（浙江专用）2021版新高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 5 第5讲 指数与指数函数

1第5讲指数与指数函数1．根式(1)根式的概念①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n1且n∈N*.式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．②a的n次方根的表示：xn＝a⇒x＝na，当n为奇数且n∈N*，n1时，x＝±na，当n为偶数且n∈N*时.(2)根式的性质①(na)n＝a(n∈N*，且n1)．②nan＝a，n为奇数，|a|＝a，a≥0，－a，a0，n为偶数.2．有理数指数幂(1)幂的有关概念①正分数指数幂：amn＝nam(a0，m，n∈N*，且n1)；②负分数指数幂：a－mn＝1amn＝1nam(a0，m，n∈N*，且n1)；③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．(2)有理数指数幂的运算性质①aras＝ar＋s(a0，r，s∈Q)；②(ar)s＝ars(a0，r，s∈Q)；③(ab)r＝arbr(a0，b0，r∈Q)．3．指数函数的图象及性质函数y＝ax(a0，且a≠1)图象0a1a12图象特征在x轴上方，过定点(0，1)当x逐渐增大时，图象逐渐下降当x逐渐增大时，图象逐渐上升性质定义域R值域(0，＋∞)单调性减增函数值变化规律当x＝0时，y＝1当x0时，y1；当x0时，0y1当x0时，0y1；当x0时，y14.指数函数的变化特征在同一平面直角坐标系中，分别作出指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx(a＞1，b＞1，0＜c＜1，0＜d＜1)的图象，如图所示．作出直线x＝1，分别与四个图象自上而下交于点A(1，a)，B(1，b)，C(1，c)，D(1，d)，得到底数的大小关系是：a＞b＞1＞c＞d＞0.根据y轴右侧的图象，也可以利用口诀：“底大图高”来记忆．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)nan＝(na)n＝a.()(2)(－1)24＝(－1)12＝－1.()(3)函数y＝a－x是R上的增函数．()(4)函数y＝ax2＋1(a1)的值域是(0，＋∞)．()(5)函数y＝2x－1是指数函数．()(6)若aman(a0，且a≠1)，则mn.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)×[教材衍化]1．(必修1P59A组T4改编)化简416x8y4(x0，y0)＝________．解析：因为x0，y0，所以416x8y4＝(16x8·y4)14＝(16)14·(x8)14·(y4)14＝2x2|y|＝－2x2y.答案：－2x2y2．(必修1P55“思考”改编)函数y＝2x与y＝2－x的图象关于________对称．3解析：作出y＝2x与y＝2－x＝12x的图象(图略)，观察可知其关于y轴对称．答案：y轴3．(必修1P56例6改编)已知函数f(x)＝ax－2＋2(a0且a≠1)的图象恒过定点A，则A的坐标为________．解析：令x－2＝0，则x＝2，f(2)＝3，即A的坐标为(2，3)．答案：(2，3)[易错纠偏](1)忽略n的范围导致式子nan(a∈R)化简出错；(2)不能正确理解指数函数的概念致错；(3)指数函数问题时刻注意底数的两种情况；(4)复合函数问题容易忽略指数函数的值域致错．1．计算3（1＋2）3＋4（1－2）4＝________．解析：3（1＋2）3＋4（1－2）4＝(1＋2)＋(2－1)＝22.答案：222．若函数f(x)＝(a2－3)·ax为指数函数，则a＝________．解析：由题意知0a，a≠1，a2－3＝1，即a＝2.答案：23．若函数f(x)＝ax在[－1，1]上的最大值为2，则a＝________．解析：当a1时，a＝2；当0a1时a－1＝2，即a＝12.答案：2或124．函数y＝21x－1的值域为________．解析：因为1x－1≠0，所以21x－10且21x－1≠1.答案：(0，1)∪(1，＋∞)4指数幂的运算化简下列各式：(1)2350＋2－2·214－12－(0.01)0.5；(2)56a13·b－2·－3a－12b－1÷4a23·b－312(a，b0)．【解】(1)原式＝1＋14×4912－110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝－52a－16b－3÷4a23·b－312＝－54a－16b－3÷a13b－32＝－54a－12·b－32＝－54·1ab3＝－5ab4ab2.指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．[提醒]运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．化简下列各式：(1)(0.027)23＋27125－13－2790.5；(2)14－12·（4ab－1）3（0.1）－1·（a3·b－3）12.5解：(1)原式＝0.32＋1252713－259＝9100＋53－53＝9100.(2)原式＝2（4ab－1）3210a32b－32两式相减得6(m－n)＝(m－n)(m＋n)，即m＋n＝6，与mn3矛盾，所以满足题意的m，n不存在．