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-1-第一章解三角形检测试题(时间:120分钟满分:150分)[选题明细表]知识点、方法题号正、余弦定理的简单应用1,2,4,5解三角形6,13,14,17判断三角形的形状3,7三角形面积的计算8,9,15正、余弦定理在实际中的应用12,22综合问题10,11,16,18,19,20,21一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.在△ABC中,已知a=11,b=20,A=130°,则此三角形(A)(A)无解(B)只有一解(C)有两解(D)解的个数不定解析:根据大角对大边,因为ba,所以BA,因为A=130°,所以本题无解.故选A.2.在△ABC中,若B=120°,则a2+ac+c2-b2的值(C)(A)大于0(B)小于0(C)等于0(D)不确定解析:因为B=120°,所以cosB=-=,所以a2+c2-b2+ac=0.3.若三角形的三条边分别为4,5,7,则这个三角形是(C)(A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)钝角或锐角三角形解析:设三角形的最大角为α,因为72=42+52-2×4×5cosα,-2-所以cosα=-0,所以α为钝角,故选C.4.在△ABC中,A∶B∶C=4∶1∶1,则a∶b∶c等于(A)(A)∶1∶1(B)2∶1∶1(C)∶1∶2(D)3∶1∶1解析:由A∶B∶C=4∶1∶1,得A=120°,B=30°,C=30°,所以a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC=∶∶=∶1∶1.故选A.5.在△ABC中,b=,c=3,B=30°,则a的值为(C)(A)(B)2(C)或2(D)2解析:因为b=,c=3,B=30°,又因为b2=a2+c2-2accosB,所以3=a2+9-2×a×3×,所以a=2或.故选C.6.△ABC的三内角A,B,C的对边边长分别为a,b,c.若a=b,A=2B,则cosB等于(B)(A)(B)(C)(D)解析:由正弦定理得=,因为a=b可化为=.又A=2B,所以=,所以cosB=.故选B.7.在△ABC中,已知b=asinC,c=acosB,则△ABC一定是(D)(A)等腰三角形(B)直角三角形(C)等边三角形(D)等腰直角三角形-3-解析:b=asinC,c=acosB,b2=a2+c2-2accosB.a2sin2C=a2+a2cos2B-2acosB·acosB=a2-a2cos2B=a2sin2B,所以C=B,所以b2+c2=a2sin2C+a2cos2B=a2sin2C+a2cos2C=a2,所以C=B=45°.故选D.8.已知在△ABC中,内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若a=2bcosA,B=,c=1,则△ABC的面积等于(C)(A)(B)(C)(D)解析:因为a=2bcosA,所以由正弦定理有sinA=2sinBcosA,将B=代入,得tanA=.因为A是三角形内角,所以A=,所以△ABC是等边三角形,所以S=×12=.故选C.9.在△ABC中,BC=2,B=,若△ABC的面积为,则tanC为(C)(A)(B)1(C)(D)解析:由S△ABC=BC·BAsinB=得BA=1,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB,所以AC=,所以△ABC为直角三角形,其中A为直角,所以tanC==.故选C.10.(2019·临沂高二检测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2+c2-b2)tanB=ac,则角B的值为(D)-4-(A)(B)(C)或(D)或解析:因为(a2+c2-b2)tanB=ac,所以·tanB=,即cosB·tanB=sinB=.因为0Bπ,所以角B的值为或.11.在△ABC中,AB=7,AC=6,M是BC的中点,AM=4,则BC等于(B)(A)(B)(C)(D)解析:设BC=a,则BM=MC=.在△ABM中,AB2=BM2+AM2-2BM·AM·cos∠AMB,即72=a2+42-2××4·cos∠AMB①在△ACM中,AC2=AM2+CM2-2AM·CM·cos∠AMC即62=42+a2+2×4×·cos∠AMB②①+②得,72+62=42+42+a2,所以a=.12.甲船在湖中B岛的正南A处,AB=3km,甲船以8km/h的速度向正北方向航行,同时乙船从B岛出发,以12km/h的速度向北偏东60°方向驶去,则行驶15分钟时,两船的距离是(B)(A)km(B)km(C)km(D)km-5-解析:如图,由题意知AM=8×=2,BN=12×=3,MB=AB-AM=3-2=1,所以由余弦定理MN2=MB2+BN2-2MB·BNcos120°=1+9-2×1×3×(-)=13,所以MN=km.故选B.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.在等腰△ABC中,已知sinA∶sinB=1∶2,底边BC=10,则△ABC的周长是.解析:由正弦定理得BC∶AC=sinA∶sinB=1∶2.又因为BC=10,所以AC=20,所以AB=AC=20.所以△ABC的周长是10+20+20=50.答案:5014.已知△ABC中,3a2-2ab+3b2-3c2=0,则cosC的值为.解析:由3a2-2ab+3b2-3c2=0,得c2=a2+b2-ab.根据余弦定理,cosC===.答案:15.在△ABC中,A=60°,AB=5,BC=7,则△ABC的面积为.解析:设AC=x,则由余弦定理得:BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA,所以49=25+x2-5x,所以x2-5x-24=0.所以x=8或x=-3(舍去).-6-所以S△ABC=×5×8×sin60°=10.答案:1016.若△ABC的面积为(a2+c2-b2),且∠C为钝角,则∠B=;的取值范围是.解析:由余弦定理得cosB=,所以a2+c2-b2=2accosB.又因为S=(a2+c2-b2),所以acsinB=×2accosB,所以tanB=,所以∠B=.又因为∠C为钝角,所以∠C=-∠A,所以0∠A.由正弦定理得===+·.因为0tanA,-7-所以,所以+×=2,即2.答案:(2,+∞)三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2bsinA.(1)求B的大小;(2)若a=3,c=5,求b.解:(1)因为a=2bsinA,所以sinA=2sinB·sinA,所以sinB=.因为0B,所以B=30°.(2)因为a=3,c=5,B=30°.由余弦定理b2=a2+c2-2accosB=(3)2+52-2×3×5×cos30°=7.所以b=.18.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知3cos(B-C)-1=6cosBcosC.(1)求cosA;(2)若a=3,△ABC的面积为2,求b,c.解:(1)因为3(cosBcosC+sinBsinC)-1=6cosBcosC,所以3cosBcosC-3sinBsinC=-1,所以3cos(B+C)=-1,所以cos(π-A)=-,-8-所以cosA=.(2)由(1)得sinA=,由面积公式bcsinA=2可得bc=6,①根据余弦定理得cosA===,则b2+c2=13,②①②两式联立可得b=2,c=3或b=3,c=2.19.(本小题满分12分)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设向量m=(a,b),n=(sinB,sinA),p=(b-2,a-2).(1)若m∥n,求证:△ABC为等腰三角形;(2)若m⊥p,边长c=2,角C=,求△ABC的面积.(1)证明:因为m∥n,所以asinA=bsinB,即a·=b·,其中R是△ABC外接圆半径,所以a=b.所以△ABC为等腰三角形.(2)解:由题意知m·p=0,即a(b-2)+b(a-2)=0.所以a+b=ab.由余弦定理可知,4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,即(ab)2-3ab-4=0.所以ab=4(舍去ab=-1),所以S△ABC=absinC=×4×sin=.20.(本小题满分12分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°.-9-(1)若PB=,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.解:(1)由已知得,∠PBC=60°,所以∠PBA=30°.在△PBA中,由余弦定理得PA2=3+-2××cos30°=.故PA=.(2)设∠PBA=α,由已知得PB=sinα.在△PBA中,由正弦定理得=,化简得cosα=4sinα.所以tanα=,即tan∠PBA=.21.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos(A-B)cosB-sin(A-B)sin(A+C)=-.(1)求sinA的值;(2)若a=4,b=5,求向量在方向上的投影.解:(1)由cos(A-B)cosB-sin(A-B)sin(A+C)=-,得cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-,则cos(A-B+B)=-,-10-即cosA=-.又0Aπ,则sinA=.(2)由正弦定理,有=,所以sinB==.由题意知ab,则AB,故B=.根据余弦定理有(4)2=52+c2-2×5c×(-),解得c=1或c=-7(负值舍去).故向量在方向上的投影为||cosB=.22.(本小题满分12分)如图,我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛,小岛B与小岛A、小岛C相距都为5nmile,与小岛D相距为3nmile.小岛A对小岛B与D的视角为钝角,且sinA=.(1)求小岛A与小岛D之间的距离;(2)记小岛D对小岛B与C的视角为α,小岛B对小岛C与D的视角为β,求sin(2α+β)的值.解:(1)因为sinA=,且角A为钝角,-11-所以cosA=-=-.在△ABD中,由余弦定理得AD2+AB2-2AD·AB·cosA=BD2,所以AD2+52-2AD·5·(-)=(3)2,所以AD2+8AD-20=0,解得AD=2或AD=-10(舍去),所以小岛A与小岛D之间的距离为2nmile.(2)在△BCD中,由正弦定理,=,即=,解得sinα=,由BCBD,所以α为锐角,所以cosα=,又sin(α+β)=sin(180°-C)=sinC=,cos(α+β)=cos(180°-C)=-cosC=-,所以sin(2α+β)=sin[α+(α+β)]=sinαcos(α+β)+cosαsin(α+β)=.