（浙江专用）2021版新高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 6 第6讲 双曲线教学案

1第6讲双曲线1．双曲线的定义条件结论1结论2平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2M点的轨迹为双曲线F1、F2为双曲线的焦点|F1F2|为双曲线的焦距||MF1|－|MF2||＝2a2a|F1F2|2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±baxy＝±abx离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长a、b、c的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)3.等轴双曲线及性质(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x2－y2＝λ(λ≠0)．(2)等轴双曲线⇔离心率e＝2⇔两条渐近线y＝±x相互垂直．4．双曲线中一些常用的结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|max＝a＋c，2|PF2|min＝c－a.(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b2a，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.(4)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为b2a2.(5)P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝b2·1tanθ2，其中θ为∠F1PF2.[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．()(2)椭圆的离心率e∈(0，1)，双曲线的离心率e∈(1，＋∞)．()(3)方程x2m－y2n＝1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线．()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√[教材衍化]1．(选修2­1P61A组T1改编)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为________．解析：由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为xa±yb＝0，即bx±ay＝0，所以2a＝bca2＋b2＝b.又a2＋b2＝c2，所以5a2＝c2.所以e2＝c2a2＝5，所以e＝5.答案：52．(选修2­1P62A组T6改编)经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．3解析：设双曲线的方程为x2a2－y2a2＝±1(a＞0)，把点A(3，－1)代入，得a2＝8(舍负)，故所求方程为x28－y28＝1.答案：x28－y28＝13．(选修2­1P61练习T3改编)以椭圆x24＋y23＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为________．解析：设要求的双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，由椭圆x24＋y23＝1，得焦点为(±1，0)，顶点为(±2，0)．所以双曲线的顶点为(±1，0)，焦点为(±2，0)．所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2－a2＝3，所以双曲线标准方程为x2－y23＝1.答案：x2－y23＝1[易错纠偏](1)忽视双曲线的定义；(2)忽视双曲线焦点的位置；(3)忽视双曲线的渐近线与离心率的关系．1．平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是________．解析：由|PF1|－|PF2|＝6＜|F1F2|＝8，得a＝3，又c＝4，则b2＝c2－a2＝7，所以所求点的轨迹是双曲线y29－x27＝1的下支．答案：双曲线y29－x27＝1的下支2．坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为π3，则双曲线的离心率为________．解析：若双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1，则渐近线的方程为y＝±bax，由题意可得ba＝tanπ3＝3，b＝3a，可得c＝2a，则e＝ca＝2；若双曲线的焦点在y轴上，设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1，则渐近线的方程为y＝±abx，由题意可得ab＝tanπ3＝3，a＝3b，可得c＝233a，则e＝233.综上可得e＝2或e＝233.4答案：2或2333．若双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为________．解析：由条件知y＝－bax过点(3，－4)，所以3ba＝4，即3b＝4a，所以9b2＝16a2，所以9c2－9a2＝16a2，所以25a2＝9c2，所以e＝53.答案：53双曲线的定义(1)(2020·宁波高三质检)设双曲线x2－y28＝1的两个焦点为F1，F2，P是双曲线上的一点，且|PF1|∶|PF2|＝3∶4，则△PF1F2的面积等于()A．103B．83C．85D．165(2)(2020·温州八校联考)△ABC的顶点A(－5，0)，B(5，0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是________．【解析】(1)依题意|F1F2|＝6，|PF2|－|PF1|＝2，因为|PF1|∶|PF2|＝3∶4，所以|PF1|＝6，|PF2|＝8，所以等腰三角形PF1F2的面积S＝12×8×62－822＝85.(2)如图，△ABC与内切圆的切点分别为G，E，F.|AG|＝|AE|＝8，|BF|＝|BG|＝2，|CE|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.根据双曲线的定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x29－y216＝1(x3)．【答案】(1)C(2)x29－y216＝1(x3)(变条件)若本例(1)中“|PF1|∶|PF2|＝3∶4”变为“PF1⊥PF2”，其他条件不变，如何求解．5解：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m2＋n2＝36，m2＋n2－2mn＝4，解得mn＝16，所以S△PF1F2＝12mn＝8.双曲线定义的应用规律类型解读求方程由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线的定义，确定2a，2b或2c的值，从而求出a2，b2的值，写出双曲线方程解焦点三角形利用双曲线上点M与两焦点的距离的差||MF1|－|MF2||＝2a(其中2a|F1F2|)与正弦定理、余弦定理，解决焦点三角形问题[提醒]在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支．若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．1．已知双曲线x2－y224＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点．若|PF1|＝43|PF2|，则△F1PF2的面积为()A．48B．24C．12D．6解析：选B.由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝13|PF2|＝2a＝2，解得|PF2|＝6，故|PF1|＝8，又|F1F2|＝10，故三角形PF1F2为直角三角形，因此S△PF1F2＝12|PF1|×|PF2|＝24.2．(2020·衢州调研)若双曲线x24－y212＝1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1，4)，则|PF|＋|PA|的最小值是()A．8B．9C．10D．12解析：选B.由题意知，双曲线x24－y212＝1的左焦点F的坐标为(－4，0)，设双曲线的右焦点为B，则B(4，0)，由双曲线的定义知|PF|＋|PA|＝4＋|PB|＋|PA|≥4＋|AB|＝4＋（4－1）2＋（0－4）2＝4＋5＝9，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号．所以|PF|＋|PA|的最小值为9.双曲线的标准方程6(1)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝52x，且与椭圆x212＋y23＝1有公共焦点，则C的方程为()A.x28－y210＝1B.x24－y25＝1C.x25－y24＝1D.x24－y23＝1(2)(2020·浙江省六市六校联盟模拟)如图所示，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两顶点．若AB＝4，BC＝3，则此双曲线的标准方程为________．【解析】(1)根据双曲线C的渐近线方程为y＝52x，可知ba＝52①，又椭圆x212＋y23＝1的焦点坐标为(3，0)和(－3，0)，所以a2＋b2＝9②，根据①②可知a2＝4，b2＝5，所以选B.(2)设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)．由题意得B(2，0)，C(2，3)，所以4＝a2＋b2，4a2－9b2＝1，解得a2＝1，b2＝3，所以双曲线的标准方程为x2－y23＝1.【答案】(1)B(2)x2－y23＝1(1)求双曲线标准方程的答题模板(2)利用待定系数法求双曲线方程的常用方法①与双曲线x2a2－y2b2＝1共渐近线的方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)；7②若双曲线的渐近线方程为y＝±bax，则双曲线的方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)；③若双曲线过两个已知点，则双曲线的方程可设为x2m＋y2n＝1(mn0)或mx2＋ny2＝1(mn0)．分别求出适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦距为26，且经过点M(0，12)；(3)渐近线方程为y＝±12x，且经过点(4，3)．解：(1)设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a0，b0)．由题意知，2b＝12，e＝ca＝54，所以b＝6，c＝10，a＝8.所以双曲线的标准方程为x264－y236＝1或y264－x236＝1.(2)因为双曲线经过点M(0，12)，所以M(0，12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.又2c＝26，所以c＝13.所以b2＝c2－a2＝25.所以双曲线的标准方程为y2144－x225＝1.(3)法一：因为双曲线的渐近线方程为y＝±12x，所以可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)．因为双曲线过点(4，3)，所以λ＝16－4×(3)2＝4，所以双曲线的标准方程为x24－y2＝1.法二：因为渐近线y＝12x过点(4，2)，而32，所以点(4，3)在渐近线y＝12x的下方，在y＝－12x的上方(如图)．8所以双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．由已知条件可得ba＝12，16a2－3b2＝1，解得a2＝4，b2＝1，所以双曲线的标准方程为x24－y2＝1.双曲线的几何性质(高频考点)双曲线的几何性质及应用，是高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题多为容易题或中档题．主要命题角度有：(1)求双曲线的焦点(距)、实、虚轴长；(2)求双曲线的渐近线方程；(3)求双曲线的离心率(或范围)．角度一求双曲线的焦点(距)、实、虚轴长(2020·义乌模拟)已知离心率为52的双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若S△OMF2＝16，则双曲线的实轴长是()A．32B．16C．84D．4【解析】由题意知F2(c，0)，不妨令点M在渐近线y＝bax上，由题意可知|F2M|＝bca2＋b2＝b，所以|OM|＝c2－b2＝a.由S△OMF2＝16，可得12ab＝16，即ab＝32，又a2＋b2＝c2，ca＝52，所以a＝8，b＝4，c＝45，所以双曲线C的实轴长为16.故选B.【答案】B角度二求双曲线的渐近线方程已知F1，F2是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1