（江苏专用）2020高考数学二轮复习 专题三 解析几何教学案

1专题三解析几何[江苏卷5年考情分析]小题考情分析大题考情分析常考点1.直线与圆、圆与圆的位置关系(5年4考)2.圆锥曲线的方程及几何性质(5年5考)本单元主要考查直线与椭圆(2015年、2017年、2018年、2019年)的位置关系、弦长问题、面积问题等；有时考查直线与圆(如2016年)，经常与向量结合在一起命题．偶考点直线的方程、圆的方程第一讲|小题考法——解析几何中的基本问题考点(一)直线、圆的方程主要考查圆的方程以及直线方程、圆的基本量的计算.[题组练透]1．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x＋4x(x0)上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是________．解析：法一：由题意可设Px0，x0＋4x0(x00)，则点P到直线x＋y＝0的距离d＝x0＋x0＋4x02＝2x0＋4x02≥22x0·4x02＝4，当且仅当2x0＝4x0，即x0＝2时取等号．故所求最小值是4.法二：设Px0，4x0＋x0(x00)，由y＝x＋4x得y′＝1－4x2，则曲线在点P处的切线的斜率为k＝1－4x20.令1－4x20＝－1，结合x00得x0＝2，∴P(2，32)，曲线y＝x＋4x(x0)上的点P到直线x＋y＝0的最短距离即为此时点P到直线x＋y＝0的距离，故dmin＝|2＋32|2＝4.答案：42．(2019·苏州期末)在平面直角坐标系xOy中，过点A(1，3)，B(4，6)，且圆心在直2线x－2y－1＝0上的圆的标准方程为________．解析：法一：根据圆经过点A(1，3)，B(4，6)，知圆心在线段AB的垂直平分线上，由点A(1，3)，B(4，6)，知线段AB的垂直平分线方程为x＋y－7＝0，则由x－2y－1＝0，x＋y－7＝0，得x＝5，y＝2，即圆心坐标为(5，2)，所以圆的半径r＝（5－1）2＋（2－3）2＝17，故圆的标准方程为(x－5)2＋(y－2)2＝17.法二：因为圆心在直线x－2y－1＝0上，所以圆心坐标可设为(2a＋1，a)，又圆经过点A(1，3)，B(4，6)，所以圆的半径r＝（2a＋1－1）2＋（a－3）2＝（2a＋1－4）2＋（a－6）2，解得a＝2，所以r＝17，故圆的标准方程为(x－5)2＋(y－2)2＝17.法三：设圆心的坐标为(a，b)，半径为r(r＞0)，因为圆心在直线x－2y－1＝0上，且圆经过点A(1，3)，B(4，6)，所以a－2b－1＝0，（a－1）2＋（b－3）2＝（a－4）2＋（b－62）＝r2，得a＝5，b＝2，r＝17，故圆的标准方程为(x－5)2＋(y－2)2＝17.答案：(x－5)2＋(y－2)2＝173．(2019·扬州期末)若直线l1：x－2y＋4＝0与l2：mx－4y＋3＝0平行，则两平行直线l1，l2间的距离为________．解析：法一：若直线l1：x－2y＋4＝0与l2：mx－4y＋3＝0平行，则有m1＝－4－2≠34，求得m＝2，故两平行直线l1，l2间的距离为|8－3|22＋（－4）2＝52.法二：若直线l1：x－2y＋4＝0与l2：mx－4y＋3＝0平行，则有m1＝－4－2≠34，求得m＝2，所以直线l2：2x－4y＋3＝0，在l1：x－2y＋4＝0上取一点(0，2)，则两平行直线l1，l2间的距离就是点(0，2)到直线l2的距离，即|0－4×2＋3|22＋（－4）2＝52.答案：523[方法技巧]1．求直线方程的两种方法直接法选用恰当的直线方程的形式，由题设条件直接求出方程中系数，写出结果待定系数法先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有待定系数，再由题设条件构建方程，求出待定系数2．圆的方程的两种求法几何法通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程代数法用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程考点(二)直线与圆、圆与圆的位置关系主要考查直线与圆、圆与圆的位置关系，以及根据直线与圆的位置关系求相关的最值与范围问题.[典例感悟][典例](1)(2018·无锡期末)过圆O：x2＋y2＝16内一点P(－2，3)作两条相互垂直的弦AB和CD，且AB＝CD，则四边形ACBD的面积为________．(2)(2018·南通、泰州一调)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－4，0)，B(0，4)，从直线AB上一点P向圆x2＋y2＝4引两条切线PC，PD，切点分别为C，D.设线段CD的中点为M，则线段AM长的最大值为________．[解析](1)设O到AB的距离为d1，O到CD的距离为d2，则由垂径定理可得d21＝r2－AB22，d22＝r2－CD22，由于AB＝CD，故d1＝d2，且d1＝d2＝22OP＝262，所以AB22＝r2－d21＝16－132＝192，得AB＝38，从而四边形ACBD的面积为S＝12AB×CD＝12×38×38＝19.(2)法一(几何法)：因为A(－4，0)，B(0，4)，所以直线AB的方程为y＝x＋4，所以可设P(a，a＋4)，C(x1，y1)，D(x2，y2)，所以PC的方程为x1x＋y1y＝4，PD的方程为x2x＋y2y4＝4，将P(a，a＋4)分别代入PC，PD的方程，得ax1＋（a＋4）y1＝4，ax2＋（a＋4）y2＝4，则直线CD的方程为ax＋(a＋4)y＝4，即a(x＋y)＝4－4y，所以x＋y＝0，4－4y＝0，所以直线CD过定点N(－1，1)，又因为OM⊥CD，所以点M在以ON为直径的圆上(除去原点)．又因为以ON为直径的圆的方程为x＋122＋y－122＝12，因为A在该圆外，所以AM的最大值为－4＋122＋122＋22＝32.法二(参数法)：同法一可知直线CD的方程为ax＋(a＋4)y＝4，即a(x＋y)＝4－4y，得a＝4－4yx＋y.又因为O，P，M三点共线，所以ay－(a＋4)x＝0，得a＝4xy－x.因为a＝4－4yx＋y＝4xy－x，所以点M的轨迹方程为x＋122＋y－122＝12(除去原点)，因为A在该圆外，所以AM的最大值为－4＋122＋122＋22＝32.[答案](1)19(2)32[方法技巧]解决关于直线与圆、圆与圆相关问题的策略(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．(2)解决直线与圆相关的最值问题：一是利用几何性质，如两边之和大于第三边、斜边大于直角边等来处理最值；二是建立函数或利用基本不等式求解．(3)对于直线与圆中的存在性问题，可以利用所给几何条件和等式，得出动点轨迹，转化为直线与圆、圆与圆的位置关系．[演练冲关]1．(2019·南通、泰州等七市一模)在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2＋y2＝1，圆C：(x－4)2＋y2＝4.若存在过点P(m，0)的直线l，直线l被两圆截得的弦长相等，则实数m的取值范围是________．解析：由题意知，直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y＝k(x－m)(k≠0)，圆心O，C到直线l的距离分别为d1，d2，则由直线l与圆O相交得d1＝|km|k2＋1＜1，得m2＜15＋1k2.由直线l被两圆截得的弦长相等得1－d21＝4－d22，则d22－d21＝3，即（4k－km）2k2＋1－k2m2k2＋1＝3，化简得m＝138－38k2，则m＜138－38(m2－1)，即3m2＋8m－16＜0，所以－4＜m＜43.答案：－4，432．(2019·南京盐城一模)设M＝{(x，y)|3x＋4y≥7}，点P∈M，过点P引圆(x＋1)2＋y2＝r2(r＞0)的两条切线PA，PB(A，B均为切点)，若∠APB的最大值为π3，则r的值为________．解析：由题意知点P位于直线3x＋4y－7＝0上或其上方，记圆(x＋1)2＋y2＝r2(r＞0)的圆心为C，则C(－1，0)，C到直线3x＋4y－7＝0的距离d＝|－3－7|32＋42＝2，连接PC，则PC≥2.设∠APB＝θ，则sinθ2＝rPC，因为θmax＝π3，所以sinθ2max＝rPCmin＝r2＝12，所以r＝1.答案：13．(2019·苏北三市一模)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2＋y2＋2mx－(4m＋6)y－4＝0(m∈R)与以C2(－2，3)为圆心的圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且满足x21－x22＝y22－y21，则实数m的值为________．解析：由题意得C1(－m，2m＋3)，C2(－2，3)．由x21－x22＝y22－y21，得x21＋y21＝x22＋y22，即OA＝OB，所以△OAB为等腰三角形，所以线段AB的垂直平分线经过原点O，又相交两圆的圆心连线垂直平分公共弦AB，所以两圆的圆心连线C1C2过原点O，所以OC1∥OC2，所以－3m＝－2(2m＋3),解得m＝－6.答案：－64．(2019·常州期末)过原点O的直线l与圆x2＋y2＝1交于P，Q两点，点A是该圆与x轴负半轴的交点，以AQ为直径的圆与直线l有异于Q的交点N，且直线AN与直线AP的斜率之积等于1，那么直线l的方程为________．解析：易知A(－1，0)．因为PQ是圆O的直径，所以AP⊥AQ.以AQ为直径的圆与直线l有异于Q的交点N，则AN⊥NQ，所以kAN＝－1kNQ＝－1kPO，又直线AN与直线AP的斜率之积等于1，所以kANkAP＝1，所以kAP＝－kPO，所以∠OAP＝∠AOP，所以点P为OA的垂直平分线与圆O的交点，则P－12，±32，所以直线l的方程为y＝±3x.答案：y＝±3x5．(2018·南京、盐城、连云港二模)在平面直角坐标系xOy中，已知A，B为圆C：(x＋4)2＋(y－a)2＝16上的两个动点，且AB＝211.若直线l：y＝2x上存在唯一的一个点P，6使得PA―→＋PB―→＝OC―→，则实数a的值为________．解析：法一：设AB的中点为M(x0，y0)，P(x，y)，则由AB＝211，得CM＝16－11＝5，即点M的轨迹为(x0＋4)2＋(y0－a)2＝5.又因为PA―→＋PB―→＝OC―→，所以PM―→＝12OC―→，即(x0－x，y0－y)＝－2，a2，从而x0＝x－2，y0＝y＋a2，则动点P的轨迹方程为(x＋2)2＋y－a22＝5，又因为直线l上存在唯一的一个点P，所以直线l和动点P的轨迹(圆)相切，则－4－a222＋（－1）2＝5，解得a＝2或a＝－18.法二：由题意，圆心C到直线AB的距离d＝16－11＝5，则AB中点M的轨迹方程为(x＋4)2＋(y－a)2＝5.由PA―→＋PB―→＝OC―→，得2PM―→＝OC―→，所以PM―→∥OC―→.如图，连结CM并延长交l于点N，则CN＝2CM＝25.故问题转化为直线l上存在唯一的一个点N，使得CN＝25，所以点C到直线l的距离为|2×（－4）－a|22＋（－1）2＝25，解得a＝2或a＝－18.答案：2或－18考点(三)圆锥曲线的方程及几何性质主要考查三种圆锥曲线的定义、方程及几何性质，在小题中以考查椭圆和双曲线的几何性质为主.[题组练透]1．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－y2b2＝1(b0)经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是________．解析：因为双曲线x2－y2b2＝1(b0)经过点(3，4)，所以9－16b2＝1(b0)，解得b＝2，即双曲线方程为x2－y22＝1，其渐近线方程为y＝±2x.答案：y＝±2x72．(2019·苏州期末)在平面直角坐标系xOy中，中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线经过点(－3，1)，则该双曲线的离心率为______．解析：由