2021版高考数学一轮复习 第五章 平面向量 第1讲 平面向量的概念及线性运算教案 文 新人教A版

1第1讲平面向量的概念及线性运算一、知识梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．[注意](1)向量不同于数量，向量不仅有大小，而且还有方向．(2)任意向量a的模都是非负实数，即|a|≥0.2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ0时，λa与a的方向相同；当λ0时，λa与a的方向相λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；2反；当λ＝0时，λa＝0λ(a＋b)＝λa＋λb3.向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa．常用结论1．两特殊向量(1)零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模是确定的，但方向不确定．(2)非零向量a的同向单位向量为a|a|.2．几个重要结论(1)若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP→＝12(OA→＋OB→)．(2)OA→＝λOB→＋μOC→(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.(3)若G为△ABC的重心，则有①GA→＋GB→＋GC→＝0；②AG→＝13(AB→＋AC→)．二、习题改编1．(必修4P86例4改编)已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且OA→＝a，OB→＝b，则DC→＝，BC→＝．(用a，b表示)解析：如图，DC→＝AB→＝OB→－OA→＝b－a，BC→＝OC→－OB→＝－OA→－OB→＝－a－b.答案：b－a－a－b2．(必修4P118A组T2(3)改编)在平行四边形ABCD中，若|AB→＋AD→|＝|AB→－AD→|，则四边形ABCD的形状为．解析：如图，因为AB→＋AD→＝AC→，AB→－AD→＝DB→，所以|AC→|＝|DB→|.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形．3答案：矩形一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．()(2)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．()(3)若向量AB→与向量CD→是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．()(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√二、易错纠偏常见误区(1)对向量共线定理认识不准确；(2)向量的减法忽视两向量的方向关系致误．1．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b.若a∥b，则a＋b＝0不一定成立．故前者是后者的充分不必要条件．2．点D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD→＝()A．－BC→＋12BA→B．－BC→－12BA→C.BC→－12BA→D．BC→＋12BA→答案：A4平面向量的有关概念(师生共研)给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若A，B，C，D是不共线的四点，且AB→＝DC→，则四边形ABCD为平行四边形；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中真命题的序号是．【解析】①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．②是错误的，|a|＝|b|，但a，b的方向不确定，所以a，b的方向不一定相等或相反．③是正确的，因为AB→＝DC→，所以|AB→|＝|DC→|且AB→∥DC→，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形．④是错误的，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．【答案】③平面向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．(4)非零向量a与a|a|的关系：a|a|是与a同方向的单位向量．1．给出下列命题：①向量AB→的长度与向量BA→的长度相等；②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；③|a|＋|b|＝|a＋b|⇔a与b方向相同；④若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反，则a＋b与a，b之一的方向相同．5其中叙述错误的命题的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选C.对于②：当a＝0时，不成立；对于③：当a，b之一为零向量时，不成立；对于④：当a＋b＝0时，a＋b的方向是任意的，它可以与a，b的方向都不相同．故选C.2．下列与共线向量有关的命题：①相反向量就是方向相反的向量；②a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞b；③两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件．其中错误命题的序号为．解析：因为相反向量是方向相反，大小相等的两个向量，所以命题①是错误的；因为向量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较大小，所以命题②是错误的；因为两个向量平行不能推出两个向量相等，而两个向量相等，则这两个向量平行，因此两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，所以命题③是正确的．答案：①②平面向量的线性运算(师生共研)(1)(一题多解)(2020·合肥市第二次质量检测)在△ABC中，BD→＝13BC→，若AB→＝a，AC→＝b，则AD→＝()A.23a＋13bB.13a＋23bC.13a－23bD．23a－13b(2)(2020·河南八市联考改编)在等腰梯形ABCD中，AB→＝2DC→，点E是线段BC→的中点，若AE→＝λAB→＋μAD→，则λ＝，μ＝．【解析】(1)通解：如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点E，F，则四6边形AEDF为平行四边形，所以AD→＝AE→＋AF→.因为BD→＝13BC→，所以AE→＝23AB→，AF→＝13AC→，所以AD→＝23AB→＋13AC→＝23a＋13b，故选A.优解一：AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋13BC→＝AB→＋13(AC→－AB→)＝23AB→＋13AC→＝23a＋13b，故选A.优解二：由BD→＝13BC→，得AD→－AB→＝13(AC→－AB→)，所以AD→＝AB→＋13(AC→－AB→)＝23AB→＋13AC→＝23a＋13b，故选A.(2)取AB的中点F，连接CF，则由题意可得CF∥AD，且CF＝AD.因为AE→＝AB→＋BE→＝AB→＋12BC→＝AB→＋12(FC→－FB→)＝AB→＋12AD→－12AB→＝34AB→＋12AD→，所以λ＝34，μ＝12.【答案】(1)A(2)3412向量线性运算的解题策略(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．1．下列四个结论：①AB→＋BC→＋CA→＝0；②AB→＋MB→＋BO→＋OM→＝0；③AB→－AC→＋BD→－CD→＝0；④NQ→＋QP→＋MN→－MP→＝0.其中一定正确的结论的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：选C.①AB→＋BC→＋CA→＝AC→＋CA→＝0，①正确；②AB→＋MB→＋BO→＋OM→＝AB→＋MO→＋OM→＝AB→，7②错；③AB→－AC→＋BD→－CD→＝CB→＋BD→＋DC→＝CB→＋BC→＝0，③正确；④NQ→＋QP→＋MN→－MP→＝NP→＋PN→＝0，④正确．故①③④正确．2．已知D为三角形ABC的边BC的中点，点P满足PA→＋BP→＋CP→＝0，AP→＝λPD→，则实数λ的值为．解析：因为D为边BC的中点，所以PB→＋PC→＝2PD→，又PA→＋BP→＋CP→＝0，所以PA→＝PB→＋PC→＝2PD→，所以AP→＝－2PD→，所以λ＝－2.答案：－2平面向量共线定理的应用(典例迁移)设两个非零向量a与b不共线．(1)若AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．【解】(1)证明：因为AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)，所以BD→＝BC→＋CD→＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5AB→，所以AB→，BD→共线，又它们有公共点B，所以A，B，D三点共线．(2)因为ka＋b与a＋kb共线，所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.又a，b是两个不共线的非零向量，所以k－λ＝λk－1＝0，所以k2－1＝0，所以k＝±1.【迁移探究】(变条件)若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k为何值？8解：因为ka＋b与a＋kb反向共线，所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)(λ0)，所以k＝λ，kλ＝1，所以k＝±1.又λ0，k＝λ，所以k＝－1.故当k＝－1时，两向量反向共线．[提醒]证明三点共线时，需说明共线的两个向量有公共点．1．已知向量a与b不共线，AB→＝a＋mb，AC→＝na＋b(m，n∈R)，则AB→与AC→共线的条件是()A．m＋n＝0B．m－n＝0C．mn＋1＝0D．mn－1＝0解析：选D.由AB→＝a＋mb，AC→＝na＋b(m，n∈R)共线，得a＋mb＝λ(na＋b)，即1＝λn，m＝λ，所以mn－1＝0.2.(一题多解)(2020·广东六校第一次联考)如图，在△ABC中，AN→＝23NC→，P是BN上一点，若AP→＝tAB→＋13AC→，则实数t的值为()A.23B.25C.16D．34解析：选C.通解：因为AN→＝23NC→，所以AN→＝25AC→.设NP→＝λNB→，则AP→＝AN→＋NP→＝25AC→＋λNB→9＝25AC→＋λ(NA→＋AB→)＝25AC→＋λ－25AC→＋AB→＝λAB→＋25(1－λ)AC→，又AP→＝tAB→＋13AC→，所以tAB→＋13AC→＝λAB→＋25(1－λ)AC→，得t＝λ25（1－λ）＝13，解得t＝λ＝16，故选C.优解：因为AN→＝23NC→，所以AC→＝52AN→，所以AP→＝tAB→＋13AC→＝tAB→＋56AN→，因为B，P，N三点共线，所以t＋56＝1，所以t＝16，故选C.[基础题组练]1．向量e1，e2，a，b在正方形网格中的位置如图所示，则a－b＝()A．－4e1－2e2B．－2e1－4e2C．e1－3e2D．3e1－e2解析：选C.结合图形易得，a＝－e1－4e2，b＝－2e1－e2，故a－b＝e1－3e2.2．已知平面内一点P及△ABC，若PA→＋PB→＋PC→＝AB→，则点P与△ABC的位置关系是()A．点P在线段AB上B．点P在线段BC上C．点P在线段AC上D．点P在△ABC外部解析：选C.由PA→＋PB→＋PC→＝AB→，得PA→＋PB→＋PC→＝PB→－PA→，即PC→＝－2PA→，故点P在线段AC上．3．(2020·唐山二模)已知O是正方形ABCD的中心．若DO→＝λAB→＋μAC→，其中λ，μ∈R，则λμ＝()A．－2B．－12C．－2D．2解析：选A.DO→＝DA→＋AO→＝CB→＋AO→＝AB→－AC→＋12AC→＝AB－12AC→，所以λ＝1，μ＝－12，因此λμ＝－2.104．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC→＝3CD→，点O在线段CD上(