（浙江专用）2021版新高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 8 第8讲 直线与椭圆、抛物线的位置

1第8讲直线与椭圆、抛物线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法：把圆锥曲线方程C1与直线方程l联立消去y，整理得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0.方程ax2＋bx＋c＝0的解l与C1的交点a＝0b＝0无解(含l是双曲线的渐近线)无公共点b≠0有一解(含l与抛物线的对称轴平行(重合)或与双曲线的渐近线平行)一个交点a≠0Δ＞0两个不相等的解两个交点Δ＝0两个相等的解一个交点Δ＜0无实数解无交点(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系．2．直线与圆锥曲线的相交弦长问题设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2（x1＋x2）2－4x1x2＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2（y1＋y2）2－4y1y2.3．与抛物线焦点弦有关的常用结论(以右图为依据)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p24.(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2θ(θ为直线AB的倾斜角)．(3)1|AF|＋1|BF|为定值2p.(4)以AB为直径的圆与准线相切．(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．2[教材衍化]1．(选修2­1P80A组T8改编)已知与向量v＝(1，0)平行的直线l与双曲线x24－y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最小值为________．解析：由题意可设直线l的方程为y＝m，代入x24－y2＝1得x2＝4(1＋m2)，所以x1＝4（1＋m2）＝21＋m2，x2＝－21＋m2，所以|AB|＝|x1－x2|＝41＋m2≥4，即当m＝0时，|AB|有最小值4.答案：42．(选修2­1P72练习T4改编)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|＝________．解析：抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.答案：8[易错纠偏](1)没有发现直线过定点，导致运算量偏大；(2)不会用函数法解最值问题；(3)错用双曲线的几何性质．1．直线y＝kx－k＋1与椭圆x29＋y24＝1的位置关系为()A．相交B．相切C．相离D．不确定解析：选A.直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．故选A.2．如图，两条距离为4的直线都与y轴平行，它们与抛物线y2＝－2px(0＜p＜14)和圆(x－4)2＋y2＝9分别交于A，B和C，D，且抛物线的准线与圆相切，则当|AB|·|CD|取得最大值时，直线AB的方程为________．3解析：根据题意，由抛物线的准线与圆相切可得p2＝1或7，又0＜p＜14，故p＝2，设直线AB的方程为x＝－t(0＜t＜3)，则直线CD的方程为x＝4－t，则|AB|·|CD|＝24t·29－t2＝8t（9－t2）(0＜t＜3)，设f(t)＝t(9－t2)(0＜t＜3)，则f′(t)＝9－3t2(0＜t＜3)，令f′(t)＞0⇒0＜t＜3，令f′(t)＜0⇒3＜t＜3，故f(t)max＝f(3)，此时直线AB的方程为x＝－3.答案：x＝－33．已知点F1，F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是________．解析：由题设条件可知△ABF2为等腰三角形，只要∠AF2B为钝角即可，所以有b2a＞2c，即b2＞2ac，所以c2－a2＞2ac，即e2－2e－1＞0，所以e＞1＋2.答案：(1＋2，＋∞)直线与椭圆的位置关系(2020·浙江省名校协作体高三联考)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，经过椭圆C上一点P的直线l：y＝－24x＋322与椭圆C有且只有一个公共点，且点P的横坐标为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若AB是椭圆的一条动弦，且|AB|＝52，O为坐标原点，求△AOB面积的最大值．【解】(1)因为P(2，2)在椭圆上，故4a2＋2b2＝1，同时联立b2x2＋a2y2＝a2b2y＝－24x＋322，得b2x2＋a2－24x＋3222＝a2b2，4化简得b2＋18a2x2－32a2x＋92a2－a2b2＝0，由Δ＝0，可得a2＝12，b2＝3，故椭圆C的标准方程为x212＋y23＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线AB斜率存在时，直线AB的方程为y＝kx＋b1，联立x2＋4y2＝12y＝kx＋b1得(4k2＋1)x2＋8kb1x＋4(b21－3)＝0，故x1＋x2＝－8kb11＋4k2，x1x2＝4（b21－3）1＋4k2，由254＝|AB|2＝(1＋k2)(x2－x1)2＝(1＋k2)[(x2＋x1)2－4x1x2]，得b21＝3(1＋4k2)－25（1＋4k2）264（1＋k2），故原点O到直线AB的距离d＝|b1|1＋k2，所以S＝54·|b1|1＋k2，令u＝1＋4k21＋k2，则S2＝－6251024u2－19225u＝－6251024u－96252＋9.又因为u＝1＋4k21＋k2＝4－31＋k2∈[1，4)，当u＝9625时，S2max＝9，当斜率不存在时，△AOB的面积为5238，综上所述可得△AOB面积的最大值为3.判断直线与椭圆位置关系的步骤(1)联立直线方程与椭圆方程；(2)消元得出关于x(或y)的一元二次方程；(3)当Δ＞0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ＜0时，直线与椭圆相离．5(2020·舟山市普陀三中高三期中)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率e＝63，它的一个顶点在抛物线x2＝42y的准线上．(1)求椭圆C的方程；(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆C上两点，已知m＝x1a，y1b，n＝x2a，y2b，且m·n＝0.①求OA→·OB→的取值范围；②判断△OAB的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．解：(1)因为抛物线x2＝42y的准线为y＝－2，所以b＝2.由e＝63⇒a2－b2a2＝23⇒a＝6.所以椭圆C的方程为x26＋y22＝1.(2)①由m·n＝0得x1x2＝－3y1y2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)所在直线为l，当l斜率不存在时，则A(x1，y1)，B(x1，－y1)，所以x21＝3y21，又x216＋y212＝1，所以y21＝1.所以OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝2y21＝2.当l斜率存在时，设l的方程为y＝kx＋m，联立y＝kx＋mx2＋3y2＝6得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－6＝0，所以Δ＝36k2m2－12(3k2＋1)(m2－2)＝12(6k2－m2＋2)＞0，(ⅰ)且x1＋x2＝－6km3k2＋1，x1x2＝3m2－63k2＋1.由x1x2＝－3y1y2＝－3(kx1＋m)(kx2＋m)⇒(1＋3k2)x1x2＋3km(x1＋x2)＋3m2＝0，整理得1＋3k2＝m2.(ⅱ)所以OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝23x1x2＝2m2－41＋3k2＝2m2－4m2＝2－4m2，由(ⅰ)(ⅱ)得m2＝1＋3k2≥1，所以0＜4m2≤4，所以－2≤OA→·OB→＜2.综上可得－2≤OA→·OB→≤2.6②由①知，l斜率不存在时，S△OAB＝|x1y1|＝3y21＝3，l斜率存在时，S△OAB＝12|AB|d＝121＋k2|x1－x2|·|m|1＋k2＝3|m|2＋6k2－m21＋3k2，将m2＝1＋3k2代入整理得S△OAB＝3，所以△OAB的面积为定值3.直线与抛物线的位置关系(2019·高考浙江卷)如图，已知点F(1，0)为抛物线y2＝2px(p0)的焦点．过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2.(1)求p的值及抛物线的准线方程；(2)求S1S2的最小值及此时点G的坐标．【解】(1)由题意得p2＝1，即p＝2.所以抛物线的准线方程为x＝－1.(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，重心G(xG，yG)．令yA＝2t，t≠0，则xA＝t2.由于直线AB过点F，故直线AB的方程为x＝t2－12ty＋1，代入y2＝4x，得y2－2（t2－1）ty－4＝0，故2tyB＝－4，即yB＝－2t，所以B1t2，－2t.又由于xG＝13(xA＋xB＋xC)，yG＝13(yA＋yB＋yC)及重心G在x轴上，故2t－2t＋yC＝0，得C1t－t2，21t－t，G2t4－2t2＋23t2，0.所以直线AC的方程为y－2t＝2t(x－t2)，得Q(t2－1，0)．由于Q在焦点F的右侧，故t22.从而7S1S2＝12|FG|·|yA|12|QG|·|yC|＝2t4－2t2＋23t2－1·|2t|t2－1－2t4－2t2＋23t2·2t－2t＝2t4－t2t4－1＝2－t2－2t4－1.令m＝t2－2，则m0，S1S2＝2－mm2＋4m＋3＝2－1m＋3m＋4≥2－12m·3m＋4＝1＋32.所以当m＝3时，S1S2取得最小值1＋32，此时G(2，0)．解决直线与抛物线位置关系的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝|x1|＋|x2|＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．[提醒]涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．(2020·嘉兴市高三上学期期末)已知抛物线C的方程为y2＝2px(p＞0)，抛物线的焦点到直线l：y＝2x＋2的距离为455.(1)求抛物线C的方程；(2)设点R(x0，2)在抛物线C上，过点Q(1，1)作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B，若直线AR，BR分别交直线l于M，N两点，求|MN|最小时直线AB的方程．解：(1)抛物线的焦点为p2，0，d＝|p＋2|5＝455，得p＝2或－6(舍去)，所以抛物线C的方程为y2＝4x.(2)因为点R(x0，2)在抛物线C上，所以x0＝1，得R(1，2)．设直线AB为x＝m(y－1)＋1(m≠0)，A14y21，y1，B14y22，y2，8由x＝m（y－1）＋1y2＝4x得y2－4my＋4m－4＝0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝4m－4，直线AR方程为y－2＝y1－214y21－1(x－1)＝4y1＋2(x－1)，由y－2＝4y1＋2（x－1）y＝2x＋2，得xM＝－2y1，同理xN＝－2y2，所以|MN|＝5|xM－xN|＝251y2－1y1＝25m2－m＋1|m－1|＝251＋mm2－2m＋1＝251＋1m－2＋1m，所以当m＝－1时，|MN|min＝15，此时直线AB的方程为x＋y－2＝0.弦长问题如图，设椭圆x2a2＋y2＝1(a＞1)．(1)求直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)；(2)若任意以点A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围．【解】(1)设直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段为AP，由y＝kx＋1x2a2＋y2＝1得(1＋