2019-2020学年新教材高中数学 第5章 三角函数 5.6 函数 y=Asin（ωx＋φ） 5.

-1-5.6.1匀速圆周运动的数学模型5.6.2函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(教师独具内容)课程标准：1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义.2.会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象.3.能借助图象理解参数φ，ω，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.4.掌握y＝sinx与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．教学重点：正确理解φ，ω，A对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响，通过图象变换由y＝sinx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象．教学难点：对图象变换与函数解析式变换的内在联系的理解.【知识导学】知识点一参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响(1)φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响(2)ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响(3)A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响-2-知识点二由函数y＝sinx的图象得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的途径由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种主要途径：“□01先平移后伸缩”与“□02先伸缩后平移”．(1)先平移后伸缩(2)先伸缩后平移知识点三函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质-3-注意隐含条件：(1)两条相邻对称轴之间间隔为12个周期；(2)函数在对称轴处取得最大值或最小值．-4-【新知拓展】对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)：(1)A越大，函数的最大值越大，最大值与A是正比例关系．(2)ω越大，函数的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系．(3)φ大于0时，函数y＝Asinωx的图象向左平移φω个单位长度得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，φ小于0时，函数y＝Asinωx的图象向右平移φω个单位长度得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，即“加左减右”．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)把y＝sin2x的图象向左平移π6个单位长度，得到y＝sin2x＋π6.()(2)函数y＝2sin3x－π4，x∈R的最大值为2.()(3)函数y＝2sin2x－π4，x∈R的图象的一个对称中心为π8，0.()(4)五点法作函数y＝2sinx2＋π3在一个周期上的简图时，第一个点为π3，0.()答案(1)×(2)√(3)√(4)×2．做一做(1)将函数y＝sinx的图象向左平移π3个单位长度后所得图象的解析式为()A．y＝sinx－π3B．y＝sinx＋π3C．y＝sinx－π3D．y＝sinx＋π3(2)要得到函数y＝sin2x＋π3的图象，只要将函数y＝sin2x的图象()A．向左平移π3个单位长度B．向右平移π3个单位长度C．向左平移π6个单位长度-5-D．向右平移π6个单位长度(3)将函数y＝sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的14倍(纵坐标不变)得到________的图象．答案(1)D(2)C(3)y＝sin4x题型一作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象例1已知函数y＝2sin2x－π3，用“五点法”画出其简图．[解]列表：描点，连线得函数y＝2sin2x－π3在一个周期内的图象．再将这部分图象向左或向右延伸kπ(k∈Z)个单位长度，就可得函数y＝2sin2x－π3(x∈R)的图象．-6-金版点睛用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤第一步：列表．第二步：在同一坐标系中描出各点．第三步：用光滑曲线连接这些点，得到一个周期内的图象．[跟踪训练1]作出函数y＝12cos12x＋π3在一个周期内的图象．解列表：描点，连线得函数y＝12cos12x＋π3在一个周期内的图象，如图.-7-题型二函数的图象变换例2说明y＝－2sin2x－π6＋1的图象是由y＝sinx的图象经过怎样变换得到的．[解]解法一(先伸缩后平移)：-8-[条件探究]将本例改为：y＝2sin12x－π6＋1的图象是由y＝sinx的图象经过怎样的变换得到的？-9-金版点睛三角函数图象变换的两种方法及两个注意(1)两种方法：方法一是先平移，后伸缩；方法二是先伸缩，后平移．(2)两个注意：①两种变换中平移的单位长度不同，分别是|φ|和φω，但平移方向是一致的．②虽然两种平移的单位长度不同，但因平移时平移的对象已有变化，所以得到的结果是一致的．[跟踪训练2]函数y＝sin5x－π2的图象向右平移π4个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12，所得图象的函数解析式为________．答案y＝sin10x－7π4解析将原函数的图象向右平移π4个单位长度，得到y＝sin5x－π4－π2＝sin5x－7π4的图象，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数y＝sin10x－7π4的图象.题型三求三角函数的解析式-10-例3如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象的一部分，求此函数的解析式．[解]解法一(逐一定参法)：由图象知A＝3，T＝5π6－－π6＝π，∴ω＝2πT＝2，∴y＝3sin(2x＋φ)．∵点－π6，0在函数图象上，∴0＝3sin－π6×2＋φ，∴－π6×2＋φ＝kπ(k∈Z)，得φ＝π3＋kπ(k∈Z)．∵|φ|＜π2，∴φ＝π3，∴y＝3sin2x＋π3.解法二(待定系数法)：由图象知A＝3.由图象过点π3，0和5π6，0，且在π3，0处下降，在5π6，0处上升，可令πω3＋φ＝π，5πω6＋φ＝2π，解得ω＝2，φ＝π3.∴y＝3sin2x＋π3.解法三(图象变换法)：-11-由A＝3，T＝π，点－π6，0在图象上，可知函数图象由y＝3sin2x向左平移π6个单位长度而得，所以y＝3sin2x＋π6，即y＝3sin2x＋π3.金版点睛求函数y＝Asin(ωx＋φ)解析式的方法若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察函数图象的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ.(1)由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|.(2)由函数图象与x轴的交点确定T，由T＝2π|ω|，确定ω.(3)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)中φ的值的两种方法：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω已知，最好是代入图象与x轴的交点)求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点－φω，0作为突破口．“五点”的ωx＋φ的值具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝3π2；“第五点”为ωx＋φ＝2π.[跟踪训练3]下列函数中，图象的一部分如图所示的是()-12-A．f(x)＝3sinx＋π3B．f(x)＝3sinx－π3C．f(x)＝3sin12x＋π6D．f(x)＝3sin12x－π6答案C解析解法一(代值验证法)：把－π3，0代入选项，可排除B，D；再将2π3，3代入，可排除A.故C正确．解法二(逐一定参法)：设f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)．由图知，A＝3，又T＝42π3－－π3＝4π，∴ω＝2πT＝12.由点－π3，0，令－π3×12＋φ＝0，得φ＝π6.∴f(x)＝3sin12x＋π6，选C.解法三(待定系数法)：设f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)，由图知，A＝3.又图象过－π3，0，2π3，3，根据五点法原理(这两点可理解为“五点法”中的第一点和第二点)，有：-13-－π3·ω＋φ＝0，2π3·ω＋φ＝π2，解得ω＝12，φ＝π6.故选C.题型四函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的综合应用例4已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M3π4，0对称，且在区间0，π2上是单调函数，求φ和ω的值．[解]∵f(x)在R上是偶函数，∴当x＝0时，f(x)取得最大值或最小值，即sinφ＝±1，得φ＝kπ＋π2，k∈Z.又0≤φ≤π，∴φ＝π2.由f(x)的图象关于点M3π4，0对称，可知sin3π4ω＋π2＝0，解得ω＝43k－23，k∈Z.又f(x)在0，π2上是单调函数，∴T≥π，即2πω≥π，∴0＜ω≤2，∴当k＝1时，ω＝23；当k＝2时，ω＝2.综上，φ＝π2，ω＝23或2.金版点睛函数y＝Asin(ωx＋φ)的综合运用与正弦函数y＝sinx比较可知，当ωx＋φ＝2kπ±π2(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)取得最大值(或最小值)，因此函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)解出，其对称中心横坐标由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解出，即对称中心为kπ－φω，0(k∈Z)．同理y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解出，对称中心的横坐标由ωx-14-＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)解出．[跟踪训练4]已知函数f(x)＝2sinωx＋φ－π6＋1(0φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求fπ8的值；(2)将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的单调递减区间．解(1)因为f(x)为偶函数，所以φ－π6＝kπ＋π2(k∈Z)，所以φ＝kπ＋2π3(k∈Z)．又0＜φ＜π，所以φ＝2π3，所以f(x)＝2sinωx＋π2＋1＝2cosωx＋1.又函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为π2，所以T＝2πω＝2×π2，所以ω＝2，所以f(x)＝2cos2x＋1，所以fπ8＝2cos2×π8＋1＝2＋1.(2)将f(x)的图象向右平移π6个单位长度后，得到函数fx－π6的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到fx4－π6的图象，所以g(x)＝fx4－π6＝2cos2x4－π6＋1＝2cosx2－π3＋1.当2kπ≤x2－π3≤2kπ＋π(k∈Z)，即4kπ＋2π3≤x≤4kπ＋8π3(k∈Z)时，g(x)单调递减．-15-所以函数g(x)的单调递减区间是4kπ＋2π3，4kπ＋8π3(k∈Z)．题型五函数y＝Asin(ωx＋φ)在实际生活中的应用例5某游乐园的摩天轮最高点距离地面108米，直径长是98米，匀速旋转一圈需要18分钟．如果某人从摩天轮的最低处登上摩天轮并开始计时，那么：(1)当此人第四次距离地面692米时用了多少分钟？(2)当此人距离地面不低于59＋4932米时可以看到游乐园的全貌，求摩天轮旋转一圈过程中有多少分钟可以看到游乐园的全貌？[解](1)如图，建立平面直角坐标系，设此人登上摩天轮t分钟时距地面y米，则α＝2π18t＝π9t.由y＝108－982－982cosπ9t＝－49cosπ9t＋59(t≥0)．令－4