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-1-2.3.1平面向量基本定理选题明细表知识点、方法题号用基底表示向量1,2,3,6,9,12向量的夹角4任意向量用基底表示唯一性的应用5,7,8,11综合问题10,13基础巩固1.(2018·黄山市高一期末)如图,向量e1,e2,a的起点与终点均在正方形网格的格点上,则向量a用基底e1,e2表示为(C)(A)e1+e2(B)2e1-e2(C)-2e1+e2(D)2e1+e2解析:如图,a=+=-2e1+e2.故选C.2.已知向量a=e1-2e2,b=2e1+e2,其中e1,e2不共线,则a+b与c=6e1-2e2的关系是(B)(A)不共线(B)共线(C)相等(D)不确定解析:因为a+b=3e1-e2,-2-所以c=2(a+b),所以a+b与c共线.3.如图,在矩形ABCD中,若=5e1,=3e2,则等于(A)(A)(5e1+3e2)(B)(5e1-3e2)(C)(3e2-5e1)(D)(5e2-3e1)解析:==(+)=(+)=(5e1+3e2).4.在等腰直角△ABC中,AB⊥AC,则与的夹角是(A)(A)135°(B)90°(C)60°(D)45°解析:作线段AB的延长线AD,则∠DBC是与的夹角,∠DBC=180°-∠ABC=180°-45°=135°.故选A.5.(2018·南昌市高一期末)已知向量a,b不共线,实数x,y满足(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b,则x-y的值为(A)(A)3(B)-3(C)0(D)2-3-解析:由题意得解得所以x-y=3.故选A.6.已知e1,e2不共线,a=e1+2e2,b=2e1+λe2,要使a,b能作为平面内的一组基底,则实数λ的取值范围为.解析:若能作为平面内的一组基底,则a与b不共线.a=e1+2e2,b=2e1+λe2,由a≠kb即得λ≠4.答案:(-∞,4)∪(4,+∞)7.在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则λ+μ=.解析:设=a,=b,则=a+b,=a+b.又因为=a+b,所以=(+).即λ=μ=,所以λ+μ=.答案:8.如图,在▱OACB中,=a,=b,=,OD与BA相交于E,求证:BE=BA.-4-证明:设=λ.则=+=+λ=+λ(-)=λ+(1-λ)=λa+(1-λ)b.=+=a+b.因为O,E,D三点共线,所以与共线.所以=.所以λ=.即BE=BA.能力提升9.(2019·东莞市高一月考)如图,在△ABC中,BE是边AC的中线,O是BE边的中点,若=a,=b,则等于(B)(A)a+b(B)a+b(C)a+b(D)a+b解析:因为在△ABC中,BE是边AC的中线,O是BE边的中点,-5-=a,=b,所以=+=-=b-×(+)=b-(+-)=b-(-2)=b-b+a=a+b.故选B.10.(2018·马鞍山市质检)已知P,Q为△ABC中不同的两点,且3+2+=0,++=0,则S△PAB∶S△QAB为(A)(A)1∶2(B)2∶1(C)2∶3(D)3∶2解析:因为3+2+=2(+)++=0,所以P在与BC平行的中位线上,且是该中位线上的一个三等分点,可得S△PAB=S△ABC,++=0,可得Q是△ABC的重心,因此S△QAB=S△ABC,S△PAB∶S△QAB=1∶2,故选A.11.如图所示,在正方形ABCD中,E为AB的中点,P是以A为圆心,AB为半径的圆弧BD上的任意一点,设∠PAB=θ,向量=λ+μ(λ,μ∈R),若μ-λ=1,则θ=.-6-解析:=cosθ+sinθ,=-+,=+,于是有+=(-λ+μsinθ)+(μcosθ+).由于,不共线,所以-λ+μsinθ=1,μsinθ=1+λ=μ,所以sinθ=1,θ=90°.答案:90°12.(2018·德惠市高一月考)如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别为BC与DC中点,G为BF与DE交点,若=a,=b,试以a,b为基底表示下面向量:(1);(2);(3);(4).解:(1)=-=a-b.(2)=+=a+b.(3)=+=+=-=a-b.-7-(4)设=m+n,则:=2m+;所以解得m=,n=;所以=+=+=--=-a-b.探究创新13.(2019·武平县高一月考)如图所示,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,记=a,=b,(1)若不相等的两个向量ka+b与a+kb共线,求实数k的值.(2)若=ma,=nb,求+的值.解:(1)因为ka+b与a+kb共线,所以存在实数λ,使得ka+b=λ(a+kb),-8-所以解得或.又当λ=1时,ka+b=a+kb,所以λ≠1.所以k=-1.(2)因为O是BC的中点,所以=+=a+b.又=ma,=nb,所以a=,b=,所以=+.因为M,O,N三点共线,所以+=1,所以+=2.