北京市西城区第四中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）

1北京市西城区第四中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.不等式32xx＜0的解集为A.|23xxB.|2xxC.|23xxx或D.|3xx【答案】A【解析】略【此处有视频，请去附件查看】2.已知数列na满足1nnaan，且12a，那么3a（）A.4B.5C.6D.7【答案】B【解析】【分析】根据递推关系，依次求得23,aa的值.【详解】当1n时，2113aa；当2n时，3225aa.故选B.【点睛】本小题主要考查根据递推关系求数列的项，属于基础题.3.下列命题中的假命题．．．是（）A.xR,30xB.xR，使tan2xC.xR，20xD.xR，使lg0x【答案】A【解析】2【分析】对选项逐一分析命题的真假性，由此得出正确选项.【详解】对于A选项，当0x时，30x，故A选项是假命题；对于B选项，正切函数的值域为R，故B选项是真命题；对于C选项，根据指数函数的值域可知，C选项是真命题；对于D选项，lg10，故D选项是真命题.故选:A.【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题真假性的判断，考查幂函数、正切函数、指数函数和对数函数有关知识，属于基础题.4.已知等差数列na中，11a，公差2d，则na的前5项和等于（）A.15B.17C.15D.17【答案】C【解析】【分析】根据等差数列前n项和公式，求得na的前5项和.【详解】由于数列na是等差数列，所以5151052015Sad.故选：C.【点睛】本小题主要考查等差数列前n项和公式，属于基础题.5.若0ab，则下列不等式中成立的是（）A.22abB.1abC.11abD.11ab【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质，对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A选项，由于0,0abab，220ababab，故22ab，所以A选项不成立.对于B选项，由于0ab，所以1ab，所以B选项不成立.3对于C、D选项，由于0,0abba，110baabab，故11ab，所以C选项不成立，D选项成立.故选：D【点睛】本小题主要考查根据不等式的性质判断不等式是否成立，考查差比较法，属于基础题.6.设2:4Pa,:2Qa，则P是Q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】将,PQ相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件.【详解】由24,2aa.所以PQ，QP，故P是Q的必要不充分条件.故选：B【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，属于基础题.7.若,abR，且0ab，则下列不等式中，恒成立的是A.222ababB.2ababC.112ababD.2baab【答案】D【解析】试题分析：，所以A错；，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，所以当时，B错；同时C错；或都是正数，根据基本不等式求最值，，故D正确．考点：不等式的性质【此处有视频，请去附件查看】48.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于()A.6B.7C.8D.9【答案】A【解析】分析：条件已提供了首项，故用“a1，d”法，再转化为关于n的二次函数解得．解答：解：设该数列的公差为d，则a4+a6=2a1+8d=2×（-11）+8d=-6，解得d=2，所以Sn=-11n+nn12×2=n2-12n=(n-6)2-36，所以当n=6时，Sn取最小值．故选A点评：本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力．【此处有视频，请去附件查看】9.函数9πtan(π)tan2yxxx的最大值为（）A.6B.9C.6D.9【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式，结合正切函数的取值范围，求得函数9πtan(π)tan2yxxx的最大值.【详解】由于ππ2x，所以tan0x，所以999tantan2tan6tantantanyxxxxxx当且仅当9tantanxx，tan3x时等号成立.5故选：C【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，考查正切函数的取值范围，属于基础题.10.已知数列{an}满足an=nkn(n∈N*，0k1)，下面说法正确的是()①当12k时，数列{an}为递减数列；②当112k时，数列{an}不一定有最大项；③当102k时，数列{an}为递减数列；④当1kk为正整数时，数列{an}必有两项相等的最大项.A.①②B.②④C.③④D.②③【答案】C【解析】试题分析：选项①：当12k时，1()2nnan，有112a，211242a，则12aa，即数列na不是递减数列，故①错误；选项②：当112k时，11(1)(1)nnnnankknankn，因为(1)2knkkn，所以数列na可有最大项，故②错误；选项③：当112k时，11(1)(1)112nnnnankknnanknn，所以1nnaa，即数列na是递减数列，故③正确；选项④：11(1)(1)nnnnankknankn，当1kk为正整数时，112k；当12k时，1234aaaa；当112k时，令1kmNk，解得1mkm，1(1)(1)nnamnanm，数列na必有两项相等的最大项，故④正确.所以正确的选项为③④.考点：数列的函数特征.二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）611.命题“xR，210x”的否定是_______【答案】2,10xRx【解析】试题分析：全称命题的否定是特称命题，并将结论加以否定，因此否定为：2,10xRx考点：全称命题与特称命题12.设nS为等比数列na的前n项和，2580aa，则公比q_____，42SS_____．【答案】(1).2(2).5【解析】【分析】将已知转化为1,aq的形式，由此求得公比q，进而求得42SS的值.【详解】由于数列na为等比数列，故41180aqaq，解得2q=，所以4422115513SqSq.故答案为：（1）2；（2）5.【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式和前n项和公式基本量计算，属于基础题.13.若正数,ab满足141ab，则ab的最小值等于_____．【答案】9【解析】【分析】利用“1的代换”方法，利用基本不等式，求得ab的最小值.【详解】由于141ab，所以14445529babaababababab，当且仅当1412ab，即2,8ab时等号成立.故答案为：9.【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最小值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.714.已知函数()fx的对应关系如下表所示：数列{}na满足113,()nnaafa，则4a_____,2019a_____.【答案】(1).3(2).1【解析】【分析】根据函数的对应关系，求得数列的前6项，找到规律，由此求得42019,aa的值.【详解】依题意2132afaf，3221afaf，4313afaf，5432afaf，6521afaf，……，以此类推，数列na是周期为3的周期数列，故2019673331aaa.故答案为：（1）3；（2）1.【点睛】本小题主要考查周期数列，考查函数的对应关系，属于基础题.15.能够说明“设,,abc是任意实数,若abc,则abc”是假命题的一组整数,,abc的值依次为__________.【答案】1,2,3【解析】试题分析：123,1233，矛盾，所以−1，−2，−3可验证该命题是假命题.【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一．三．解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）16.已知{}na为等差数列，且36a，60a.（1）求{}na的通项公式；（2）若等比数列{}nb满足13b，245baa，求{}nb的前n项和公式．8【答案】（1）212nan；（2）3(21)nnS【解析】【分析】（1）将已知条件转化为1,ad的形式列方程组，解方程组求得1,ad，进而求得数列{}na的通项公式.（2）将已知条件转化为1,bq的形式列方程组，解方程组求得1,bq，进而求得数列{}nb的前n项和公式.【详解】（1）设等差数列{}na的公差为d.因为366,0aa，所以112650adad，解得110,2ad.所以10(1)(2)212nann.（2）设等比数列{}nb的公比为q.因为24516,3baab，所以36q，即2q=.所以{}nb的前n项和公式为1(1)3(21)1nnnbqSq.【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等比数列通项和前n项和的基本量计算，属于基础题.17.已知函数2()4fxxax．（1）当3a时，解不等式()0fx；（2）若不等式()50fx的解集为R，求实数a的取值范围.【答案】（1）{|41}xx；（2）(2,2)【解析】【分析】9（1）当3a时，根据一元二次不等式的解法，求得不等式的解集.（2）构造函数()()5gxfx，根据二次函数函数值恒为正数的条件列不等式，解不等式求得a的取值范围.【详解】（1）由2()340fxxx得(4)(1)0xx，所以原不等式解集为{|41}xx.（2）若不等式()50fx的解集为R，因为抛物线2()()51gxfxxax开口向上，所以只需240a，解得22a.故()50fx解集为R时，实数a的取值范围为(2,2).【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查一元二次不等式恒成立问题的求解，属于基础题.18.已知{}na是等差数列，{}nb是等比数列，且23b，581b，11ab，144ab．（1）求{}na的通项公式；（2）设nnncab，求数列{}nc的前n项和nT．【答案】（1）*21()nnaNn；（2）(1)31nnTn【解析】【分析】（1）将已知条件转化为11,,,bqad的形式列方程解方程求得11,,,bqad，进而求得数列,nnab的通项公式.（2）利用错位相减求和法求得数列nc的前n项和nT.【详解】（1）等比数列{}nb的公比35281273bqb，故3q.所以211bbq==，4327bbq，13nnb．设等差数列{}na的公差为d．因为111ab，14427ab，10所以11327d，即2d．所以*21()nnaNn．（2）由（1）知，21nan，13nnb，从而1(21)3nncn．由于123nnTccccL，即2113353(21)3nnTnL（1）则23333353(21)3nnTnL（2）由（1）-（2）得23111212(3333)(21)33(13)12(21)31313(31)(21)32(22)3nnnnnnnnTnnnnL所以(1)31nnTn.【点睛】本小题主要考查等差数