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-1-2.5.1平面几何中的向量方法2.5.2向量在物理中的应用举例选题明细表知识点、方法题号向量在平面几何中的应用5,8,9,10,11,12向量在解析几何中的应用2,3,6,13向量在物理中的应用1,4,7基础巩固1.用力F推动一物体水平运动sm,设F与水平面的夹角为θ,则力F对物体所做的功为(D)(A)|F|·s(B)F·cosθ·s(C)F·sinθ·s(D)|F|·cosθ·s解析:W=F·s=|F|·|s|·cosθ=|F|cosθ·s.2.已知直线l平行于向量a=(1,2)且过点(-1,1),则直线l不过(D)(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限解析:由题意知l的斜率k=2.又过点(-1,1),所以直线方程为y-1=2(x+1),即y=2x+3,画出图象可知不过第四象限.故选D.3.过点M(2,3),且垂直于向量u=(2,1)的直线方程为(A)(A)2x+y-7=0(B)2x+y+7=0(C)x-2y+4=0(D)x-2y-4=0解析:设P(x,y)是所求直线上任一点,则⊥u,又因为=(x-2,y-3),所以2(x-2)+(y-3)=0,即2x+y-7=0.-2-4.如图所示,一力作用在小车上,其中力F的大小为10N,方向与水平面成60°角,当小车向前运动10米,则力F做的功为(B)(A)100焦耳(B)50焦耳(C)50焦耳(D)200焦耳解析:设小车位移为s,则|s|=10米,WF=F·s=|F||s|·cos60°=10×10×=50(焦耳).故选B.5.(2018·菏泽市期中)在△ABC中,D为BC边上一点,且AD⊥BC,向量+与向量共线,若||=,||=2,++=0,则的值为(A)(A)(B)3(C)2(D)解析:在△ABC中,D为BC边上一点,且AD⊥BC,向量+与向量共线,可得BC边上的中线与AD重合,即有△ABC为等腰三角形,且AB=AC=,BD=CD=1,AD==3,-3-再由++=0,可得G为△ABC的重心,且AG=2GD,可得DG=1,CG==,则的值为=.6.(2018·南京市期末)在平面直角坐标系xOy中,经过点P(1,1)的直线l与x轴交于点A,与y轴交于点B.若=-2,则直线l的方程是.解析:设直线l的方程为:y-1=k(x-1),(k≠0),可得A(1-,0),B(0,1-k).因为=-2,所以(1--1,-1)=-2(-1,1-k-1),即(-,-1)=(2,2k).所以-=2,-1=2k,解得k=-.所以直线l的方程为:y-1=-(x-1),化为:x+2y-3=0.答案:x+2y-3=07.(2018·昆山市期中)如图,用三根细绳OA,OB,OC悬挂重物G处于静止状态,现测得∠AOB=120°,细绳OC所受的拉力为N,细绳OA所受拉力为2N,则细绳OB所受拉力为N.-4-解析:令OA,OB,OC的拉力分别为,,,因为三根细绳OA,OB,OC悬挂重物G处于静止状态,所以合力为零,即++=0,即=-(+).设OB所受的拉力为x,则=(+)2,即=++2||·||·cos120°,所以7=4+x2-2×2x×,所以x=3或x=-1(舍去),即OB所受的拉力为3N.答案:38.已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(5-m,-(3+m)).(1)若点A,B,C能构成三角形,求实数m应满足的条件;(2)若△ABC为直角三角形,且∠A为直角,求实数m的值.解:(1)已知=(3,-4),=(6,-3),=(5-m,-(3+m)),若A,B,C能构成三角形,则这三点不共线.-5-因为=(3,1),=(2-m,1-m),所以3(1-m)≠2-m.所以实数m≠时满足条件.(2)若△ABC为直角三角形,且∠A为直角,则⊥,所以3(2-m)+(1-m)=0,解得m=.能力提升9.已知O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个动点,若动点P满足=+λ(+),λ∈(0,+∞),则(D)(A)动点P的轨迹一定通过△ABC的重心(B)动点P的轨迹一定通过△ABC的内心(C)动点P的轨迹一定通过△ABC的外心(D)动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心解析:由条件,得=λ(+),从而·=λ(+)=λ·+λ·=0,所以⊥,则动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心.10.O是平面ABC内的一定点,P是平面ABC内的一动点,若(-)·(+)=(-)·(+)=0,则O为△ABC的(B)-6-(A)内心(B)外心(C)重心(D)垂心解析:因为(-)·(+)=0,则(-)·(+)=0,所以-=0,所以||=||.同理可得||=||,即||=||=||,所以O为△ABC的外心.11.已知P为△ABC所在平面内一点,且满足=+,则△APB的面积与△APC的面积之比为.解析:5=+2,2-2=--2,-2(+)=,如图所示,=2=4,-7-所以||=4||,所以===.答案:12.如图所示,平行四边形ABCD中,已知AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的长.解:设=a,=b,则=a-b,=a+b.而||=|a-b|====,所以||2=5-2a·b=4,所以2a·b=1.又||2=|a+b|2=a2+2ab+b2=|a|2+2ab+|b|2-8-=1+4+2ab,所以||2=6,所以||=,即AC=.探究创新13.△ABC中,A(4,1),B(7,5),C(-4,7),求∠A的平分线所在的直线的方程.解:向量=(7,5)-(4,1)=(3,4),=(-4,7)-(4,1)=(-8,6),从而∠A的平分线的一个方向向量为+=(,)+(-,)=(-,),则∠A的平分线方程可设为x+y+m=0,将点(4,1)的坐标代入,得m=-,整理得7x+y-29=0,即∠A的平分线所在直线的方程为7x+y-29=0.