2021版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第2讲 函数的基本性质 第1课时 函数的

1第2讲函数的基本性质第1课时函数的单调性与最值一、知识梳理1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．[注意]有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值2常用结论1．函数单调性的两个等价结论设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则(1)f（x1）－f（x2）x1－x20(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0)⇔f(x)在D上单调递增．(2)f（x1）－f（x2）x1－x20(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0)⇔f(x)在D上单调递减．2．函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．二、习题改编1．(必修1P39A组T1改编)函数y＝x2－5x－6在区间[2，4]上是()A．递减函数B．递增函数C．先递减再递增函数D．先递增再递减函数解析：选C.作出函数y＝x2－5x－6的图象(图略)知开口向上，且对称轴为x＝52，在[2，4]上先减后增．故选C.2．(必修1P31例4改编)函数y＝1x－1在[2，3]上的最小值为()A．2B.12C.13D．－12解析：选B.因为y＝1x－1在[2，3]上单调递减，所以ymin＝13－1＝12.故选B.一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)f(3)，则函数f(x)在R上为增函数．()(2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数f(x)的单调递增区间是[1，＋∞)．()(3)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．()(4)所有的单调函数都有最值．()(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是3增函数．()(6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)√二、易错纠偏常见误区(1)求单调区间忘记定义域导致出错；(2)混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念出错；(3)自变量的系数影响函数的单调性．1．已知函数f(x)＝x2－2x－3，则该函数的单调递增区间为()A．(－∞，1]B．[3，＋∞)C．(－∞，－1]D．[1，＋∞)解析：选B.设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．2．若函数f(x)＝x2－2mx＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围是．解析：由题意知，[2，＋∞)⊆[m，＋∞)，所以m≤2.答案：(－∞，2]3．函数y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则m的取值范围为．解析：要使y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则2m－10，即m12.答案：－∞，12确定函数的单调性(区间)(多维探究)角度一判断或证明函数的单调性(一题多解)试讨论函数f(x)＝axx－1(a≠0)在(－1，1)上的单调性．【解】法一：设－1x1x21，f(x)＝ax－1＋1x－1＝a1＋1x－1，f(x1)－f(x2)＝a1＋1x1－1－a1＋1x2－1＝a（x2－x1）（x1－1）（x2－1），由于－1x1x21，所以x2－x10，x1－10，x2－10，4故当a0时，f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递减；当a0时，f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递增．法二：f′(x)＝（ax）′（x－1）－ax（x－1）′（x－1）2＝a（x－1）－ax（x－1）2＝－a（x－1）2.当a0时，f′(x)0，函数f(x)在(－1，1)上单调递减；当a0时，f′(x)0，函数f(x)在(－1，1)上单调递增．利用定义法证明或判断函数单调性的步骤[注意]判断函数的单调性还有图象法、导数法、性质法等．角度二求函数的单调区间求函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1的单调区间．【解】f(x)＝－x2＋2x＋1，x≥0，－x2－2x＋1，x0＝－（x－1）2＋2，x≥0，－（x＋1）2＋2，x0.画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和(0，1]，单调递减区间为(－1，0]和(1，＋∞)．【迁移探究】(变条件)若本例函数变为f(x)＝|－x2＋2x＋1|，如何求解？解：函数y＝|－x2＋2x＋1|的图象如图所示．由图象可知，函数y＝|－x2＋2x＋1|的单调递增区间为(1－2，1]和(1＋2，＋∞)；单调递减区间为(－∞，1－2]和(1，1＋2]．5确定函数的单调区间的方法[注意](1)函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函数，如函数y＝1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，但在定义域上不具有单调性．(2)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M.1．函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A可能是()A．(－∞，0)B.0，12C．[0，＋∞)D.12，＋∞解析：选B.y＝|x|(1－x)＝x（1－x），x≥0－x（1－x），x0＝－x2＋x，x≥0x2－x，x0＝－x－122＋14，x≥0，x－122－14，x0.画出函数的草图，如图．由图易知原函数在0，12上单调递增．2．下列函数中，满足“∀x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]0”的是()6A．f(x)＝2xB．f(x)＝|x－1|C．f(x)＝1x－xD．f(x)＝ln(x＋1)解析：选C.由(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]0可知，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，A、D选项中，f(x)为增函数；B中，f(x)＝|x－1|在(0，＋∞)上不单调，对于f(x)＝1x－x，因为y＝1x与y＝－x在(0，＋∞)上单调递减，因此f(x)在(0，＋∞)上是减函数．3．判断函数y＝2x2－3x的单调性．解：因为f(x)＝2x2－3x＝2x－3x，且函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而函数y＝2x和y＝－3x在区间(－∞，0)上均为增函数，根据单调函数的运算性质，可得f(x)＝2x－3x在区间(－∞，0)上为增函数．同理，可得f(x)＝2x－3x在区间(0，＋∞)上也是增函数．故函数f(x)＝2x2－3x在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均为增函数．函数的最值(值域)(师生共研)(1)(一题多解)函数y＝x＋x－1的最小值为．(2)(2020·福建漳州质检)已知函数f(x)＝2x＋a，x≤0，x＋4x，x＞0有最小值，则实数a的取值范围是．【解析】(1)法一(换元法)：令t＝x－1，且t≥0，则x＝t2＋1，所以原函数变为y＝t2＋1＋t，t≥0.配方得y＝t＋122＋34，又因为t≥0，所以y≥14＋34＝1，故函数y＝x＋x－1的最小值为1.法二：因为函数y＝x和y＝x－1在定义域内均为增函数，故函数y＝x＋x－1在[1，＋∞)内为增函数，所以ymin＝1.(2)(基本不等式法)由题意知，当x0时，函数f(x)＝x＋4x≥2x·4x＝4，当且仅当7x＝2时取等号；当x≤0时，f(x)＝2x＋a∈(a，1＋a]，因此要使f(x)有最小值，则必须有a≥4.【答案】(1)1(2)[4，＋∞)求函数最值的五种常用方法1．函数f(x)＝1x，x≥1，－x2＋2，x1，的最大值为．解析：当x≥1时，函数f(x)＝1x为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.答案：22．函数f(x)＝1x－1在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是13，则a＋b＝．解析：易知f(x)在[a，b]上为减函数，所以f（a）＝1，f（b）＝13，即1a－1＝1，1b－1＝13，所以a＝2，b＝4.所以a＋b＝6.答案：6函数单调性的应用(多维探究)角度一比较两个函数值已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2x11时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)0恒成立，设a＝f－12，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为()8A．cabB．cbaC．acbD．bac【解析】因为f(x)的图象关于直线x＝1对称．由此可得f－12＝f52.当x2x11时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上单调递减．因为1252e，所以f(2)f52f(e)，所以bac.【答案】D比较函数值大小的思路：比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．角度二解函数不等式已知函数f(x)＝－x|x|，x∈(－1，1)，则不等式f(1－m)f(m2－1)的解集为．【解析】由已知得f(x)＝x2，－1x≤0，－x2，0x1，则f(x)在(－1，1)上单调递减，所以－11－m1，－1m2－11，m2－11－m，解得0m1，所以所求解集为(0，1)．【答案】(0，1)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解，此时应特别注意函数的定义域．角度三求参数的值或取值范围已知函数f(x)＝（a－2）x，x≥2，12x－1，x2，满足对任意的实数x1≠x2，都有f（x1）－f（x2）x1－x20成立，则实数a的取值范围为．9【解析】由题意知，函数f(x)是R上的减函数，于是有a－20，（a－2）×2≤122－1，解得a≤138，即实数a的取值范围是－∞，138.【答案】－∞，138利用单调性求参数的策略(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；(2)若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．1．已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)f13的x的取值范围是()A.13，23B.13，23C.12，23D.