（浙江专用）2021版新高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 5 第5讲 椭圆教学案

1第5讲椭圆1．椭圆的定义条件结论1结论2平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2M点的轨迹为椭圆F1、F2为椭圆的焦点|F1F2|为椭圆的焦距|MF1|＋|MF2|＝2a2a＞|F1F2|2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：(0，0)顶点A1(－a，0)，A2(a，0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为2a短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca，e∈(0，1)a，b，c的关系c2＝a2－b23.点与椭圆的位置关系已知点P(x0，y0)，椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)，则(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔x20a2＋y20b21；2(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1；(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔x20a2＋y20b21.4．椭圆中四个常用结论(1)P是椭圆上一点，F为椭圆的焦点，则|PF|∈[a－c，a＋c]，即椭圆上的点到焦点距离的最大值为a＋c，最小值为a－c.(2)椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为2b2a，通径是最短的焦点弦．(3)P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，F1，F2为椭圆的两焦点，则△PF1F2的周长为2(a＋c)．(4)设P，A，B是椭圆上不同的三点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为定值－b2a2.[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．()(3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．()(4)方程mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)表示的曲线是椭圆．()(5)x2a2＋y2b2＝1(ab0)与y2a2＋x2b2＝1(ab0)的焦距相同．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√[教材衍化]1．(选修2­1P40例1改编)若F1(－3，0)，F2(3，0)，点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是()A.x225＋y216＝1B.x2100＋y29＝1C.y225＋x216＝1D.x225＋y216＝1或y225＋x216＝1解析：选A.设点P的坐标为(x，y)，因为|PF1|＋|PF2|＝10|F1F2|＝6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a＝5，c＝3，b＝a2－c2＝4，故点P的轨迹方程为x225＋y216＝1.故选A.2．(选修2­1P49A组T6改编)设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过点F2作椭圆长轴的垂3线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是()A.22B.2－12C．2－2D.2－1解析：选D.设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1，依题意，显然有|PF2|＝|F1F2|，则b2a＝2c，即a2－c2a＝2c，即e2＋2e－1＝0，又0e1，解得e＝2－1.故选D.[易错纠偏](1)忽视椭圆定义中的限制条件；(2)忽视椭圆标准方程中焦点位置的讨论；(3)忽视点P坐标的限制条件．1．平面内一点M到两定点F1(0，－9)，F2(0，9)的距离之和等于18，则点M的轨迹是________．解析：由题意知|MF1|＋|MF2|＝18，但|F1F2|＝18，即|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|，所以点M的轨迹是一条线段．答案：线段F1F22．椭圆x210－m＋y2m－2＝1的焦距为4，则m＝________．解析：当焦点在x轴上时，10－mm－20，10－m－(m－2)＝4，所以m＝4.当焦点在y轴上时，m－210－m0，m－2－(10－m)＝4，所以m＝8.所以m＝4或8.答案：4或83．已知点P是椭圆x25＋y24＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为________．解析：设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以c＝1，则F1(－1，0)，F2(1，0)．由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入x25＋y24＝1，得x＝±152，又x0，所以x＝152，所以P点坐标为152，1或152，－1.答案：152，1或152，－1椭圆的定义及应用4(1)(2019·高考浙江卷)已知椭圆x29＋y25＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________．(2)(2020·杭州模拟)已知F1、F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，则b＝________．【解析】(1)如图，取PF的中点M，连接OM，由题意知|OM|＝|OF|＝2，设椭圆的右焦点为F1，连接PF1.在△PFF1中，OM为中位线，所以|PF1|＝4，由椭圆的定义知|PF|＋|PF1|＝6，所以|PF|＝2，因为M为PF的中点，所以|MF|＝1.在等腰三角形OMF中，过O作OH⊥MF于点H，所以|OH|＝22－122＝152，所以kPF＝tan∠HFO＝15212＝15.(2)设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则r1＋r2＝2a，r21＋r22＝4c2，所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(r21＋r22)＝4a2－4c2＝4b2，所以S△PF1F2＝12r1r2＝b2＝9，所以b＝3.【答案】(1)15(2)3(变条件)本例(2)中增加条件“△PF1F2的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的方程．解：由原题得b2＝a2－c2＝9，又2a＋2c＝18，所以a－c＝1，解得a＝5，故椭圆的方程为x225＋y29＝1.(1)椭圆定义的应用范围①确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆．②解决与焦点有关的距离问题．(2)焦点三角形的结论椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.①|PF1|＋|PF2|＝2a.5②4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ.③焦点三角形的周长为2(a＋c)．④S△PF1F2＝12|PF1||PF2|·sinθ＝b2·sinθ1＋cosθ＝b2tanθ2＝c|y0|，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为bc.1．(2020·温州模拟)设F1，F2是椭圆x29＋y24＝1的两个焦点，P是椭圆上的一点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△PF1F2的面积为()A．4B．6C．22D．42解析：选A.因为点P在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝6，又因为|PF1|∶|PF2|＝2∶1，所以|PF1|＝4，|PF2|＝2，又易知|F1F2|＝25，显然|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，故△PF1F2为直角三角形，所以△PF1F2的面积为12×2×4＝4.故选A.2．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．解析：设动圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16，又|C1C2|＝816，所以动圆圆心M的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆，且2a＝16，2c＝8，则a＝8，c＝4，所以b2＝48，又焦点C1、C2在x轴上，故所求的轨迹方程为x264＋y248＝1.答案：x264＋y248＝1椭圆的标准方程(1)(2020·金丽衢十二校联考)已知椭圆的中心在原点，离心率e＝12，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆方程为()A.x24＋y23＝1B.x28＋y26＝1C.x22＋y2＝1D.x24＋y2＝1(2)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋y2b2＝1(0b1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的标准方程为________．6【解析】(1)依题意，可设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1，0)，所以c＝1，又离心率e＝ca＝12，解得a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为x24＋y23＝1.(2)不妨设点A在第一象限，如图所示．因为AF2⊥x轴，所以|AF2|＝b2.因为|AF1|＝3|BF1|，所以B－53c，－13b2.将B点代入椭圆方程，得－53c2＋－13b22b2.