2021版高考数学一轮复习 第七章 立体几何 7.1 空间几何体的结构及其表面积、体积教学案 苏教版

-1-第七章立体几何全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式高考在本章一般命制2道小题、1道解答题，分值约占22分.2.考查内容(1)小题主要考查几何体体积与表面积计算，此类问题属于中档题目；对于球与棱柱、棱锥的切接问题，知识点较整合，难度稍大.(2)解答题一般位于第18题或第19题的位置，常设计两问：第(1)问重点考查线面位置关系的证明；第(2)问重点考查空间角，尤其是二面角、线面角的计算．属于中档题目.3.备考策略从2019年高考试题可以看出，高考对对空间几何体的展开、平面图形的折叠、解题中的补体等传统几何思想有所加强.第一节空间几何体的结构及其表面积、体积[最新考纲]1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能够运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.会用斜二测画法画出常见几何体：长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的直观图.3.了解球、棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积的计算公式．1．多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台-2-图形底面互相平行且相等多边形互相平行侧棱平行且相等相交于一点，但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形2.旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形任一边所在的直线圆锥直角三角形任一直角边所在的直线几何体旋转图形旋转轴圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线球半圆直径所在的直线3.直观图三视图画法规则：长对正、高平齐、宽相等直观图斜二测画法：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直.(2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半.4.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l5.柱体、锥体、台体和球的表面积和体积名称几何体表面积体积-3-柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝13Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝13(S上＋S下＋S上S下)h球S＝4πR2V＝43πR3[常用结论]1．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝24S原图形，S原图形＝22S直观图．2．多面体的内切球与外接球常用的结论(1)设正方体的棱长为a，则它的内切球半径r＝a2，外接球半径R＝32a.(2)设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则它的外接球半径R＝a2＋b2＋c22.(3)设正四面体的棱长为a，则它的高为H＝63a，内切球半径r＝14H＝612a，外接球半径R＝34H＝64a.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．()(3)菱形的直观图仍是菱形．()(4)每个面都是正三角形的多面体一定是正四面体．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×二、教材改编1．将一个等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括()A．一个圆台、两个圆锥B．两个圆台、一个圆柱C．两个圆柱、一个圆台D．一个圆柱、两个圆锥-4-D[从较短的底边的端点向另一底边作垂线，两条垂线把等腰梯形分成了两个直角三角形，一个矩形，所以一个等腰梯形绕它的较长的底边所在直线旋转一周形成的是由一个圆柱，两个圆锥所组成的几何体，如图：]2．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A．12πB.323πC．8πD．4πA[由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线为23即为球的直径，所以球的表面积为4πR2＝(2R)2π＝12π，故选A.]3．已知圆锥的表面积等于12πcm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为()A．1cmB．2cmC．3cmD.32cmB[S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2(cm)．]4．一个圆台上、下底面的半径分别为3cm和8cm，若两底面圆心的连线长为12cm，则这个圆台的母线长为cm.13[如图，过点A作AC⊥OB，交OB于点C.在Rt△ABC中，AC＝12cm，BC＝8－3＝5(cm)．所以AB＝122＋52＝13(cm)．]考点1空间几何体的直观图1.直观图画法的规则：斜二测画法．2.原图与直观图中的“三变”与“三不变”-5-(1)“三变”坐标轴的夹角改变与y轴平行的线段的长度改变减半图形改变(2)“三不变”平行性不变与x轴平行的线段长度不变相对位置不变已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()A.34a2B.38a2C.68a2D.616a2D[法一：如图①②所示的实际图形和直观图，由图②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝12OC＝34a，在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝22O′C′＝68a，所以S△A′B′C′＝12A′B′·C′D′＝12×a×68a＝616a2.法二：S△ABC＝12×a×asin60°＝34a2，又S直观图＝24S原图＝24×34a2＝616a2.故选D.]1.(2019·杭州模拟)在等腰梯形ABCD中，上底CD＝1，腰AD＝CB＝2，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为．22[画出等腰梯形ABCD的实际图形及直观图A′B′C′D′如图所示，因为OE＝22－12＝1，-6-所以O′E′＝12，E′F′＝24.所以直观图A′B′C′D′的面积为S′＝12×(1＋3)×24＝22.]2．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，则原图形是()A．正方形B．矩形C．菱形D．一般的平行四边形C[如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×22＝42cm，CD＝C′D′＝2cm.∴OC＝OD2＋CD2＝422＋22＝6cm，∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形．故选C.](1)概念辨析类的问题常借助反例求解．(2)紧扣结构特征是判断空间几何体的结构特征正误的关键，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后依据题意判定．考点2空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积几类空间几何体表面积的求法(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和．(2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和．(3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的删、补．(1)若正四棱锥的底面边长和高都为2，则其表面积为．(2)圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是-7-180°，那么圆台的表面积为cm2(结果中保留π)．(1)4＋45(2)1100π[(1)因为四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，所以该四棱锥为正四棱锥，如图．由题意知底面正方形的边长为2，正四棱锥的高为2，则正四棱锥的斜高PE＝22＋12＝5.所以该四棱锥的侧面积S＝4×12×2×5＝45，∴S表＝2×2＋45＝4＋45.(2)如图所示，设圆台的上底周长为C，因为扇环的圆心角是180°，所以C＝π·SA.又C＝2π×10＝20π，所以SA＝20(cm)．同理SB＝40(cm)．所以AB＝SB－SA＝20(cm)．S表＝S侧＋S上底＋S下底＝π(r1＋r2)·AB＋πr21＋πr22＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1100π(cm2)．故圆台的表面积为1100πcm2.]本例1是有关多面体侧面积的问题，关键是找到其特征几何图形，如棱柱中的矩形、棱台中的直角梯形、棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、边长等几何元素间的桥梁，从而架起求侧面积公式中的未知量与条件中已知几何元素间的联系；本例2是圆台的侧面积问题，采用了还锥为台的思想．空间几何体的体积求空间几何体的体积的常用方法(1)直接法：对于规则几何体，直接利用公式计算即可．若已知三视图求体积，应注意三视图中的垂直关系在几何体中的位置，确定几何体中的线面垂直等关系，进而利用公式求解．(2)等积法：利用三棱锥的“等积性”可以把任一个面作为三棱锥的底面．-8-(3)割补法：当一个几何体的形状不规则时，常通过分割或者补形的手段将此几何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体，然后再计算．经常考虑将三棱锥还原为三棱柱或长方体，将三棱柱还原为平行六面体，将台体还原为锥体．(1)如图所示，正三棱柱ABC­A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，D为BC中点，则三棱锥A­B1DC1的体积为()A．3B.32C．1D.32(2)(2019·江苏高考)如图，长方体ABCD­A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E­BCD的体积是．(3)如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1­EDF的体积为．(4)如图所示，已知多面体ABCDEFG中，AB，AC，AD两两互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1，则该多面体的体积为．(1)C(2)10(3)16(4)4[(1)(直接法)如题图，在正△ABC中，D为BC中点，则有-9-AD＝32AB＝3，又∵平面BB1C1C⊥平面ABC，平面BB1C1C∩平面ABC＝BC，AD⊥BC，AD⊂平面ABC，由面面垂直的性质定理可得AD⊥平面BB1C1C，即AD为三棱锥A­B1DC1的底面B1DC1上的高，∴VA－B1DC1＝13S△B1DC1·AD＝13×12×2×3×3＝1.(2)因为长方体ABCD­A1B1C1D1的体积为120，所以AB·BC·CC1＝120，因为E为CC1的中点，所以CE＝12CC1，由长方体的性质知CC1⊥底面ABCD，所以CE是三棱锥E­BCD的底面BCD上的高，所以三棱锥E­BCD的体积V＝13×12AB·BC·CE＝13×12AB·BC·12CC1＝112×120＝10.(3)(等积法)三棱锥D1­EDF的体积即为三棱锥F­DD1E的体积．因为E，F分别为AA1，B1C上的点，所以在正方体ABCD­A1B1C1D1中，△EDD1的面积为定值12，F到平面AA1D1D的距离为定值1，所以VD1­EDF＝VF­DD1E＝13×12×1＝16.(4)法一：(分割法)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，过点C作CH⊥DG于H，连接EH，即把多面体分割成一个直三棱柱DEH­ABC和一个斜三棱柱BEF­CHG.由题意，知V三棱柱DEH­ABC＝S△DEH×AD＝12×2×1×2＝2，V三棱柱BEF­CHG＝S△BEF×DE＝12×2×1×2＝2.故所求几何体的体积为V多面体ABCDEFG＝2＋2＝4.法二：(补形法)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，显然所求多面体的体积即该正方体体积的一半．又正方体的体积V正方体ABHI­DEKG＝23＝8，故所求几何体的体积为V多面体ABCDEFG＝12×8＝4.]-10-处理体积问题的思路(1)“转”：指的是转换底面与高，将原来不易求面积的底面转换为易求面积的底面，或将原来不易看出的高转换为易看出并易求解长度的高；(2)“拆”：指的是将一个不规则的几何体拆成几个简单的几何体，便于计算；(3)“拼”：指的是将小几何体嵌入一个大几何体中，如将一个三棱锥复原成一个三棱柱，将一个三棱柱复原成一个四棱柱，这些都是拼补的方法．如图，直三棱柱ABC­A1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥D­A1BC的体积是．233[VD­A1BC＝VB1­A1BC＝VA1­B1BC＝13×S△B1BC×3＝233.]考点3与球有关的切、接问题与球