2020届高考数学大二轮复习 层级二 专题四 立体几何 第1讲 几何体的表面积与体积、线面位置关系的

-1-第1讲几何体的表面积与体积、线面位置关系的判断[考情考向·高考导航]1．“立体几何”在高考中一般会以“两小一大”或“一小一大”的命题形式出现，这“两小”或“一小”主要考查三视图，与球有关的组合体、几何体的表面积与体积，空间点、线、面的位置关系(特别是平行与垂直)．2．考查一个小题时，本小题一般会出现在第6～7题的位置上，难度中档．考查两个小题时，其中一个小题难度中低档，另一小题难度稍高，一般会出现在第9～11题的位置上，有时也出现在压轴小题的位置上．[真题体验]1．(2018·全国Ⅲ卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()解析：A[俯视图应为A.]2．(2018·全国Ⅰ卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A．122πB．12πC．82πD．10π解析：B[圆柱的轴截面是面积为8的正方形，设圆柱的底面半径为R，高为h，则(2R)2＝8，∴R＝2，h＝2R＝22.∴该圆柱的表面积为2·πR2＋2πRh＝2π×(2)2＋2π×2×22＝12π.]3．(2019·江苏卷)如图，-2-长方体ABCD­A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E－BCD的体积是________．解析：本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律．在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题．因为长方体ABCD－A1B1C1D1的体积为120，所以AB·BC·CC1＝120，因为E为CC1的中点，所以CE＝12CC1，由长方体的性质知CC1⊥底面ABCD，所以CE是三棱锥E－BCD的底面BCD上的高，所以三棱锥E－BCD的体积V＝13×12AB·BC·CE＝13×12AB·BC·12CC1＝112×120＝10.答案：104．(2018·全国Ⅱ卷)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°，若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为________．解析：如图∠SAO＝30°，设圆锥的底面圆半径为R，则SO＝Rtan30°＝33R，SA＝Rcos30°＝233R，又∵SA⊥SB，∴△SAB的面积S＝12SA·SB＝12233R2＝8.∴R＝23，∴圆锥的体积为V＝13πR2·SO＝39πR3＝39π(23)3＝8π.答案：8π[主干整合]1．棱柱、棱锥(1)棱柱的性质侧棱都相等，侧面是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；直棱柱的侧棱长与高相等且侧面与对角面是矩形．(2)正棱锥的性质侧棱相等，侧面是全等的等腰三角形，斜高(侧面等腰三角形底边上的高)相等；棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影构成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形；某侧面上的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形；-3-侧棱在底面内的射影、斜高在底面内的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形．2．空间几何体的三视图(1)空间几何体三视图的画法规则：①长对正，即正(主)视图和俯视图的长相等；②高平齐，即正(主)视图和侧(左)视图的高相等；③宽相等，即侧(左)视图和俯视图的宽相等；④看不见的轮廓线要用虚线表示．(2)空间几何体三视图的摆放规则：俯视图放在正(主)视图的正面；侧(左)视图放在正视图的右面．3．几何体与球的切接问题(1)解决球的内接长方体、正方体、正四棱柱等问题的关键是把握球的直径即是棱柱的体对角线．(2)解决柱、锥的内切球问题的关键是找准切点位置，化归为平面几何问题．4．直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.(2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.(3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β.(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.5．直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α.(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.(3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β.(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.热点一空间几何体的表面积与体积直观想象素养直观想象——三视图中体现的核心素养直观想象即通过几何直观和空间想象感知几何体的形状与变化．本例通过几何体的三视图直观感知几何体的形状与相关度量，想象几何体的结构特征.根据三视图求几何体的表面积、体积[例1－1](1)(2019·浙江卷)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝sh，其中S是-4-柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm3)是()A．158B．162C．182D．324[解析]B[如图，该柱体是一个五棱柱，棱柱的高为6，底面可以看作由两个直角梯形组合而成，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3.则底面面积S＝2＋62×3＋4＋62×3＝27，因此，该柱体的体积V＝27×6＝162.故选B.](2)(2020·汕头模拟)某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为12π＋8，则该几何体的表面积为()A．18π＋82＋4B．20π＋82C．10π＋42D．45π＋272＋9-5-[解析]B[还原几何体如图所示，几何体的体积是V＝πa2×2a×34＋12×2a×a×a＝12π＋8，解得a＝2，而几何体的表面积是S＝2πa2＋2πa×a×32＋2a×a×2，将a＝2代入，所以S＝20π＋82，故选B.]根据三视图求其表面积、体积的方法(1)根据给出的三视图还原该几何体的直观图．(2)由三视图中的大小标识确定该几何体的各个度量．(3)套用相应的面积公式与体积公式计算求解．根据几何体的结构特征求体积、表面积[例1－2](1)(2019·全国Ⅲ卷)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD－A1B1C1D1，挖去四棱锥O－EFGH后所得的几何体．其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.[解析]由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，对角线长分别为6cm和4cm，故V挖去的四棱锥＝13×12×4×6×3＝12(cm3)．又V长方体＝6×6×4＝144(cm3)，所以模型的体积为V长方体－V挖去的四棱锥＝144－12＝132(cm3)，-6-所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．[答案]118.8(2)如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为平行四边形，NB＝2PN，则三棱锥NPAC与三棱锥DPAC的体积比为()A．1∶2B．1∶8C．1∶6D．1∶3[解析]D[通解：设点P，N在平面ABCD内的投影分别为点P′，N′，则PP′⊥平面ABCD，NN′⊥平面ABCD，所以PP′∥NN′，则在△BPP′中，由BN＝2PN得NN′PP′＝23.V三棱锥NPAC＝V三棱锥PABC－V三棱锥NABC＝13S△ABC·PP′－13S△ABC·NN′＝13S△ABC·(PP′－NN′)＝13S△ABC·13PP′＝19S△ABC·PP′，V三棱锥DPAC＝V三棱锥PACD＝13S△ACD·PP′，又因为四边形ABCD是平行四边形，所以S△ABC＝S△ACD，所以V三棱锥NPACV三棱锥DPAC＝13.优解：两三棱锥同底，体积比等于点N与点D到平面PAC的距离比，点D到面PAC的距离等于点B到面PAC的距离．因为距离比为1∶3，故体积比也为1∶3.]求解几何体的表面积及体积的技巧(1)求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在．求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解．(1)(2019·德州三模)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为()-7-A．8＋42＋85B．24＋42C．8＋202D．28解析：A[由三视图可知，该几何体的下底面是长为4，宽为2的矩形，左右两个侧面是底边为2，高为22的三角形，前后两个侧面是底边为4，高为5的平行四边形，所以该几何体的表面积为S＝4×2＋2×12×2×22＋2×4×5＝8＋42＋85.](2)(2019·天津卷)已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为____________．解析：圆柱的底面半径是棱锥底面对角线长度的一半、不是底边棱长的一半．四棱锥的高为5－1＝2，故圆柱的高为1，圆柱的底面半径为12，故其体积为π×122×1＝π4.答案：π4热点二与球有关的组合体[例2](1)(2019·全国Ⅰ卷)已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为()A．86πB．46πC．26πD.6π[审题指导]由∠CEF＝90°，可得EC，利用余弦定理可求PA＝PB＝PC＝2⇒PA⊥PB⊥PC，利用外接球的直径是由该几何体补成的正方体的体对角线求R，可得球体积．[解析]D[-8-设PA＝PB＝PC＝2a，则EF＝a，FC＝3，∴EC2＝3－a2.在△PEC中，cos∠PEC＝a2＋3－a2－a22a3－a2.在△AEC中，cos∠AEC＝a2＋3－a2－42a3－a2.∵∠PEC与∠AEC互补，∴3－4a2＝1，a＝22，故PA＝PB＝PC＝2.又∵AB＝BC＝AC＝2，∴PA⊥PB⊥PC，∴外接球的直径2R＝22＋22＋22＝6，∴R＝62，∴V＝43πR3＝43π×623＝6π.故选D.](2)(2020·郑州模拟)我国古代数学专著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“鐅臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥．某“鐅臑”的三视图(图中网格纸上每个小正方形的边长为1)如图所示，已知该几何体的高为22，则该几何体外接球的表面积为________．[解析]-9-由该几何体的三视图还原其直观图，并放入长方体中，如图中的三棱锥A－BCD所示，其中AB＝22，BC＝CD＝2，易知长方体的外接球即三棱锥A－BCD的外接球，设外接球的直径为2R，所以4R2＝(22)2＋(2)2＋(2)2＝8＋2＋2＝12，则R2＝3，因此外接球的表面积S＝4πR2＝12π.[答案]12π多面体、旋转体与球接、切问题的求解策略(1)过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题．(2)利用平面几何知识寻找几何体元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．(3)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，用4R2＝a2＋b2＋c2求解．(2017·全国Ⅰ卷)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S－ABC的体积为9，则球O的表面积为__