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-1-1.6微积分基本定理1．微积分基本定理(1)定理内容如果f(x)是区间[a，b]上的□01连续函数，并且F′(x)＝□02f(x)，那么abf(x)dx＝□03F(b)－F(a)．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做□04牛顿－莱布尼茨公式．(2)定理的符号表示abf(x)dx＝F(x)|ba＝□05F(b)－F(a)．2．定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，在x轴下方的面积为S下，则(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图①，则abf(x)dx＝□06S上．(2)当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图②，则abf(x)dx＝□07－S下．(3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图③，则abf(x)dx＝□08S上－S下．若S上＝S下，则abf(x)dx＝□090.-2-1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)微积分基本定理中，被积函数f(x)是原函数F(x)的导数．()(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.()(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．()答案(1)√(2)√(3)√答案(1)0(2)2(3)2-3--4-拓展提升求简单的定积分要注意的两点(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．-5-[条件探究]将本例中的2改为a，求－43|x＋a|dx.-6-拓展提升求分段函数的定积分时，可利用积分性质将其表示为几段积分和的形式：(1)对于带绝对值的解析式，先根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝对值号，化为分段函数；(2)含有字母参数的绝对值问题要注意分类讨论．-7-【跟踪训练2】求定积分13|x－2|＋1x2dx.-8-拓展提升微积分基本定理，实际上给出了导数和定积分之间的内在联系，在求解含有参数的定积分问题时，往往要与其他知识联系起来，综合解决．一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数．当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算；其次要注意积分下限不大于积分上限．-9-答案(1)1(2)331.求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分.(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和.(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号后才能积分.-10-2.由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积都是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和．在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数.答案A解析设f(x)＝ax＋b，代入可得a＝4，b＝3.2．定积分01(2x＋ex)dx的值为()A．e＋2B．e＋1C．eD．e－1答案C解析01(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|10＝(1＋e)－(0＋e0)＝e.3．已知f(x)＝3x2＋2x＋1，若-11f(x)dx＝2f(a)成立，则a＝________.答案－1或13解析由已知F(x)＝x3＋x2＋x，F(1)＝3，F(－1)＝－1，所以-11f(x)dx＝F(1)－F(－1)＝4，所以2f(a)＝4，所以f(a)＝2，即3a2＋2a＋1＝2.解得a＝－1或13.4．已知f(x)为一次函数，且f(x)＝x＋201f(t)dt，则f(x)＝________.答案x－1解析设f(x)＝kx＋m(k≠0)，则01f(t)dt＝12kt2＋mt10＝12k＋m，∴kx＋m＝x＋k＋2m，∴k＝1且m＝k＋2m，∴m＝－1.即f(x)＝x－1.-11-5．已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，01f(x)dx＝－2，求a，b，c的值．解由f(－1)＝2得a－b＋c＝2，①又f′(x)＝2ax＋b，所以f′(0)＝b＝0，②而01f(x)dx＝01(ax2＋bx＋c)dx＝13ax3＋12bx2＋cx|10＝13a＋12b＋c，所以13a＋12b＋c＝－2，③由①②③式得a＝6，b＝0，c＝－4.