北京市西城区北京师范大学第二附属中学2020届高三数学上学期期中试题（含解析）

1北京市西城区北京师范大学第二附属中学2020届高三数学上学期期中试题（含解析）一、选择题1.已知全集UR，集合{0,1,2,3,4,5}A，{|3}BxxR，则UACB（）A.{4,5}B.{3,4,5}C.{0,1,2}D.{0,1,2,3}【答案】C【解析】【分析】通过补集的概念与交集运算即可得到答案.【详解】根据题意得|3UCBxx，故0,1,2UACB，答案选C.【点睛】本题主要考查集合的运算，难度很小.2.下列命题中的假命题是（）A.xR，120xB.xN，210xC.xR，lg1xD.xR，tan2x【答案】B【解析】【详解】试题分析：当x=1时，（x-1）2=0,显然选项B中的命题为假命题，故选B。考点：特称命题与存在命题的真假判断。【此处有视频，请去附件查看】3.若复数z满足11zi，则z的共轭复数的虚部是()A.B.1C.iD.1【答案】B【解析】【分析】先由复数的加减运算求出zi，得到共轭复数，即可得出结果.2【详解】因为11zi，所以zi，因此其共轭复数为zi，所以虚部为1.故选：B【点睛】本题主要考查复数的虚部，熟记复数的概念，复数的加减运算，以及复数的共轭复数即可，属于基础题型.4.在ABC△中，内角C为钝角，3sin5C，5AC，35AB，则BC（）A.2B.3C.5D.10【答案】A【解析】【分析】先根据同角三角函数平方关系求cosC，再根据余弦定理求.BC【详解】因为3sin,5CC为钝角，所以4cos,5C因此由余弦定理得2224355255BCBC2BC（负值舍去），选A.【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.5.若不等式||1xt成立的必要条件是14x，则实数t的取值范围是（）A.[2,3]B.(2,3]C.[2,3)D.(2,3)【答案】A【解析】由1xt得：11txt，∵不等式1xt成立的必要条件是14x，∴|11|14xtxtxx，故11{2314ttt，故选A.6.在等比数列na中，13a，前n项和为nS，若数列1na也是等比数列，则nS等于()3A.122nB.3nC.2nD.31n【答案】B【解析】【分析】先设等比数列na的公比为q，根据数列1na也是等比数列，得到2213111aaa，求出1q，进而可求出结果.【详解】设等比数列na的公比为q，又数列1na也是等比数列，所以2213111aaa，即2231431qq，解得1q，所以3na；因此3nnnaSn；故选：B【点睛】本题主要考查等比数列的应用，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.7.如图，在梯形ABCD中，ABDC，5,2,4ABADDCBC，M为AB边上一点，则MDMC的最小值为A.10B.12C.15D.16【答案】C【解析】【分析】先取CD中点N，化简MDMC，再根据N到直线AB距离最小值得结果.4【详解】取CD中点N，则2221MDMCMNCNMN,在AB上取AE=2，连接CE，则四边形AECD为平行四边形，则CE=AD=5,因为BE=3,BC=4,所以BCAB,即22||16MNBC,15MDMC,选C.【点睛】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线位置关系，是解决这类问题的一般方法.8.函数()fx在[,]ab上有定义,若对任意12,[,]xxab,有12121()[()()]22xxffxfx则称()fx在[,]ab上具有性质P.设()fx在[1,3]上具有性质P,现给出如下题:①()fx在[1,3]上的图像是连续不断的;②()fx在[1,3]上具有性质P;③若()fx在2x处取得最大值1,则()1,[1,3]fxx;④对任意1234,,,[1,3]xxxx,有123412341()[()()()()]44xxxxffxfxfxfx其中真命题的序号（）A.①②B.①③C.②④D.②③④【答案】D【解析】①可以不连续，只要满足图像是向下凸的特征即可。②正确。由Ｐ性质的定义可知[1,3]具有性质Ｐ，则在此子区间[1,3]上也应具有此性质．③正确.f(x)在x=2处取得最大值1，故对任意x1,x2属于[1,3]，有1212()()()122xxfxfxf,所以对任意1[1,3]x，有1()1fx，而1112311(2)()[()(3)]122xxfffxfx,故f(x)=1，[1,3]x.④令3412123412,,,[1,3],[1,3],[1,3],22xxxxxxxxXX341211223411()()[()()],()()[()()]2222xxxxfXffxfxfXffxfx,12341212123411()()[()()][()()()()]2424xxxxXXfffXfXfxfxfxfx二、填空题59.已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角是60°，则3ab等于___________；【答案】7【解析】【分析】结合向量数量积先求向量模的平方，再开方得结果.【详解】2213961961172ababab【点睛】本题考查向量的模以及向量数量积，考查基本求解能力.10.把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题．若函数2()3logfxx的图象与()gx的图象关于对称，则函数()gx．（注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形）【答案】y轴，23log()x；或：x轴，23logx；或：原点，23log()x；或：直线yx，32x【解析】试题分析：基于对对数函数图象、指数函数图象的认识，从多角度考虑。y轴，23log()x；或：x轴，23logx；或：原点，23log()x；或：直线yx，32x均可。考点：本题主要考查命题的概念及其关系、对数函数的图象和性质。点评：属开放性题目，注意运用数形结合思想。11.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线2221(0)yxbb经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.【答案】2yx.【解析】【分析】根据条件求b，再代入双曲线的渐近线方程得出答案.6【详解】由已知得222431b，解得2b或2b，因为0b，所以2b.因为1a，所以双曲线的渐近线方程为2yx.【点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的,ab密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程.12.在ABC中，a＝15，b＝10，∠A＝60°，则cosB＝________．【答案】63【解析】【详解】试题分析：由正弦定理sinsinabAB可得1510sin60sinB，解得3sin3B。所以226cos1sin9BB。因为ab，所以AB，所以角B为锐角，所以6cos3B,考点：1三角形中正弦定理；2同角三角函数基本关系式。13.已知抛物线22ypx的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足2MNNF，则NMF____.【答案】3【解析】【分析】先过点M作MA垂直准线于点A，由抛物线定义得到NFNA，再由题意求出1sin2ANAMNMN，得到6AMN，即可求出结果.【详解】过点M作MA垂直准线于点A，7由抛物线定义可得：NFNA，又22MNNFNA，所以1sin2ANAMNMN，因此6AMN，所以3NMF.故答案为：3【点睛】本题主要考查抛物线定义的应用，熟记抛物线的定义即可，属于常考题型.14.对于三次函数320axbxdafxcx，给出定义：设fx是函数yfx的导数，()fx是函数fx的导数，若方程()0fx有实数解0x，则称点00,xfx为函数yfx的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数3211533212fxxxx，请你根据上面的探究结果，解答以下问题：①函数3211533212fxxxx的对称中心坐标为______；②计算12320182019201920192019ffff…________.【答案】(1).（12，1）(2).2018【解析】【分析】①先对函数求二阶导，得到()21fxx，根据题意求出拐点，即可得出结果；②先由①得到11222fxfx，推出12fxfx，用倒序相加法，即可求出结果.8【详解】①因为3211533212fxxxx，所以23fxxx，所以()21fxx，由()210fxx得12x，此时1113512248212f，由题意可得，1,12即为函数3211533212fxxxx的对称中心；②由①知，函数3211533212fxxxx关于1,12中心对称，所以112212fxfx，即11222fxfx，因此12fxfx；记12320182019201920192019…Mffff，则1201822017201812201920192019201920192019…Mffffff120182018403620192019ff，所以2018M.故答案为：1,12；2018.【点睛】本题主要考查利用导数求对称中心，倒序相加法求函数值的和，熟记函数对称性，以及导数的计算公式即可，属于常考题型.三、解答题15.已知等差数列na满足32a，前3项和392S.(1)求na的通项公式；(2)设等比数列nb满足11ba，415ba，求nb的前n项和nT.【答案】(1)an1 2n(2)nT=2n﹣1．【解析】【分析】9（1）先设等差数列na的公差为d，根据题意求出首项与公差，即可求出结果；（2）先设等比数列nb的公比为q，根据题意求出公比，由求等比数列的求和公式，即可求出结果.【详解】（1）设等差数列na的公差为d，∵32a，前3项和392S．∴122ad，19332ad，解得11a，12d．∴111(1)22nnan．（2）设等比数列nb的公比为q，因为111ba，4158ba，所以38q，解得2q=．∴nb前n项和212121nnnT．【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列，熟记等差数列与等比数列的通项公式、求和公式即可，属于常考题型16.已知函数()sin()(,0,0)2fxAxxR的部分图象如图所示.（1）求函数()fx的解析式；（2）求函数()()()1212