(或y＝Acosz)，然后由复合函数的单调性求得．(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间．3．求解三角函数的值域的三种方法化归法在研究三角函数值域时，首先应将所给三角函数化归为y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)或y＝Atan(ωx＋φ)的形式，再利用换元t＝ωx＋φ，从而转化为求y＝Asint，y＝Acost或y＝Atant在给定区间上的值域换元法对于无法化归的三角函数，通常可以用换元法来处理，如y＝sinx＋cosx＋sinxcosx，可以设sinx＋cosx＝t来转化为二次函数求值域导数法对于无法化归和换元的三角函数，可以通过导函数研究其单调性和值域考点(三)正、余弦定理主要考查利用正弦定理、余弦定理及三角形面积公式求解三角形的边长、角以及面积，或考查将两个定理与三角恒等变换相结合解三角形.[题组练透]1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosA＝2c－3a，则角B的大小为________．解析：法一：因为2bcosA＝2c－3a，所以由余弦定理得2b·b2＋c2－a22bc＝2c－3a，即b2－a2＝c2－3ac，所以cosB＝a2＋c2－b22ac＝32，因为B∈(0，π)，所以B＝π6.法二：因为2bcosA＝2c－3a，所以由正弦定理得2sinBcosA＝2sinC－3sinA＝2sin(A＋B)－3sinA＝2sinAcosB＋2cosAsinB－3sinA，故2cosBsinA＝3sinA，因为sinA≠0，所以cosB＝32，因为B∈(0，π)，所以B＝π6.答案：π62．(2019·苏锡常镇四市一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知75a＝8b，A＝2B，则sinA－π4＝________．解析：由正弦定理得5sinA＝8sinB，由A＝2B可得sinB＝35，cosB＝45，易得π6＜B＜π4，∴π3＜A＜π2，∴sinA＝2425，cosA＝725，∴sinA－π4＝22(sinA－cosA)＝17250.答案：172503．锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2asinC＝3c，a＝1，则△ABC周长的最大值为________．解析：依题意，由已知条件及正弦定理得2sinAsinC＝3sinC，即sinA＝32.由于三角形为锐角三角形，故A＝π3.由正弦定理asinA＝bsinB＝csinC得b＝23sinB，c＝23sinC，故三角形的周长为1＋23sinB＋23sinC＝1＋23sinB＋23sin2π3－B＝1＋2sinB＋π6，故当B＝π3，即三角形为等边三角形时，周长取得最大值，为1＋2＝3.答案：34．(2018·常熟高三期中)设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，D为AB的中点，若b＝acosC＋csinA且CD＝2，则△ABC面积的最大值是________．解析：因为b＝acosC＋csinA，所以由正弦定理得sinB＝sinAcosC＋sinCsinA，即sinAcosC＋cosAsinC＝sinAcosC＋sinCsinA，因为sinC≠0，所以cosA＝sinA，即tanA＝1，因为A∈(0，π)，所以A＝π4.在△ACD中，由余弦定理得CD2＝b2＋c24－2b·c2cosπ4，即22bc＝4b2＋c2－8≥4bc－8，所以bc≤42－2＝4＋22，当且仅当2b＝c时等号成立，所以S△ABC＝12bcsinA＝12·22bc≤2＋1.答案：2＋1[方法技巧]1．利用正弦、余弦定理解决有关三角形问题的方法(1)解三角形问题时，要注意两个统一原则，即将“边”统一为“角”，将“角”统一为“边”．当条件或结论是既含有边又含有角的形式时，就需要将边统一为角或将角统一为边．在应用这两个原则时要注意：①若式子中含有角的余弦、边的二次式，则考虑用余弦定理进行转化；②若式子中含有角的正弦、边的一次式，则考虑用正弦定理进行转化．8(2)求解与三角形相关的平面几何中的有关量时，由于图形中的三角形可能不止一个，因此，需要合理分析，确定求解的顺序，一般先将所给的图形拆分成若干个三角形，根据已知条件确定解三角形的先后顺序，再根据各个三角形之间的关系求得结果，同时注意平面几何知识的应用．2．与面积、范围有关问题的求解方法(1)与三角形面积有关的问题主要有两种：一是求三角形面积；二是给出三角形的面积，求其他量．解题时主要应用三角形的面积公式S＝12absinC＝12bcsinA