北京市中央民族大学附属中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）

1北京市中央民族大学附属中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）第I卷(共40分)一、选择题（本大题共8小题每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知数列{}na的通项公式为22nann，则10(a)A.100B.110C.120D.130【答案】C【解析】【分析】在数列{}na的通项公式中，令10n，可得10a的值．【详解】数列{}na的通项公式为22nann，则21010210120a.故选：C.【点睛】本题考查已知数列通项公式，求数列的项，考查代入法求解，属于基础题．2.双曲线2224xy1的焦点坐标为（）A.(0,6)和(0,6)B.(6,0)和6(,0)C.(0,2)和(0,2)D.(2,0)和(2,0)【答案】B【解析】【分析】求得双曲线的a，b，c，可得双曲线的焦点坐标．【详解】双曲线方程22124xy可得：2a，2b，226cab，因为双曲线的焦点在x轴上，所以双曲线的焦点为(6，0)，(6，0)．2故选：B．【点睛】本题考查双曲线的焦点的坐标，考查方程思想和运算能力，属于基础题．3.抛物线22yx的准线方程是()A.12xB.12yC.12xD.12y【答案】C【解析】试题分析：由抛物线方程可知，1p，焦点在x轴正半轴，所以其准线方程为122px．故C正确．考点：抛物线准线方程．4.已知不等式20xbxc的解集是[1,2]，则bc的值为()A.1B.1C.2D.2【答案】A【解析】【分析】根据不等式的解集得出对应方程的实数根，由根与系数的关系求出b和c的值，再计算bc．【详解】不等式20xbxc的解集是[1,2]，所以方程20xbxc的实数根为1和2，所以1212bc，解得：3b，2c；所以321bc．故选：A.【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，考查一元二次不等式与一元二次方程根的关系．5.若a，b为正实数，且2ab，则ab的最大值为()A.3B.1C.23D.23【答案】B【解析】【分析】由a，b为正实数，则2()2abab，再验证等号成立，从而得出结论．【详解】a，b为正实数，且222()2abababab，当且仅当1ab成立，因为2ab，所以1ab.故选：B.【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查基本运算求解能力，求解时要注意验证等号成立的条件．6.下列结论正确的是（）A.若acbc，则abB若22ab，则abC.若ab,0c，则acbcD.若ab，则ab【答案】D【解析】试题分析：对于A项，考查的是不等式的性质，当c大于零时才行，所以A不对，对于B项，结论应该为ab，故B项是错的，对于C项，应该是不等式的两边同时加上一个数，不等号的方向不变，故C错，对于D项涉及到的是不等式的乘方运算性质，只有D对，故选D．考点：不等式的性质．【此处有视频，请去附件查看】7.在各项均为正数的等比数列{}na中，12a且2a，42a，5a成等差数列，记nS是数列{}na的前n项和，则5(S)A.60B.61C.62D.64【答案】C【解析】4【分析】利用等差数列的性质及等比数列的通项公式求出公比，然后代入等比数列的前n项和公式得答案．【详解】设各项均为正数的等比数列{}na的公比为q，又12a，则22aq，34222aq，452aq，2aQ，42a，5a成等差数列，344422qqq，332(1)(1)qqq，由0q，解得2q=，552(12)6212S．故选：C.【点睛】本题考查等比数列通项公式、前n项和公式、等差中项性质，考查方程思想和运算求解能力．8.已知直线1:20lmxym与直线2:20lxmy的交点为Q，椭圆22194xy的焦点为1F，2F，则12||||QFQF的取值范围是()A.[4,)B.[4,6]C.[25,)D.[25,6]【答案】D【解析】【分析】根据题意，由直线的方程分析可得直线1l恒过点(2,0)，直线2l恒过点(2,0)，且直线1l与直线2l相互垂直，Q为两直线的交点，进而分析可得Q的轨迹，设(,)Qmn，求出椭圆的焦点坐标，分析可得用m表示21||QF和21||QF的值，据此分析可得答案．5【详解】由条件可知1l恒过点(2,0)M，2l恒过点(2,0)N，且1l，2l垂直，所以点Q在以O为圆心，MN为直径的圆上运动，设(,)Qmn，则224mn，根据椭圆方程可知焦点坐标分别为1(5F，0)，2(5F，0)，则当Q与1F和2F共线时，12||||QFQF最短为12||25FF，又因为2221||(5)925QFmnm，2222||(5)925QFmnm，而2212||||2(||||)2186QFQFQFQF，当且仅当0m，2n=?时等号成立，故12||||QFQF的取值范围是[25，6].故选：D.【点睛】本题考查椭圆的几何性质，涉及轨迹方程的计算，分析出点Q的轨迹是关键，属于中档题．第II卷(共110分)二、填空题：（本大题共6小题每小题5分，共30分）9.双曲线2214xy的渐近线方程________．【答案】12yx【解析】【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【详解】∵双曲线2214xy的a=2，b=1，焦点在x轴上而双曲线22221xyab的渐近线方程为y=±bxa∴双曲线2214xy的渐近线方程为y=±12x6故答案为y=±12x【点睛】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想10.椭圆22113xymm的焦点在x轴上，则实数m的取值范围是_____．【答案】23m【解析】【分析】利用椭圆的标准方程，结合焦点所在的轴，列出不等式求解即可．【详解】椭圆22113xymm的焦点在x轴上，130mm，解得：23m，故答案为：23m．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查对方程的认识，属于基础题．11.等差数列{}na的前n项和为nS，已知70S，80S，则n__时，nS取得最小值．【答案】4【解析】【分析】由等差数列的前n项和公式，可得40a，50a，从而得到前4项和最小．【详解】等差数列{}na的前n项和为nS，由7470Sa，得40a，188458()4()02aaSaa，故50a，所以前4项和最小，故答案为：4．【点睛】考查等差数列前n项和nS的最值，考查逻辑推理能力，求解的关键是找出前4项均小于0，从第5项开始大于0，考查基本运算求解能力．12.已知抛物线24yx的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点(3,2)B，则||||PBPF的最小值为_____．7【答案】4【解析】【分析】过B作BA准线，交准线于点A，则||||PBPF的最小值为||AB，由此能求出||||PBPF的最小值．【详解】抛物线24yx的焦点是F，焦点(1,0)F，准线方程1x，如图，过B作BA准线，交准线于点A，||||PBPF的最小值为||AB，(||||)||134minPBPFAB．故答案为：4．【点睛】本题考查两线段和的最小值的求法，考查抛物线、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．13.若0x，0y，且131xy，则3xy的最小值是________.【答案】16【解析】试题分析：1333333(3)()1010216yxyxxyxyxyxyxy，当且仅当xy时取等号考点：基本不等式求最值【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、8“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.14.设双曲线22221(0,0)xyabab的两个焦点分别是1F、2F，以线段12FF为直径的圆交双曲线于A、B、C、D四点，若A、B、C、D、1F、2F恰为正六边形的六个顶点，则双曲线的离心率等于_____．【答案】31【解析】【分析】由题意可得正六边形的边长为c，由双曲线的定义可得12||||2BFBFa，即32cca，运用双曲线的离心率公式，即可得到所求值．【详解】如图所示：A、B、2F、D、C、1F恰为正六边形的六个顶点，12||2FFc，可得正六边形的边长为c，2211||2()32BFccccc，由双曲线的定义可得12||||2BFBFa，即32cca，即有23131cea．故答案为：31．【点睛】本题考查双曲线的定义和性质，圆与内接正六边形的关系，考查转化与化归思想的运用及运算求解能力．三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15.已知等差数列{}na中，42a，810a．9（1）求数列{}na的通项公式；（2）求数列{}na的前n项和公式nS．【答案】（1）26nan；（2）25nSnn.【解析】【分析】（1）由等差数列通项公式列出方程组，求出14a，2d，即可得到数列{}na的通项公式．（2）由14a，2d，直接代入数列{}na的前n项和公式．【详解】（1）等差数列{}na中，42a，810a，1132710adad，解得14a，2d，4(1)226nann.（2）14a，2d，数列{}na的前n项和公式2(1)4252nnnSnnn．【点睛】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力．16.共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用.据市场分析，每辆单车的营运累计收入fx(单位：元）与营运天数*xxN满足21608002fxxx.（1）要使营运累计收入高于800元，求营运天数的取值范围；（2）每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运收入最大？【答案】（1）要使营运累计收入高于800元，营运天数应该在40,80内取值；（2）每辆单车营运40天，可使每天的平均营运收入最大.【解析】试题分析：⑴根据题意转化为800fx即可求出结果(2)每天的平均营运收入表达式为10fxyx，利用基本不等式求出结果解析：（1）要使营运累计收入高于800元，则21800608008002fxxx408004080xxx所以要使营运累计收入高于800元，营运天数应该在40,80内取值.（2）每辆单车每天的平均营运收入为2160800180018002602602022xxfxyxxxxxx当且仅当18002xx时等号成立，解得40x，即每辆单车营运40天，可使每天的平均营运收入最大.点睛：本题是道二次函数的应用题，将实际问题转为数学模型，利用数学知识来解决问题，结合二次函数的值域来求解范围问题，在解答平均最值问题时先要给出表达式，利用基本不等式求出结果17.已知点1F、2F是椭圆22142xy的焦点，P是椭圆上一点，直线:lyxm．（1）求△12PFF的周长；（2）若直线l与椭圆相切，求m的值；（3）当1m时，直线l与椭圆相交于A、B两点，求弦长||AB．【答案】（1）422；（2）6m；（3）453.【解析】【分析】（1）根据题意可知△12PFF周长1212||||||22PFPFFFac