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-1-2.2.3向量数乘运算及其几何意义选题明细表知识点、方法题号向量的数乘运算1,2,5向量数乘运算的综合应用3,8向量共线定理及应用4,7,9,11,12向量的线性运算的综合应用6,10基础巩固1.下列说法正确的是(C)(A)2a与a不能相等(B)|2a||a|(C)2a∥a(D)|2a|≠1解析:对A,当a=0时,有2a=a;对B,当|a|=0时,有2|a|=|a|;对C,显然正确;对D,当|a|=时,有|2a|=1.综上可知C正确.2.(3a+b+c)-(2a+b-c)等于(A)(A)a-b+2c(B)5a-b+2c(C)a+b+2c(D)5a+b解析:(3a+b+c)-(2a+b-c)=(3a-2a)+(b-b)+(c+c)=a-b+2c.故选A.-2-3.已知a,b为两个非零向量,则下列说法正确的个数是(D)①2a与a方向相同,且2a的模是a的模的两倍;②-2a与5a的方向相反,且-2a的模是5a的模的;③-2a与2a是一对相反向量;④a-b与-(b-a)是一对相反向量.(A)0(B)1(C)2(D)3解析:因为20,所以2a与a的方向相同且|2a|=2|a|,①对.因为50,所以5a与a的方向相同且|5a|=5|a|,而-20;所以-2a与a的方向相反,且|-2a|=2|a|,所以5a与-2a的方向相反,且-2a的模是5a的模的;②对.按照相反向量的定义判断,③对,④错;选D.4.(2018·延安市高一期末)已知向量,,满足||=||+||,则(D)(A)=+(B)=--(C)与同向(D)与同向解析:向量,,满足||=||+||,所以点C在线段AB上,所以与同向.故选D.5.如图,在平行四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,E为线段AO的中点.若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ等于(B)-3-(A)1(B)(C)(D)解析:因为E为线段AO的中点,所以=+=+()=+=λ+μ,所以λ+μ=+=,故选B.6.若=t(t∈R),O为平面上任意一点,则=.(用,表示)解析:=t,-=t(-),=+t-t=(1-t)+t.答案:(1-t)+t7.设a,b是两个不共线的非零向量,若向量ka+2b与8a+kb的方向相反,则k=.解析:由题意知,ka+2b=λ(8a+kb)(λ0).所以(k-8λ)a+(2-λk)b=0.又a,b不共线,所以解得λ=-,k=-4.答案:-4-4-8.如图在边长为a的正方形ABCD中,E,F分别为边BC,CD中点,设=a,=b,试用a,b表示向量,.解:因为=+=a,=+=b,所以解得=a-b,=b-a.能力提升9.(2019·台州市高一期中)已知e1,e2是平面内两个不共线向量,=e1-ke2,=2e1-e2,=3e1-2e2,若A,B,D三点共线,则k的值为(A)(A)2(B)-3(C)-2(D)3解析:因为=2e1-e2,=3e1-2e2,所以=-=(3e1-2e2)-(2e1-e2)=e1-e2.而=+=e1-ke2+2e1-e2=3e1-(k+1)e2.因为A,B,D三点共线,所以与共线,-5-所以存在唯一的实数λ,使得3e1-(k+1)e2=λ(e1-e2),解得k=2.故选A.10.(2018·天津市高一期末)如图所示,向量,,的终点A,B,C在一条直线上,且=-3,设=a,=b,=c,若c=ma+nb,则m-n的值等于.解析:向量,,的终点A,B,C在一条直线上,且=-3,则=+=-3=-3(+),即=+3-3.=a,=b,=c,若c=ma+nb,则c=-a+b,所以m-n=--=-2.答案:-211.设a,b是两个不共线的非零向量,若=a,=tb(t∈R),=(a+b),那么当实数t为何值时,A,B,C三点共线?解:因为=a,=tb,=(a+b),-6-所以=-=tb-a,=-=(a+b)-a=b-a,因为A,B,C三点共线,所以存在实数λ,使=λ,即tb-a=λ(b-a).由于a,b不共线,所以解得故当t=时,A,B,C三点共线.探究创新12.(2018·重庆市调研)如图所示,在△ABC中,D,F分别是AB,AC的中点,BF与CD交于点O,设=a,=b,试用a,b表示向量.解:由D,O,C三点共线,可设=k1=k1(-)=k1(b-a)=-k1a+k1b(k1为实数),同理,可设=k2=k2(-)=k2(b-a)=-k2a+k2b(k2为实数),①又=+=-a+(-k1a+k1b)=-(1+k1)a+k1b,②-7-所以由①②,得-k2a+k2b=-(1+k1)a+k1b,即(1+k1-2k2)a+(k2-k1)b=0.又a,b不共线,所以解得所以=-a+b.所以=+=a+(-a+b)=(a+b).