（新课标）2020版高考数学二轮复习 专题三 立体几何 第3讲 立体几何中的向量方法学案 理 新人教

-1-第3讲立体几何中的向量方法[做真题]1．(2019·高考全国卷Ⅱ)如图，长方体ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.(1)证明：BE⊥平面EB1C1；(2)若AE＝A1E，求二面角B­EC­C1的正弦值．解：(1)证明：由已知得，B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1，所以BE⊥平面EB1C1.(2)由(1)知∠BEB1＝90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝45°，故AE＝AB，AA1＝2AB.以D为坐标原点，DA→的方向为x轴正方向，|DA→|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz，则C(0，1，0)，B(1，1，0)，C1(0，1，2)，E(1，0，1)，CB→＝(1，0，0)，CE→＝(1，－1，1)，CC→1＝(0，0，2)．设平面EBC的法向量为n＝(x，y，z)，则-2-CB→·n＝0，CE→·n＝0，即x＝0，x－y＋z＝0，所以可取n＝(0，－1，－1)．设平面ECC1的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则CC→1·m＝0，CE→·m＝0，即2z1＝0，x1－y1＋z1＝0，所以可取m＝(1，1，0)．于是cosn，m＝n·m|n||m|＝－12.所以，二面角B­EC­C1的正弦值为32.2．(2018·高考全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值．解：(1)证明：由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF.又BF⊂平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.(2)作PH⊥EF，垂足为H.由(1)得，PH⊥平面ABFD.以H为坐标原点，HF→的方向为y轴正方向，|BF→|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz.由(1)可得，DE⊥PE.又DP＝2，DE＝1，所以PE＝3.又PF＝1，EF＝2，故PE⊥PF.可得PH＝32，EH＝32.则H(0，0，0)，P0，0，32，D－1，－32，0，DP→＝1，32，32，HP→＝0，0，32为平面ABFD的法向量．-3-设DP与平面ABFD所成角为θ，则sinθ＝HP→·DP→|HP→||DP→|.所以存在满足条件的点M，M为DF的中点．