（新高考）2020版高考数学二轮复习 专项小测12 “12选择＋4填空” 理

-1-专项小测(十二)“12选择＋4填空”时间：45分钟满分：80分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{(x，y)|y＝x＋1，x∈R}，集合B＝{(x，y)|y＝x2，x∈R}，则集合A∩B的子集个数为()A．1B．2C．3D．4解析：由题意得，直线y＝x＋1与抛物线y＝x2有2个交点，所以A∩B的子集有4个，故选D.答案：D2．设复数z满足z(1－i)＝2(其中i为虚数单位)，则下列说法正确的是()A．|z|＝2B．复数z的虚部是iC.z＝－1＋iD．复数z在复平面内所对应的点在第一象限解析：因为z(1－i)＝2，所以z＝21－i＝21＋i1－i1＋i＝1＋i，所以|z|＝12＋12＝2，所以A错误；z＝1＋i的虚部为1，所以B错误；z＝1＋i的共轭复数为z＝1－i，所以C错误；z＝1＋i在复平面内所对应的点为(1,1)，在第一象限，所以D正确，故选D.答案：D3．某校进行了一次创新作文大赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[40,90]之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是()A．得分在[40,60)之间的共有40人B．从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[60,80)的概率为0.5C．这100名参赛者得分的中位数为65D．估计得分的众数为55-2-解析：由频率分布直方图可知10a＋0.35＋0.3＋0.2＋0.1＝1，得a＝0.005，所以得分在[40,60)之间的人数为(0.05＋0.35)×100＝40，A正确；得分在[60,80)之间的人数为(0.3＋0.2)×100＝50人，则从这100名参赛者中随机选1人，其得分在[60,80)的概率为50100＝0.5，B正确；由频率分布直方图可知，这100名参赛者得分的中位数为60＋103＝6313，C错误；频率分布直方图中最高矩形中点的横坐标为55，则估计得分的众数为55，D正确，故选C.答案：C4．已知等差数列{an}的公差为d，且a8＋a9＋a10＝24，则a1d的最大值为()A.12B.14C．2D．4解析：由a8＋a9＋a10＝24，得3a9＝24，a9＝8，则a1＋8d＝8，a1＝8－8d，a1d＝(8－8d)d＝8(1－d)d＝8(－d2＋d)＝8－d－122＋14＝－8d－122＋2，所以当d＝12时，a1d取得最大值2，故选C.答案：C5．已知α∈(0，π)，且tanα＝2，则cos2α＋cosα＝()A.25－35B.5－35C.5＋35D.25＋35解析：∵α∈(0，π)，tanα＝2，∴α在第一象限，cosα＝15，cos2α＋cosα＝2cos2α－1＋cosα＝2×152－1＋15＝－35＋15＝5－35，故选B.答案：B6．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，异面直线AC1与BB1所成的角为30°，则AA1＝()A.3B．3C.5D.6解析：如图，连接A1C1，由长方体的性质知，-3-BB1∥AA1，则∠A1AC1即异面直线AC1与BB1所成的角，所以∠A1AC1＝30°.在Rt△A1B1C1中，A1C1＝A1B21＋B1C21＝2.在Rt△A1AC1中，tan∠A1AC1＝A1C1A1A，即A1A＝A1C1tan∠A1AC1＝233＝6，故选D.答案：D7．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝7，S6＝63，则数列{nan}的前n项和为()A．－3＋(n＋1)×2nB．3＋(n＋1)×2nC．1＋(n＋1)×2nD．1＋(n－1)×2n解析：解法一：设{an}的公比为q，易知q≠1，所以由题设得S3＝a11－q31－q＝7，S6＝a11－q61－q＝63，两式相除得1＋q3＝9，解得q＝2，进而可得a1＝1，所以an＝a1qn－1＝2n－1，所以nan＝n×2n－1.设数列{nan}的前n项和为Tn，则Tn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n×2n－1,2Tn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，两式作差得－Tn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n×2n＝1－2n－1×21－2－n×2n＝－1＋(1－n)×2n，故Tn＝1＋(n－1)×2n.故选D.解法二：设{an}的公比为q，易知q≠1，所以由题设得S3＝a11－q31－q＝7，S6＝a11－q61－q＝63，两式相除得1＋q3＝9，解得q＝2，进而可得a1＝1，所以an＝a1qn－1＝2n－1，所以nan＝n×2n－1.取n＝1，检验知选项B、C错误；取n＝2，检验知选项A错误．故选D.答案：D8．已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是()-4-A．求1＋13＋15＋17＋…＋121的值B．求1＋13＋15＋17＋…＋119的值C．求1－13＋15－17＋…－119的值D．求1－13＋15－17＋…＋121的值解析：模拟执行程序可得：S＝1，a＝－1，n＝3；S＝1－13，a＝1，n＝5；S＝1－13＋15，a＝－1，n＝7；S＝1－13＋15－17，a＝1，n＝9；S＝1－13＋15－17＋19，a＝－1，n＝11；S＝1－13＋15－17＋19－111，a＝1，n＝13；S＝1－13＋15－17＋…＋113，a＝－1，n＝15；S＝1－13＋15－17＋…－115，a＝1，n＝17；S＝1－13＋15－17＋…＋117，a＝－1，n＝19；S＝1－13＋15－17＋…－119，a＝1，n＝21.由于21＞19，所以结束循环，输出S＝1－13＋15－17＋…－119，故选C.答案：C9．在△ABC中，点P满足BP→＝2PC→，过点P的直线与AB，AC所在直线分别交于点M，N，若AM→＝mAB→，AN→＝nAC→(m＞0，n＞0)，则m＋2n的最小值为()A．3B．4C.83D.103-5-解析：因为BP→＝2PC→，所以AP→－AB→＝2(AC→－AP→)，所以AP→＝13AB→＋23AC→.又因为AM→＝mAB→，AN→＝nAC→，所以AP→＝13mAM→＋23nAN→.因为M，P，N三点共线，所以13m＋23n＝1，所以m＋2n＝(m＋2n)13m＋23n＝13＋43＋23nm＋mn≥53＋23×2nm·mn＝53＋43＝3，当且仅当nm＝mn，13m＋23n＝1，即m＝n＝1时等号成立，所以m＋2n的最小值为3，故选A.答案：A10．若函数f(x)＝4sin2π3－ωxsinωx＋cos(2π－2ωx)在－3π2，3π2是增函数，则正数ω的最大值是()A.18B.16C.14D.13解析：f(x)＝432cosωx＋12sinωxsinωx＋cos2ωx＝3sin2ωx＋2sin2ωx＋cos2ωx＝3sin2ωx＋1－cos2ωx＋cos2ωx＝3sin2ωx＋1.因为f(x)在－3π2，3π2是增函数，且ω＞0，所以3π2－－3π2≤T2＝π2ω，即0＜ω≤16，所以正数ω的最大值为16，故选B.答案：B11．甲与其四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是9,0,2,1,5，为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行)，五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为()A．64B．80-6-C．96D．120解析：5日至9日，分别为5,6,7,8,9，有3天奇数日，2天偶数日，第一步，安排偶数日出行，每天都有2种选择，共有22＝4(种)；第二步，安排奇数日出行，分两类，第一类，选1天安排甲的车，另外2天安排其他车，有3×2×2＝12(种)，第二类，不安排甲的车，每天都有2种选择，共有23＝8(种)，共计12＋8＝20(种)．根据分步乘法计数原理，不同的用车方案种数为4×20＝80，故选B.答案：B12．已知F1，F2分别为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，点P是椭圆上位于第一象限内的点，延长PF2交椭圆于点Q，若PF1⊥PQ，且|PF1|＝|PQ|，则椭圆的离心率为()A．2－2B.3－2C.2－1D.6－3解析：由题意知△F1PQ为等腰直角三角形．设|PF1|＝|PQ|＝m，|QF1|＝n，则2m2＝n2，n＝2m.又|PF2|＝2a－m，|QF2|＝2a－n＝2a－2m，则(2a－m)＋(2a－2m)＝m，得m＝2(2－2)a，|PF2|＝2a－2(2－2)a＝2(2－1)a.在Rt△F1PF2中，可得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即[2(2－2)a]2＋[2(2－1)a]2＝4c2，化简得(9－62)a2＝c2，所以e2＝c2a2＝9－62＝(6－3)2，e＝6－3，故选D.答案：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在x2－1x6的展开式中，常数项为________．(用为数字作答)解析：x2－1x6展开式的通项为Tr＋1＝Cr6x12－2r(－1)rx－r＝(－1)rCr6x12－3r，令12－3r＝0，得r＝4，故常数项为(－1)4C46＝15.-7-答案：1514．已知圆C：(x－1)2＋(y－a)2＝16，若直线ax＋y－2＝0与圆C相交于A，B两点，且CA⊥CB，则实数a的值为________．解析：圆心C的坐标为C(1，a)，半径R＝4.∵CA⊥CB，∴弦长|AB|＝42＋42＝42，圆心C到直线ax＋y－2＝0的距离为d＝|2a－2a2＋1，∴弦长|AB|＝242－|2a－2|a2＋12＝216－4()a2－2a＋1a2＋1，∴216－4()a2－2a＋1a2＋1＝42，化简得a2＋2a＋1＝0，解得a＝－1.答案：－115．如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E是DC的中点，如图2.将△DAE沿AE翻折起，使翻折后平面DAE⊥平面ABCE，则异面直线AE和DB所成角的余弦值为________．解析：取AE的中点为O，连接DO，BO，延长EC到F使EC＝CF，连接BF，DF，OF，则BF∥AE，所以∠DBF为异面直线AE和DB所成角或它的补角．因为DA＝DE＝1，所以DO⊥AE，且|AO|＝|DO|＝22.在△ABO中，根据余弦定理得cos∠OAB＝cos45°＝|AO|2＋|AB|2－|BO|22|AO|·|AB|＝22，所以|BO|＝102，同理可得|OF|＝262.又因为平面DAE⊥平面ABCE，平面DAE∩平面ABCE＝AE，DO⊂平面DAE，所以DO⊥平面ABCE.-8-因为BO⊂平面ABCE，所以DO⊥BO，所以|BD|2＝|BO|2＋|DO|2＝12＋52＝3，即|BD|＝3.同理可得|DF|＝7.又因为BF＝AE＝2，所以在△DBF中，cos∠DBF＝|DB|2＋|BF|2－|DF|22|DB|·|BF|＝3＋2－72×3×2＝－66.因为两异面直线的夹角的取值范围为0，π2，所以异面直线AE和DB所成角的余弦值为66.答案：6616．已知函数f(x)＝4sin2x＋π60≤x≤91π6，若函数F(x)＝f(x)－3的所有零点依次记为x1，x2，x3，…，xn，x1＜x2＜x3＜…＜xn，则x1＋2x2＋2x3＋…＋2xn－1＋xn＝________.解析：令2x＋π6＝π2＋kπ(k∈Z)，得x＝π6＋kπ2(k∈Z)，即f(x)图象的对称轴方程为x＝π6＋kπ2(k∈Z)，因为f(x)的最小正周期为T＝π，0≤x≤91π6，所以f(x)在0，91π6上有30条对称轴，所以x1＋x2＝2×π6，x2＋x3＝2×2π3，x3＋x4＝2×7π6，…，xn－1＋xn＝2×44π3，将以上各式相加得：x1＋