2021版高考数学一轮复习 第七章 不等式 第2讲 一元二次不等式及其解法教案 文 新人教A版

1第2讲一元二次不等式及其解法一、知识梳理1．一元一次不等式axb(a≠0)的解集(1)当a0时，解集为xxba．(2)当a0时，解集为xxba．2．三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根有两个相异实根x1，x2(x1x2)有两个相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c0(a0)的解集{x|xx2或xx1}xx≠－b2aRax2＋bx＋c0(a0){x|x1xx2}∅∅2的解集常用结论1．分式不等式的解法(1)f（x）g（x）0(0)⇔f(x)g(x)0(0)．(2)f（x）g（x）≥0(≤0)⇔f（x）g（x）≥0（≤0），g（x）≠0.2．记住两个恒成立的充要条件(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c0对任意实数x恒成立⇔a0，b2－4ac0.(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c0对任意实数x恒成立⇔a0，b2－4ac0.二、习题改编1．(必修5P80练习T1改编)不等式2x2－x－30的解集为．答案：xx32或x－12．(必修5P80A组T3改编)若关于x的一元二次方程x2－(m＋1)x＋m＋1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若不等式ax2＋bx＋c0(a≠0)的解集为(x1，x2)，则必有a0.()(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c0的解集为R.()(3)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a0且Δ＝b2－4ac≤0.()(4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c0的解集一定不是空集．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√二、易错纠偏常见误区(1)解不等式时变形必须等价；3(2)注意二次项的系数的符号；(3)对参数的讨论不要忽略二次项系数为0的情况．1．不等式－x2－2x＋3≥0的解集为．解析：不等式两边同乘以－1，原不等式可化为x2＋2x－3≤0.方程x2＋2x－3＝0的解为x1＝－3，x2＝1.而y＝x2＋2x－3的图象开口向上，可得原不等式－x2－2x＋3≥0的解集是{x|－3≤x≤1}．答案：{x|－3≤x≤1}2．不等式2x(x－7)3(x－7)的解集为．解析：2x(x－7)3(x－7)⇔2x(x－7)－3(x－7)0⇔(x－7)(2x－3)0，解得x32或x7，所以原不等式的解集为x|x32或x7.答案：x|x32或x73．对于任意实数x，不等式mx2＋mx－10恒成立，则实数m的取值范围是．解析：当m＝0时，mx2＋mx－1＝－10，不等式恒成立；当m≠0时，由错误!解得－4m0.综上，m的取值范围是(－4，0]．答案：(－4，0]一元二次不等式的解法(师生共研)(1)已知函数f(x)＝x2＋2x，x≥0，－x2＋2x，x0，则不等式f(x)3的解集为．(2)已知不等式ax2－bx－10的解集是x|－12x－13，则不等式x2－bx－a≥0的解集是．(3)解关于x的不等式：12x2－axa2(a∈R)．【解】(1)由题意x≥0，x2＋2x3或x0，－x2＋2x3，解得x1.故填{x|x1}．(2)由题意，知－12，－13是方程ax2－bx－1＝0的两个根，且a0，所以4－12＋（－13）＝ba，－12×（－13）＝－1a，解得a＝－6，b＝5.故不等式x2－bx－a≥0为x2－5x＋6≥0，解得x≥3或x≤2.故填{x|x≥3或x≤2}．(3)因为12x2－axa2，所以12x2－ax－a20，即(4x＋a)(3x－a)0.令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－a4，x2＝a3.①当a0时，－a4a3，解集为xx－a4或xa3；②当a＝0时，x20，解集为{x|x∈R，且x≠0}；③当a0时，－a4a3，解集为xxa3或x－a4.综上所述，当a0时，不等式的解集为xx－a4或xa3；当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠0}；当a0时，不等式的解集为xxa3或x－a4.(1)解一元二次不等式的方法和步骤(2)解含参数的一元二次不等式的步骤①二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的一元二次不等式；②判断一元二次不等式所对应的方程实根的个数，即讨论判别式Δ与0的关系；③确定方程无实根或有两个相同实根时，可直接写出解集；确定方程有两个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．51．不等式0x2－x－2≤4的解集为．解析：原不等式等价于x2－x－20，x2－x－2≤4，即x2－x－20，x2－x－6≤0，即（x－2）（x＋1）0，（x－3）（x＋2）≤0，解得x2或x－1，－2≤x≤3.借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{x|－2≤x－1或2x≤3}．答案：[－2，－1)∪(2，3]2．解不等式ax2－(a＋1)x＋10(a0)．解：因为a0，原不等式等价于x－1a(x－1)0.①当a＝1时，1a＝1，x－1a(x－1)0无解；②当a1时，1a1，解x－1a(x－1)0得1ax1；③当0a1时，1a1，解x－1a(x－1)0得1x1a.综上所述，当0a1时，解集为x|1x1a；当a＝1时，解集为∅；当a1时，解集为x|1ax1.一元二次不等式恒成立问题(多维探究)角度一形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数的范围若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－40对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是．【解析】当a－2＝0，即a＝2时，不等式为－40，对一切x∈R恒成立．当a≠2时，则a－20，Δ＝4（a－2）2＋16（a－2）0，6即a2－2a2，解得－2a2.所以实数a的取值范围是(－2，2]．【答案】(－2，2]一元二次不等式在R上恒成立的条件不等式类型恒成立条件ax2＋bx＋c0a0，Δ0ax2＋bx＋c≥0a0，Δ≤0ax2＋bx＋c0a0，Δ0ax2＋bx＋c≤0a0，Δ≤0角度二形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈[a，b])确定参数的范围(2020·江苏海安高级中学调研)已知对于任意的x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x2－2(a－2)x＋a0，则实数a的取值范围是．【解析】设f(x)＝x2－2(a－2)x＋a.因为对于任意的x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有f(x)＝x2－2(a－2)x＋a0，所以Δ0或Δ≥0，1≤a－2≤5，f（1）≥0，f（5）≥0，解得1a4或4≤a≤5，即1a≤5.【答案】(1，5]形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)恒成立问题的求解思路(1)根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求出参数的范围；(2)数形结合，利用二次函数在端点a，b处的取值特点确定不等式求参数的取值范围．角度三形如f(x)≥0(f(x)≤0)(参数m∈[a，b])确定x的范围求使不等式x2＋(a－6)x＋9－3a0，|a|≤1恒成立的x的取值范围．【解】将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x－3)a＋x2－6x＋90.令f(a)＝(x－3)a＋x2－6x＋9，则－1≤a≤1.7因为f(a)0在|a|≤1时恒成立，所以(1)若x＝3，则f(a)＝0，不符合题意，应舍去．(2)若x≠3，则由一次函数的单调性，可得f（－1）0，f（1）0，即x2－7x＋120，x2－5x＋60，解得x2或x4.则实数x的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．形如f(x)0或f(x)0(参数m∈[a，b])的不等式确定x的范围时，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．1．若函数y＝mx2－（1－m）x＋m的定义域为R，则m的取值范围是．解析：要使y＝mx2－（1－m）x＋m有意义，即mx2－(1－m)x＋m≥0对∀x∈R恒成立，则m0，（1－m）2－4m2≤0，解得m≥13.答案：13，＋∞2．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1，1]时，f(x)0恒成立，求实数b的取值范围．解：由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)的图象关于直线x＝1对称，即a2＝1，解得a＝2.又因为f(x)的图象开口向下，所以当x∈[－1，1]时，f(x)为增函数，所以当x∈[－1，1]时，f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，若当x∈[－1，1]时，f(x)0恒成立，则b2－b－20恒成立，解得b－1或b2.所以实数b的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．思想方法系列12转化与化归思想在不等式中的应用(2020·内蒙古包头模拟)不等式f(x)＝ax2－x－c0的解集为{x|－2x1}，则函数y＝f(－x)的图象为()8【解析】由题意得a0，－2＋1＝1a，－2×1＝－ca，解得a＝－1，c＝－2，则函数y＝f(－x)＝－x2＋x＋2，结合选项可知选C.【答案】C本例利用了转化思想，其思路为：(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根(如本例)，也是函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标．(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．设a，b是关于x的一元二次方程x2－2mx＋m＋6＝0的两个实根，则(a－1)2＋(b－1)2的最小值是()A．－494B．18C．8D．－6解析：选C.因为关于x的一元二次方程x2－2mx＋m＋6＝0的两个根为a，b，所以a＋b＝2m，ab＝m＋6，且Δ＝4(m2－m－6)≥0，解得m≥3或m≤－2.所以y＝(a－1)2＋(b－1)2＝(a＋b)2－2ab－2(a＋b)＋2＝4m2－6m－10＝4m－342－494.由二次函数的性质知，当m＝3时，函数y＝4m2－6m－10取得最小值，最小值为8.故选9C.[基础题组练]1．不等式2x2－x－30的解集为()A.x－1x32B.xx32或x－1C.x－32x1D.xx1或x32解析：选B.由2x2－x－30，得(x＋1)(2x－3)0，解得x32或x－1.所以不等式2x2－x－30的解集为xx32或x－1.2．若集合A＝{x|x2＋x－20}，集合B＝x1x21，则A∩B＝()A．(－1，2)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1，1)D．(－1，0)∪(0，1)解析：选D.因为A＝{x|－2x1}，B＝{x|－1x0或0x1}，所以A∩B＝{x|－1