(浙江专用)2021版新高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 8 第8讲 函数与方程教学

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1第8讲函数与方程1.函数的零点(1)函数零点的定义:对于函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.(2)三个等价关系:方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.2.函数零点的判定如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是f(x)=0的根.我们把这一结论称为函数零点存在性定理.3.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系Δ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的交点(x1,0),(x2,0)(x1,0)无交点零点个数两个一个零个[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.()(2)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则f(a)·f(b)0.()(3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac0时没有零点.()(4)若函数f(x)在(a,b)上连续单调且f(a)·f(b)0,则函数f(x)在[a,b]上有且只有一个零点.()答案:(1)×(2)×(3)√(4)√[教材衍化]21.(必修1P92A组T5改编)函数f(x)=lnx-2x的零点所在的大致范围是()A.(1,2)B.(2,3)C.1e,1和(3,4)D.(4,+∞)解析:选B.易知f(x)为增函数,由f(2)=ln2-1<0,f(3)=ln3-23>0,得f(2)·f(3)<0.故选B.2.(必修1P88例1改编)函数f(x)=ex+3x的零点个数是______.解析:由已知得f′(x)=ex+30,所以f(x)在R上单调递增,又f(-1)=1e-30,f(0)=10,因此函数f(x)有且只有一个零点.答案:1[易错纠偏](1)错用零点存在性定理;(2)误解函数零点的定义;(3)忽略限制条件;(4)错用二次函数在R上无零点的条件.1.函数f(x)=x+1x的零点个数是______.解析:函数的定义域为{x|x≠0},当x0时,f(x)0,当x0时,f(x)0,所以函数没有零点.答案:02.函数f(x)=x2-3x的零点是______.解析:由f(x)=0,得x2-3x=0,即x=0和x=3.答案:0和33.若二次函数f(x)=x2-2x+m在区间(0,4)上存在零点,则实数m的取值范围是______.解析:二次函数f(x)图象的对称轴方程为x=1.若在区间(0,4)上存在零点,只需f(1)≤0且f(4)0即可,即-1+m≤0且8+m0,解得-8m≤1.答案:(-8,1]4.若二次函数f(x)=x2+kx+k在R上无零点,则实数k的取值范围是______.解析:由题意得Δ=k2-4k0,解得0k4.答案:(0,4)3函数零点所在区间的判断设f(x)=0.8x-1,g(x)=lnx,则函数h(x)=f(x)-g(x)存在的零点一定位于下列哪个区间()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,e)D.(e,3)【解析】h(x)=f(x)-g(x)的零点等价于方程f(x)-g(x)=0的根,即为函数y=f(x)与y=g(x)图象的交点的横坐标,其大致图象如图,从图象可知它们仅有一个交点A,横坐标的范围为(0,1),故选A.【答案】A判断函数零点所在区间的3种方法(1)解方程法:当对应方程f(x)=0易解时,可先解方程,然后再看求得的根是否落在给定区间上.(2)定理法:利用函数零点的存在性定理,首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.(3)图象法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.1.(2020·金华十校联考)函数f(x)=πx+log2x的零点所在区间为()A.14,12B.18,14C.0,18D.12,1解析:选A.因为f14=π4+log2140,f12=π2+log2120,所以f14·f120,故函数f(x)=πx+log2x的零点所在区间为14,12.2.(2020·杭州市严州中学高三模拟)若abc,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间()A.(a,b)和(b,c)内4B.(-∞,a)和(a,b)内C.(b,c)和(c,+∞)内D.(-∞,a)和(c,+∞)内解析:选A.因为f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a),所以f(a)=(a-b)(a-c),f(b)=(b-c)(b-a),f(c)=(c-a)(c-b),因为abc,所以f(a)0,f(b)0,f(c)0,所以f(x)的两个零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内.函数零点个数的问题(1)函数f(x)=x2+x-2,x≤0,-1+lnx,x0的零点个数为()A.3B.2C.1D.0(2)已知函数f(x)满足f(x)=f(3x),且当x∈[1,3)时,f(x)=lnx,若在区间[1,9)内,函数g(x)=f(x)-ax有三个不同的零点,则实数a的取值范围是()A.ln33,1eB.ln39,13eC.ln39,12eD.ln39,ln33【解析】(1)法一:由f(x)=0得x≤0,x2+x-2=0或x0,-1+lnx=0,解得x=-2或x=e.因此函数f(x)共有2个零点.法二:函数f(x)的图象如图所示,由图象知函数f(x)共有2个零点.(2)因为f(x)=f(3x)⇒f(x)=fx3,当x∈[3,9)时,f(x)=fx3=lnx3,所以f(x)=5lnx,1≤x3,lnx3,3≤x9,而g(x)=f(x)-ax有三个不同零点⇔y=f(x)与y=ax的图象有三个不同交点,如图所示,可得直线y=ax应在图中两条虚线之间,所以可解得ln39a13e.故选B.【答案】(1)B(2)B判断函数零点个数的3种方法(1)方程法:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点.(2)零点存在性定理法:利用定理不仅要求函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质.(3)数形结合法:转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象,看其交点的个数,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.1.函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内的零点的个数为()A.0B.1C.2D.3解析:选C.由题意可知f(x)的定义域为(0,+∞),在同一直角坐标系中画出函数y1=|x-2|(x0),y2=lnx(x0)的图象,如图所示.由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.2.已知函数f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,当x0时,f(x)=2|x-1|-1,0x≤2,12f(x-2),x2,则函数g(x)=4f(x)-1的零点个数为()A.4B.6C.8D.10解析:选D.由f(x)为偶函数可得,只需作出x∈(0,+∞)上6的图象,再利用对称性作另一半图象即可.当x∈(0,2]时,可以通过y=2x的图象进行变换作出f(x)的图象,当x2时,f(x)=12f(x-2),即自变量差2个单位,函数值折半,进而可作出f(x)在(2,4],(4,6],…的图象,如图所示.g(x)的零点个数即f(x)=14的根的个数,也即f(x)的图象与y=14的图象的交点个数,观察图象可知,当x0时,有5个交点,根据对称性可得当x0时,也有5个交点,共计10个交点,故选D.函数零点的应用(高频考点)高考对函数零点的考查多以选择题或填空题的形式出现.主要命题角度有:(1)利用函数零点比较大小;(2)已知函数的零点(或方程的根)的情况求参数的值或范围;(3)利用函数零点的性质求参数的范围.角度一利用函数零点比较大小(2020·台州模拟)已知e是自然对数的底数,函数f(x)=ex+x-2的零点为a,函数g(x)=lnx+x-2的零点为b,则下列不等式中成立的是()A.f(a)f(1)f(b)B.f(a)f(b)f(1)C.f(1)f(a)f(b)D.f(b)f(1)f(a)【解析】由题意,知f′(x)=ex+10恒成立,所以函数f(x)在R上是单调递增的,而f(0)=e0+0-2=-10,f(1)=e1+1-2=e-10,所以函数f(x)的零点a∈(0,1);由题意,知g′(x)=1x+10,所以函数g(x)在(0,+∞)上是单调递增的,又g(1)=ln1+1-2=-10,g(2)=ln2+2-2=ln20,所以函数g(x)的零点b∈(1,2).综上,可得0a1b2.因为f(x)在R上是单调递增的,所以f(a)f(1)f(b).故选A.【答案】A角度二已知函数的零点(或方程的根)的情况求参数的值或范围(1)设函数f(x)=log2(2x+1),g(x)=log2(2x-1),若关于x的函数F(x)=g(x)-f(x)-m在[1,2]上有零点,则m的取值范围为________.(2)(2018·高考浙江卷)已知λ∈R,函数f(x)=x-4,x≥λ,x2-4x+3,xλ,当λ=2时,不等式f(x)0的解集是________.若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是________.【解析】(1)令F(x)=0,即g(x)-f(x)-m=0.所以m=g(x)-f(x)=log2(2x-1)-log2(2x+1)7=log22x-12x+1=log21-22x+1.因为1≤x≤2,所以3≤2x+1≤5.所以25≤22x+1≤23,13≤1-22x+1≤35.所以log213≤log21-22x+1≤log235,即log213≤m≤log235.所以m的取值范围是log213,log235.(2)若λ=2,则当x≥2时,令x-40,得2≤x4;当x2时,令x2-4x+30,得1x2.综上可知,1x4,所以不等式f(x)0的解集为(1,4).令x-4=0,解得x=4;令x2-4x+3=0,解得x=1或x=3.因为函数f(x)恰有2个零点,结合函数的图象(图略)可知1λ≤3或λ4.【答案】(1)log213,log235(2)(1,4)(1,3]∪(4,+∞)角度三利用函数零点的性质求参数的范围已知函数f(x)=|lnx|,若0ab,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是()A.(22,+∞)B.[22,+∞)C.(3,+∞)D.[3,+∞)【解析】先作出f(x)的图象如图所示,通过图象可知,如果f(a)=f(b),则0a1b,设f(a)=f(b)=t,即|lna|=t,|lnb|=t(t0),由0a1b可得lna0,lnb0,从而lna=-t,lnb=t,即a=e-t,b=et,所以a+2b=1et+2et,而et1,又y=2x+1x在(1,+∞)上为增函数,所以2et+1et∈(3,+∞).故选C.【答案】C已知函数的零点(或方程根)的情况求参数问题常用的三种方法(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题

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