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1第9讲函数模型及其应用一、知识梳理1．几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a0且a≠1，b≠0)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a0且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)2.三种函数模型性质比较y＝ax(a1)y＝logax(a1)y＝xn(n0)在(0，＋∞)上的单调性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x值增大，图象与y轴接近平行随x值增大，图象与x轴接近平行随n值变化而不同常用结论“对勾”函数f(x)＝x＋ax(a0)的性质(1)该函数在(－∞，－a]和[a，＋∞)上单调递增，在[－a，0)和(0，a]上单调递减．(2)当x0时，x＝a时取最小值2a；当x0时，x＝－a时取最大值－2a.2二、习题改编(必修1P102例3改编)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是()A．收入最高值与收入最低值的比是3∶1B．结余最高的月份是7月C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D．前6个月的平均收入为40万元答案：D一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)幂函数增长比一次函数增长更快．()(2)在(0，＋∞)内，随着x的增大，y＝ax(a1)的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α0)的增长速度．()(3)指数型函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．()答案：(1)×(2)√(3)√二、易错纠偏常见误区(1)忽视实际问题中实际量的单位、含义、范围等；(2)建立函数模型出错．1．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100km，票价是0.5元/km，如果超过100km，超过100km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(元)与行驶千米数x(km)之间的函数关系式是．解析：由题意可得y＝0.5x，0x≤100，0.4x＋10，x100.3答案：y＝0.5x，0x≤100，0.4x＋10，x1002．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝12x2＋2x＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为万件．解析：设利润为L(x)，则利润L(x)＝20x－C(x)＝－12(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．答案：18用函数图象刻画变化过程(师生共研)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是()A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同的路程，三辆汽车中，甲车消耗汽油量最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该城市用丙车比用乙车更省油【解析】根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对．【答案】D4判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择符合实际情况的答案．(2020·广州市综合检测(一))如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是()解析：选B.水位由高变低，排除C，D.半缸前下降速度先快后慢，半缸后下降速度先慢后快，故选B.二次函数、分段函数、“对勾”函数模型(师生共研)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝13x2＋x(万元)．在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋100x－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？【解】(1)因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元，依题意得，当0x8时，L(x)＝5x－13x2＋x－3＝－13x2＋4x－3；当x≥8时，L(x)＝5x－6x＋100x－38－3＝35－x＋100x.5所以L(x)＝－13x2＋4x－3，0x8，35－x＋100x，x≥8.(2)当0x8时，L(x)＝－13(x－6)2＋9.此时，当x＝6时，L(x)取得最大值L(6)＝9万元．当x≥8时，L(x)＝35－x＋100x≤35－2x·100x＝35－20＝15，当且仅当x＝100x时等号成立，即x＝10时，L(x)取得最大值15万元．因为915，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．建模解决实际问题的三个步骤(1)建模：抽象出实际问题的数学模型．(2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学演算，得到问题在数学意义上的解．(3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入的讨论，作出评价、解释，返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解．即：[提醒](1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域．(2)利用模型f(x)＝ax＋bx求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．1．某养殖场需定期购买饲料，已知该养殖场每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．则该养殖场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．解：设该养殖场x(x∈N*)天购买一次饲料能使平均每天支付的总费用最少，设总费用为y元．因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，所以x天饲料的保管费与其他费用共是6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝(3x2－3x)元．6从而有y＝1x(3x2－3x＋300)＋200×1.8＝300x＋3x＋357≥2300x·3x＋357＝417，当且仅当300x＝3x，即x＝10时，y有最小值．故该养殖场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．2．据气象中心观察和预测：发生于沿海M地的台风一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t，0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为时间t(h)内台风所经过的路程s(km)．(1)当t＝4时，求s的值；(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场台风是否会侵袭到N城，如果会，在台风发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．解：(1)由题图可知，直线OA的方程是v＝3t，直线BC的方程是v＝－2t＋70.当t＝4时，v＝12，所以s＝12×4×12＝24.(2)当0≤t≤10时，s＝12×t×3t＝32t2；当10t≤20时，s＝12×10×30＋(t－10)×30＝30t－150；当20t≤35时，s＝150＋300＋12×(t－20)×(－2t＋70＋30)＝－t2＋70t－550.综上可知，s随t变化的规律是s＝32t2，t∈[0，10]，30t－150，t∈（10，20]，－t2＋70t－550，t∈（20，35].(3)当t∈[0，10]时，smax＝32×102＝150650，当t∈(10，20]时，smax＝30×20－150＝450650，当t∈(20，35]时，令－t2＋70t－550＝650，解得t＝30或t＝40(舍去)，即在台风发生30小时后将侵袭到N城．7指数、对数函数模型(师生共研)(1)(2020·广西桂林一模)一个放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年就有34的质量发生衰变．若该物质余下质量不超过原有的1%，则至少需要的年数是()A．6B．5C．4D．3(2)里氏震级M的计算公式为：M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的倍．【解析】(1)设这种放射性物质最初的质量为1，经过x(x∈N)年后，剩余量是y.则有y＝14x，依题意得14x≤1100，整理得22x≥100，解得x≥4，所以至少需要的年数是4，故选C.(2)M＝lg1000－lg0.001＝3－(－3)＝6.设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A1，A2，则9＝lgA1－lgA0＝lgA1A0，则A1A0＝109，5＝lgA2－lgA0＝lgA2A0，则A2A0＝105，所以A1A2＝104.即9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10000倍．【答案】(1)C(2)610000指数型、对数型函数模型(1)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解．(2)有关对数型函数的应用题，一般都会给出函数解析式，要求根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据值回答其实际意义．候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为：v＝a＋blog3Q10(其中a，b是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为908个单位时，其飞行速度为1m/s.(1)求出a，b的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0m/s，此时耗氧量为30个单位，故有a＋blog33010＝0，即a＋b＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1m/s，故a＋blog39010＝1，整理得a＋2b＝1.解方程组a＋b＝0，a＋2b＝1，得a＝－1，b＝1.(2)由(1)知，v＝a＋blog3Q10＝－1＋log3Q10.所以要使飞行速度不低于2m/s，则有v≥2，所以－1＋log3Q10≥2，即log3Q10≥3，解得Q10≥27，即Q≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要270个单位．核心素养系列6数学建模——函数建模在实际问题中的妙用数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程．主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题．某新型企业为获得更大利润，须不断