2021版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第5讲 椭圆 第1课时 椭圆及其性质教案 文 新人

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1第5讲椭圆一、知识梳理1.椭圆的定义条件结论1结论2平面内的动点M与平面内的两个定点F1,F2M点的轨迹为椭圆F1、F2为椭圆的焦点|F1F2|为椭圆的焦距|MF1|+|MF2|=2a2a>|F1F2|[注意]若2a=|F1F2|,则动点的轨迹是线段F1F2;若2a|F1F2|,则动点的轨迹不存在.2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2+y2b2=1(a>b>0)y2a2+x2b2=1(a>b>0)图形性质范围-a≤x≤a-b≤y≤b-b≤x≤b-a≤y≤a对称性对称轴:x轴、y轴对称中心:(0,0)顶点A1(-a,0),A2(a,0)B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a)B1(-b,0),B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a短轴B1B2的长为2b性质焦距|F1F2|=2c2离心率e=ca,e∈(0,1)a,b,c的关系c2=a2-b2常用结论1.点P(x0,y0)和椭圆的位置关系(1)点P(x0,y0)在椭圆内⇔x20a2+y20b21.(2)点P(x0,y0)在椭圆上⇔x20a2+y20b2=1.(3)点P(x0,y0)在椭圆外⇔x20a2+y20b21.2.椭圆的常用性质(1)椭圆上的点到焦点距离的最大值为a+c,最小值为a-c.(2)过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦长为2b2a.(3)已知过焦点F1的弦AB,则△ABF2的周长为4a.(4)设P,A,B是椭圆上不同的三点,其中A,B关于原点对称,直线PA,PB斜率存在且不为0,则直线PA与PB的斜率之积为定值-b2a2.二、习题改编1.(选修1­1P40例4改编)椭圆16x2+25y2=400的长轴的长,离心率.答案:10352.(选修1­1P41练习T3改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于12,则C的方程是.答案:x24+y23=13.(选修1­1P36练习T3改编)椭圆C:x225+y216=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆C于A、B两点,则△F1AB的周长为,△AF1F2的周长为.答案:2016一、思考辨析判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.()(2)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.()3(3)椭圆既是轴对称图形,又是中心对称图形.()(4)y2a2+x2b2=1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆.()(5)x2a2+y2b2=1(ab0)与y2a2+x2b2=1(ab0)的焦距相同.()答案:(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√二、易错纠偏常见误区(1)忽视椭圆定义中的限制条件;(2)忽视椭圆标准方程焦点位置的讨论.1.平面内一点M到两定点F1(0,-9),F2(0,9)的距离之和等于18,则点M的轨迹是.解析:由题意知|MF1|+|MF2|=18,但|F1F2|=18,即|MF1|+|MF2|=|F1F2|,所以点M的轨迹是一条线段.答案:线段F1F22.已知椭圆的长轴长为10,其焦点到中心的距离为4,则这个椭圆的标准方程为.答案:x225+y29=1或y225+x29=1第1课时椭圆及其性质椭圆的定义及应用(典例迁移)(1)(2020·黑龙江哈尔滨六中二模)设椭圆C:x24+y2=1的左焦点为F,直线l:y=kx(k≠0)与椭圆C交于A,B两点,则|AF|+|BF|的值是()A.2B.23C.4D.43(2)(2020·徐州模拟)已知F1、F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上的一点,且PF1⊥PF2,若△PF1F2的面积为9,则b=.【解析】(1)设椭圆的右焦点为F1,连接AF1,BF1,因为OA=OB,OF=OF1,所以四边形AFBF1是平行四边形.所以|BF|=|AF1|,4所以|AF|+|BF|=|AF|+|AF1|=2a=4,故选C.(2)设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则r1+r2=2a,r21+r22=4c2,所以2r1r2=(r1+r2)2-(r21+r22)=4a2-4c2=4b2,所以S△PF1F2=12r1r2=b2=9,所以b=3.【答案】(1)C(2)3【迁移探究】(变条件)本例(2)中增加条件“△PF1F2的周长为18”,其他条件不变,求该椭圆的方程.解:由原题得b2=a2-c2=9,又2a+2c=18,所以a-c=1,解得a=5,故椭圆的方程为x225+y29=1.椭圆定义的应用主要有两个方面:一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆;二是当P在椭圆上时,与椭圆的两焦点F1,F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”,利用定义可求其周长,利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|,通过整体代入可求其面积等.1.已知椭圆x225+y216=1上一点P到椭圆一个焦点F1的距离为3,则P到另一个焦点F2的距离为()A.2B.3C.5D.7解析:选D.因为a2=25,所以2a=10,所以由定义知,|PF1|+|PF2|=10,所以|PF2|=10-|PF1|=7.2.(2020·贵州六盘水模拟)已知点F1,F2分别为椭圆C:x24+y23=1的左、右焦点,若点P在椭圆C上,且∠F1PF2=60°,则S△F1PF2=.解析:由|PF1|+|PF2|=4,|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos60°=|F1F2|2,得3|PF1|·|PF2|=12,所以|PF1|·|PF2|=4,则S△F1PF2=12|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2=12×4sin60°=3.答案:3椭圆的标准方程(师生共研)5(1)(一题多解)过点(3,-5),且与椭圆y225+x29=1有相同焦点的椭圆的标准方程为()A.x220+y24=1B.x225+y24=1C.y220+x24=1D.x24+y225=1(2)若直线x-2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的标准方程为.【解析】(1)法一(定义法):椭圆y225+x29=1的焦点为(0,-4),(0,4),即c=4.由椭圆的定义知,2a=(3-0)2+(-5+4)2+(3-0)2+(-5-4)2,解得a=25.由c2=a2-b2,可得b2=4.所以所求椭圆的标准方程为y220+x24=1.法二(待定系数法):设所求椭圆方程为y225-k+x29-k=1(k9),将点(3,-5)的坐标代入,可得(-5)225-k+(3)29-k=1,解得k=5或k=21(舍去),所以所求椭圆的标准方程为y220+x24=1.法三(待定系数法):设所求椭圆方程为y2a2+x2b2=1(ab0).由题意得5a2+3b2=1a2-b2=16,解得a2=20b2=4,所以所求椭圆的标准方程为y220+x24=1.(2)直线与坐标轴的交点为(0,1),(-2,0),由题意知当焦点在x轴上时,c=2,b=1,所以a2=5,所求椭圆的标准方程为x25+y2=1.当焦点在y轴上时,b=2,c=1,所以a2=5,所求椭圆的标准方程为y25+x24=1.【答案】(1)C(2)x25+y2=1或x24+y25=1(1)用定义法求椭圆的标准方程先根据椭圆的定义确定a2,b2的值,再结合焦点位置求出椭圆的方程.其中常用的关系有:6①b2=a2-c2;②椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2a;③椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于长半轴长a.(2)用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤[提醒]当椭圆焦点位置不明确时,可设为x2m+y2n=1(m0,n0,m≠n),也可设为Ax2+By2=1(A0,B0,且A≠B).1.已知动点M到两个定点A(-2,0),B(2,0)的距离之和为6,则动点M的轨迹方程为()A.x29+y2=1B.y29+x25=1C.y29+x2=1D.x29+y25=1解析:选D.由题意有62+2=4,故点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆,则2a=6,c=2,故a2=9,所以b2=a2-c2=5,故椭圆的方程为x29+y25=1.故选D.2.设椭圆x2m2+y2n2=1(m0,n0)的右焦点为(2,0),离心率为22,则此椭圆的方程为.解析:椭圆的右焦点为(2,0),所以m2-n2=4,e=22=2m,所以m=22,代入m2-n2=4,得n2=4,所以椭圆方程为x28+y24=1.答案:x28+y24=13.已知椭圆C的中心在原点,一个焦点F(-2,0),且长轴长与短轴长的比是2∶3,则椭圆C的方程是.7解析:设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(ab0).由题意知a2=b2+c2,a∶b=2∶3,c=2,解得a2=16,b2=12.所以椭圆C的方程为x216+y212=1.答案:x216+y212=1椭圆的几何性质(多维探究)角度一椭圆的长轴、短轴、焦距(2020·泉州质检)已知椭圆x2m-2+y210-m=1的长轴在x轴上,焦距为4,则m等于()A.8B.7C.6D.5【解析】因为椭圆x2m-2+y210-m=1的长轴在x轴上,所以m-20,10-m0,m-210-m,解得6m10.因为焦距为4,所以c2=m-2-10+m=4,解得m=8.【答案】A角度二求椭圆离心率的值(范围)(1)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点.若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为()A.1-32B.2-3C.3-12D.3-1(2)在平面直角坐标系xOy中,点P为椭圆C:y2a2+x2b2=1(ab0)的下顶点,M,N在椭圆上,若四边形OPMN为平行四边形,α为直线ON的倾斜角,若α∈π6,π4,则椭圆C的离心率的取值范围为()8A.0,63B.0,32C.63,32D.63,223【解析】(1)由题设知∠F1PF2=90°,∠PF2F1=60°,|F1F2|=2c,所以|PF2|=c,|PF1|=3c.由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a,即3c+c=2a,所以(3+1)c=2a,故椭圆C的离心率e=ca=23+1=3-1.故选D.(2)因为OPMN是平行四边形,所以MN∥OP且MN=OP,故yN=a2,代入椭圆方程可得xN=3b2,所以kON=3a3b=tanα.又α∈π6,π4,所以333a3b1,所以a3b,a23(a2-c2),解得0ca63,故选A.【答案】(1)D(2)A求椭圆离心率或其取值范围的方法(1)求出a,b或a,c的值,代入e2=c2a2=a2-b2a2=1-ba2直接求.(2)先根据条件得到关于a,b,c的齐次等式(不等式),结合b2=a2-c2转化为关于a,c的齐次等式(不等式),然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以a或a2转化为关于e或e2的方程(不等式),再解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).角度三与椭圆性质有关的最值问题已知P在椭圆x24+y2=1上,A(0,4),则|PA|的最大值为()A.2183B.763C.5D.25【解析】设P(x0,y0),则由题意得x2=4(1-y2),9所以|PA|2=x20+(y0-4)2=4(1-y20)+y20-8y0+16=-3y20-8y0+20=-3y0+432+763,又-1≤y0≤1,所以当y0=-1时,|PA|2取得最大值25,即|PA|的最大值为5.故选C.【答案】C求解最值、取值范围问题的技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析,即使画不出图形,思考时也要联想到一个图形.(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如,-a≤x≤a,-b≤y≤b,0e1,在求椭圆的相关量的范围时,要注意应用这些不等关系.(3)最值问题,将所求列出表达式,构造基本不等式或利用函数单调性求解.1.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a

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