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1第3讲平面向量的数量积及应用举例1．向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB就是a与b的夹角设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是0°≤θ≤180°若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直2.平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos__θ叫做a与b的数量积，记作a·b投影|a|cos__θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos__θ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos__θ的乘积3．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.结论几何表示坐标表示模|a|＝a·a|a|＝x21＋y21夹角cosθ＝a·b|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．()2(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．()(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.()(4)(a·b)c＝a(b·c)．()(5)两个向量的夹角的范围是0，π2.()(6)若a·b0，则a和b的夹角为锐角；若a·b0，则a和b的夹角为钝角．()答案：(1)√(2)√(3)×(4)×(5)×(6)×[教材衍化]1．(必修4P108A组T6改编)已知a·b＝－122，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|为()A．12B．6C．33D．3解析：选B.a·b＝|a||b|cos135°＝－122，所以|b|＝－1224×－22＝6.2．(必修4P105例4改编)已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝________．解析：因为2a－b＝(4，2)－(－1，k)＝(5，2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2，1)·(5，2－k)＝0，所以10＋2－k＝0，解得k＝12.答案：123．(必修4P106练习T3改编)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．解析：由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cosθ＝4×cos120°＝－2.答案：－2[易错纠偏](1)没有找准向量的夹角致误；(2)不理解向量的数量积的几何意义致误；(3)向量的数量积的有关性质应用不熟练致误．1．已知△ABC的三边长均为1，且AB→＝c，BC→＝a，CA→＝b，则a·b＋b·c＋a·c＝________．解析：因为a，b＝b，c＝a，c＝120°，|a|＝|b|＝|c|＝1，所以a·b＝b·c＝a·c＝1×1×cos120°＝－12，所以a·b＋b·c＋a·c＝－32.答案：－3232．已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量AB→在CD→方向上的投影为________．解析：AB→＝(2，1)，CD→＝(5，5)，由定义知，AB→在CD→方向上的投影为AB→·CD→|CD→|.