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-1-第2讲空间中的平行与垂直[考情考向·高考导航](文)高考对本讲命题较为稳定，解答题的第(1)问考查空间平行关系和垂直关系的证明，而第(2)问多考查面积、体积的计算，难度中等偏上．解答题的基本模式是“一证明二计算”．(理)高考对本讲命题较为稳定，常以解答题第(1)问的形式考查，主要是线线、线面、面面平行和垂直的判定与性质，且多以棱柱、棱锥、棱台或简单组合体为载体进行考查，难度中等．[真题体验]1．(2019·全国Ⅱ卷)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.(1)证明：BE⊥平面EB1C1；(2)若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E－BB1C1C的体积．解：(1)由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1，所以BE⊥平面EB1C1.(2)由(1)知∠BEB1＝90°，由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°，-2-故AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6.作EF⊥BB1，垂足为F，则EF⊥平面BB1C1C，且EF＝AB＝3.所以，四棱锥E－BB1C1C的体积V＝13×3×6×3＝18.2．(2019·江苏卷)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC.求证：(1)A1B1∥平面DEC1；(2)BE⊥C1E.证明：(1)因为D，E分别为BC，AC的中点，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A1B1∥ED.又因为ED⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.(2)因为AB＝BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC.因为三棱柱ABC－A1B1C1是直棱柱，所以C1C⊥平面ABC.又因为BE⊂平面ABC，所以C1C⊥BE.因为C1C⊂平面A1ACC1，AC⊂平面A1ACC1，C1C∩AC＝C，所以BE⊥平面A1ACC1.因为C1E⊂平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.-3-[主干整合]1．证明线线平行和线线垂直的常用方法(1)证明线线平行常用的方法：①利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；②利用平行四边形进行平行转换；③利用三角形的中位线定理证线线平行；④利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换．(2)证明线线垂直常用的方法：①利用等腰三角形底边上的中线即高线的性质；②勾股定理；③线面垂直的性质：即要证两直线垂直，只需证明一直线垂直于另一直线所在平面即可，即l⊥α，a⊂α⇒l⊥a.2．空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定定理、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化．热点一空间平行、垂直关系的证明逻辑推理素养逻辑推理——转化思想在平行、垂直证明中的应用以学习的线面平行、垂直关系为基础，将线面问题经过严密的逻辑推理转化为线线平行、垂直关系问题，从而实现了面面、线面、线线之间的相互转化.平行、垂直关系的证明问题[例1－1](2018·北京卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．(1)求证：PE⊥BC；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD；(3)求证：EF∥平面PCD.-4-[审题指导](1)只需证明PE⊥AD即可．(2)根据PA⊥PD，只需再证明PD⊥AB即可，为此可先证AB⊥平面PAD.(3)只证明EF平行于平面PCD内的一条直线，取PC的中点G，连接FG，GD，证明四边形EFGD为平行四边形．[解析](1)证明：∵PA＝PD，且E为AD中点，∴PE⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE⊂平面PAD∴PE⊥平面ABCD∵BC⊂平面ABCD∴PE⊥BC.(2)∵四边形ABCD为矩形，∴CD⊥AD∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊂平面ABCD∴CD⊥平面PAD∵PA⊂平面PAD∴CD⊥PA∵PA⊥PD，且CD，PD⊂平面PCD，CD∩PD＝D，∴PA⊥平面PCD∵PA⊂平面PAB∴平面PAB⊥平面PCD.(3)取PC中点G，连接FG，GD∵F，G分别为PB和PC中点∴FG∥BC，FG＝12BC∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD，BC＝AD∵E为AD中点-5-∴ED＝12AD∴ED∥BC，ED＝12BC∴ED∥FG，ED＝FG∴四边形EFGD为平行四边形∴EF∥GD∵EF⊄平面PCD且GD⊂平面PCD∴EF∥平面PCD线面平行及线面垂直的证明方法(1)要证线面平行，主要有两个途径：一是证已知直线与平面内的某直线平行；二是证过已知直线的平面与已知平面平行．转化思想在证明平行关系上起着重要的作用，在寻找平行关系上，利用中位线、平行四边形等是常用的手段．(2)要证线面垂直，关键是在这个平面内能找出两条相交直线和已知直线垂直，即线线垂直⇒线面垂直．结合图形还要注意一些隐含的垂直关系，如等腰三角形的三线合一、菱形的对角线以及经计算得出的垂直关系等．平行、垂直关系的探索问题[例1－2](2018·全国卷Ⅲ)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．[审题指导]第(1)问利用线面垂直、面面垂直的判定定理求证：先证明BC⊥DM，再证DM⊥CM即可；第(2)问利用线面平行的判定定理进行判定；先连接AC，BD，BD与AC交于点O，再说明是否存在点P满足OP∥MC即可．[解析](1)证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM.因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所-6-以DM⊥CM.又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC.而DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.(2)当P为AM的中点时，MC∥平面PBD.证明如下：如图，连接AC交BD于O，因为ABCD为矩形，所以O为AC的中点，连接OP，因为P为AM的中点，所以MC∥OP.又MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，所以MC∥平面PBD.解决与平行、垂直有关的存在性问题的基本策略：假定题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能导出与条件吻合的依据或事实，则说明假设成立，即存在；若导出与条件或实际情况相矛盾的结论，则说明假设不成立，即不存在．(1)(2019·西安八校联考)如图，在三棱锥ABCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：①EF∥平面ABC；②AD⊥AC.证明：①在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB，又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.②因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.(2)-7-(2019·临沂三模)如图所示，五面体ABCDEF，四边形ACFD是等腰梯形，AD∥FC，∠DAC＝π3，BC⊥面ACFD，CA＝CB＝CF＝1，AD＝2CF，点G为AC的中点．①在AD上是否存在一点H，使GH∥平面BCD？若存在，指出点H的位置并给出证明；若不存在，说明理由；②求三棱锥GECD的体积．解析：①存在点H，H为AD中点．证明如下：连接GH，在△ACD中，由三角形中位线定理可知GH∥CD.又GH⊄平面BCD，CD⊂平面BCD，∴GH∥平面BCD.②由题意知AD∥CF，AD⊂平面ADEB，CF⊄平面ADEB，∴CF∥平面ADEB.又CF⊂平面CFEB，平面CFEB∩平面ADEB＝BE，∴CF∥BE，∴VGECD＝VEGCD＝VBGCD，∵四边形ACFD是等腰梯形，∠DAC＝π3.∵CA＝CB＝CF＝1，AD＝2CF，∴∠ACD＝π2，∴CD＝3，CG＝12，又BC⊥平面ACFD，∴VBGCD＝13×12×CG×CD×BC＝13×12×12×3×1＝312.∴三棱锥GECD的体积为312.热点二平面图形的折叠问题[例2](2019·全国Ⅲ卷)图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；(2)求图2中的四边形ACGD的面积．-8-[审题指导](1)由平行线的传递性证明AD∥CG，结合平面图形中的条件证明AB⊥平面BCGE，再由面面垂直的判定定理可得证．(2)由AB∥DE，得DE⊥平面BCGE，取CG的中点M，结合菱形的特殊性，容易证明CG⊥平面DEM，即构造了平行四边形ACGD的高，再由已知代入公式计算．[解析](1)由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，故AB⊥平面BCGE.又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.(2)取CG的中点M，连接EM，DM.因为AB∥DE，AB⊥平面BCGE，所以DE⊥平面BCGE，故DE⊥CG.由已知，四边形BCGE是菱形，且∠EBC＝60°，得EM⊥CG，故CG⊥平面DEM.因为DM⊥CG.在Rt△DEM中，DE＝1，EM＝3，故DM＝2.所以四边形ACGD的面积为4.平面图形折叠问题的求解方法(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口．(2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形．(2019·石家庄三模)如图(1)所示，在边长为24的正方形ADD1A1中，点B，C在边AD上，且AB＝6，BC＝8，作BB1∥AA1分别交AD1，A1D1于点P，B1，作CC1∥AA1分别交AD1，A1D1于点Q，C1，将该正方形沿BB1，CC1折叠，使得DD1与AA1重合，构成如图(2)所示的三棱柱ABC－A1B1C1.-9-(1)求证：AB⊥平面BCC1B1；(2)求多面体A1B1C1－APQ的体积．解析：(1)证明：由题知，在题图(2)中，AB＝6，BC＝8，CA＝10，∴AB2＋BC2＝CA2，∴AB⊥BC.又AB⊥BB1，BC∩BB1＝B，∴AB⊥平面BCC1B1.(2)由题易知三棱柱ABC－A1B1C1的体积为12×6×8×24＝576.∵在题图(1)中，△ABP和△ACQ都是等腰直角三角形，∴AB＝BP＝6，AC＝CQ＝14，∴VA－CQPB＝13×S四边形CQPB×AB＝13×12×(6＋14)×8×6＝160.∴多面体A1B1C1－APQ的体积V＝VABC－A1B1C1－VA－CQPB＝576－160＝416.热点三异面直线所成的角、线面角[例3](2019·天津卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD＝2，AD＝3.(1)设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH∥平面PAD；(2)求证：PA⊥平面PCD；(3)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值．[审题指导](1)连接BD，利用GH∥PD推线面平行．(2)连接DN，先证DN⊥平面PAC，再证PA⊥平面PCD.(3)由DN⊥平面PAC，可知∠DAN为所求，利用直角三角形求解．[解析]-10-(1)连接BD，易知AC∩BD＝H，BH＝DH.又由BG＝PG，故GH∥PD.又因为GH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，所以GH∥平面PAD.(2)取棱PC的中点N，连