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1第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系一、知识梳理1．直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.方法位置关系几何法代数法相交drΔ0相切d＝rΔ＝0相离drΔ02.圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r10)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r20)．方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离dr1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相交|r1－r2|dr1＋r2两组不同的实数解内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解内含0≤d|r1－r2|(r1≠r2)无解常用结论1．圆的切线方程常用结论2(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.2．两圆相交时公共弦所在直线的方程设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.3．直线与圆相交时，弦心距d，半径r，弦长的一半12l满足关系式r2＝d2＋12l2.二、习题改编1．(必修2P127例1改编)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为()A．相切B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心D．相离答案：B2．(必修2P132A组T5改编)直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|＝．答案：103．(必修2P129例3改编)两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是．答案：内切一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．()(2)若两个圆的方程组成的方程组无解，则这两个圆的位置关系为外切．()(3)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．()(4)联立两相交圆的方程，并消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√二、易错纠偏常见误区(1)忽视分两圆内切与外切两种情形；(2)忽视切线斜率k不存在的情形．31．若圆x2＋y2＝1与圆(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则常数a＝．解析：两圆的圆心距d＝（－4）2＋a2，由两圆相切(外切或内切)，得（－4）2＋a2＝5＋1或（－4）2＋a2＝5－1，解得a＝±25或a＝0.答案：±25或02．已知圆C：x2＋y2＝9，过点P(3，1)作圆C的切线，则切线方程为．解析：由题意知P在圆外，当切线斜率不存在时，切线方程为x＝3，满足题意；当切线斜率存在时，设斜率为k，所以切线方程为y－1＝k(x－3)，所以kx－y＋1－3k＝0，所以|k×0－0＋1－3k|k2＋（－1）2＝3，所以k＝－43，所以切线方程为4x＋3y－15＝0.综上，切线方程为x＝3或4x＋3y－15＝0.答案：x＝3或4x＋3y－15＝0直线与圆的位置关系(典例迁移)(1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定(2)(一题多解)圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是．【解析】(1)因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2＞1，从而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝|a·0＋b·0－1|a2＋b2＝1a2＋b2＜1，所以直线与圆相交．(2)法一：将直线方程代入圆方程，得(k2＋1)x2＋4kx＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k2－12(k2＋1)0，解得k∈(－3，3)．法二：圆心(0，0)到直线y＝kx＋2的距离d＝2k2＋1，直线与圆没有公共点的充要条件是d1，即2k2＋11，解得k∈(－3，3)．【答案】(1)B(2)k∈(－3，3)【迁移探究】(变条件)若将本例(1)的条件改为“点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1上”，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系如何？4解：由点M在圆上，得a2＋b2＝1，所以圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝1a2＋b2＝1，则直线与圆O相切．判断直线与圆的位置关系的方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断．(2)代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断．①如果Δ0，那么直线与圆相离；②如果Δ＝0，那么直线与圆相切；③如果Δ0，那么直线与圆相交．(2020·陕西四校联考)直线ax－by＝0与圆x2＋y2－ax＋by＝0的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不能确定，与a，b取值有关解析：选B.将圆的方程化为标准方程得x－a22＋y＋b22＝a2＋b24，所以圆心坐标为a2，－b2，半径r＝a2＋b22.因为圆心到直线ax－by＝0的距离d＝a2＋b22a2＋b2＝a2＋b22＝r，所以直线与圆相切．故选B.切线与圆的综合问题(多维探究)角度一圆的切线问题(1)2020·宁夏银川一中一模)与3x＋4y＝0垂直，且与圆(x－1)2＋y2＝4相切的一条直线是()A．4x－3y＝6B．4x－3y＝－6C．4x＋3y＝6D．4x＋3y＝－6(2)(一题多解)(2019·高考浙江卷)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝，r＝．【解析】(1)设与直线3x＋4y＝0垂直的直线方程为l：4x－3y＋m＝0，直线l与圆(x－1)2＋y2＝4相切，则圆心(1，0)到直线l的距离为半径2，即|4＋m|5＝2，5所以m＝6或m＝－14，所以4x－3y＋6＝0，或4x－3y－14＝0，结合选项可知B正确，故选B.(2)法一：设过点A(－2，－1)且与直线2x－y＋3＝0垂直的直线方程为l：x＋2y＋t＝0，所以－2－2＋t＝0，所以t＝4，所以l：x＋2y＋4＝0.令x＝0，得m＝－2，则r＝（－2－0）2＋（－1＋2）2＝5.法二：因为直线2x－y＋3＝0与以点(0，m)为圆心的圆相切，且切点为A(－2，－1)，所以m＋10－（－2）×2＝－1，所以m＝－2，r＝（－2－0）2＋（－1＋2）2＝5.【答案】(1)B(2)－25圆的切线方程的求法(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k；(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.[注意]求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，然后求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条(若通过上述方法只求出一个k，则说明另一条切线的斜率一定不存在，此时另一条切线的方程为x＝x0)．角度二圆的弦长问题(1)(一题多解)(2020·安徽合肥调研)已知直线l：x＋y－5＝0与圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝r2(r0)相交所得的弦长为22，则圆C的半径r＝()A.2B．2C．22D．4(2)(2020·豫西南五校3月联考)已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，直线l1：y＝3x，l2：y＝kx－1，若l1，l2被圆C所截得的弦的长度之比为1∶2，则k的值为()A.3B．1C.12D．33【解析】(1)法一：圆C的圆心为(2，1)，圆心到直线l的距离d＝|2＋1－5|12＋12＝2，又弦长为22，所以2r2－d2＝22，所以r＝2，故选B.法二：联立得x＋y－5＝0，（x－2）2＋（y－1）2＝r2，整理得2x2－12x＋20－r2＝0，设直线与圆的两交点分别6为A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝6，x1·x2＝20－r22，所以|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝2×（x1＋x2）2－4x1x2＝2×36－2（20－r2）＝22，解得r＝2.(2)圆C：(x－2)2＋y2＝4的圆心为C(2，0)，半径为2，圆心到直线l1：y＝3x的距离d1＝232＝3，所以l1被圆C所截得的弦长为24－3＝2.圆心到直线l2的距离d2＝|2k－1|k2＋1，所以l2被圆C所截得的弦长为4＝24－d22，所以d2＝0.所以2k－1＝0，解得k＝12，故选C.【答案】(1)B(2)C求直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何法：用圆的几何性质求解，运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2r2－d2；(2)代数法：联立直线与圆的方程得方程组，消去一个未知数得一元二次方程，再利用根与系数的关系结合弦长公式求解，其公式为|AB|＝1＋k2|x1－x2|.1．平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是()A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0B．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0D．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0解析：选A.设直线方程为2x＋y＋c＝0，由直线与圆相切，得d＝|c|5＝5，c＝±5，所以所求方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.2．(2020·河北石家庄质检)已知a∈R且为常数，圆C：x2＋2x＋y2－2ay＝0，过圆C内一点(1，2)的直线l与圆C相交于A，B两点．当∠ACB最小时，直线l的方程为2x－y＝0，则a的值为()A．2B．3C．4D．5解析：选B.圆的方程配方，得(x＋1)2＋(y－a)2＝1＋a2，圆心为C(－1，a)，当弦AB7最短时，∠ACB最小，此时圆心C与定点(1，2)的连线和直线2x－y＝0垂直，所以a－2－1－1×2＝－1，解得a＝3.3．(2020·山东枣庄期末改编)若点P(1，1)为圆x2＋y2－6x＝0中弦AB的中点，则弦AB所在直线的方程为，|AB|＝．解析：圆x2＋y2－6x＝0的标准方程为(x－3)2＋y2＝9.又因为点P(1，1)为圆中弦AB的中点，所以圆心与点P所在直线的斜率为1－01－3＝－12，故弦AB所在直线的斜率为2，所以直线AB的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.圆心(3，0)与点P(1，1)之间的距离d＝5，圆的半径r＝3，则|AB|＝2r2－d2＝4.答案：2x－y－1＝04圆与圆的位置关系(师生共研)(1)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()A．内切B．相交C．外切D．相离(2)两圆C1：x2＋y2＋4x＋y＋1＝0，C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0相交于A，B两点，则|AB|＝．【解析】(1)由题意得圆M的标准方程为x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝a2，所以2a2－a22＝22，解得a＝2，圆M，圆N的圆心距|MN|＝2，小于两圆半径之和3，大于两圆半径之差1，故两圆相交．(2)由(x2＋y2＋4x＋y＋1)－(x2＋y2＋2x＋2y＋1)＝0得弦AB所在直线方程为2x－y＝0.圆C2的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝1，圆心C2(－1，－1)，半径r2＝1.圆心C2到直线AB的距离d＝|2×（－1）－（－1）|5＝15.所以|AB|＝2r22－d2＝21－15＝455