（浙江专用）2021版新高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 1 第1讲 函数及其表示教

1第二章函数概念与基本初等函数知识点最新考纲函数及其表示了解函数、映射的概念．了解函数的定义域、值域及三种表示法(解析法、图象法和列表法)．了解简单的分段函数，会用分段函数解决简单的问题.函数的基本性质理解函数的单调性、奇偶性，会判断函数的单调性、奇偶性．理解函数的最大(小)值的含义，会求简单函数的最大(小)值.指数函数了解指数幂的含义，掌握有理指数幂的运算．理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用.对数函数理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式．理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用.幂函数了解幂函数的概念．掌握幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x12的图象和性质.函数与方程了解函数零点的概念，掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法.函数模型及其应用了解指数函数、对数函数以及幂函数的变化特征．能将一些简单的实际问题转化为相应的函数问题，并给予解决.第1讲函数及其表示1．函数与映射的概念函数映射两集合A、B设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空的集合对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射2记法y＝f(x)(x∈A)对应f：A→B是一个映射2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝f(x)的图象与直线x＝a最多有2个交点．()(2)函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一函数．()(3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．()(4)若A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|，则对应关系f是从A到B的映射．()(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．()(6)分段函数的定义域等于各段定义域的并集，值域等于各段值域的并集．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(5)×(6)√[教材衍化]1．(必修1P18例2改编)下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是()A．y＝(x＋1)2B．y＝3x3＋1C．y＝x2x＋1D．y＝x2＋1解析：选B.对于A，函数y＝(x＋1)2的定义域为{x|x≥－1}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C，函数y＝x2x＋1的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数，故选B.32．(必修1P25B组T1改编)函数y＝f(x)的图象如图所示，那么f(x)的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________．答案：[－3，0]∪[2，3][1，5][1，2)∪(4，5]3．(必修1P19T1(2)改编)函数y＝x－2·x＋2的定义域是________．解析：x－2≥0，x＋2≥0，⇒x≥2.答案：[2，＋∞)[易错纠偏](1)对函数概念理解不透彻；(2)换元法求解析式，反解忽视范围．1．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f中不是函数的是________．(填序号)①f：x→y＝12x；②f：x→y＝13x；③f：x→y＝23x；④f：x→y＝x.解析：对于③，因为当x＝4时，y＝23×4＝83∉Q，所以③不是函数．答案：③2．已知f(x)＝x－1，则f(x)＝________．解析：令t＝x，则t≥0，x＝t2，所以f(t)＝t2－1(t≥0)，即f(x)＝x2－1(x≥0)．答案：x2－1(x≥0)函数的定义域(1)(2020·杭州学军中学月考)函数f(x)＝x＋2x2lg（|x|－x）的定义域为________．(2)若函数y＝f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)＝f（2x）x－1的定义域为________．(3)若函数f(x)＝2x2＋2ax－a－1的定义域为R，则a的取值范围为________．【解析】(1)要使函数f(x)有意义，必须使4x＋2x2≥0，|x|－x0，|x|－x≠1，解得x－12.所以函数f(x)的定义域为xx－12.(2)由x－1≠0，0≤2x≤2，得0≤x1，即定义域是[0，1)．(3)因为函数f(x)的定义域为R，所以2x2＋2ax－a－1≥0对x∈R恒成立，即2x2＋2ax－a≥20，x2＋2ax－a≥0恒成立，因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.【答案】(1)xx－12(2)[0，1)(3)[－1，0](变条件)若将本例(2)中“函数y＝f(x)”改为“函数y＝f(x＋1)”，其他条件不变，如何求解？解：由函数y＝f(x＋1)的定义域为[0，2]，得函数y＝f(x)的定义域为[1，3]，令1≤2x≤3，x－1≠0，得12≤x≤32且x≠1.所以g(x)的定义域为12，1∪1，32.函数定义域的求解策略(1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题．在解不等式组取交集时可借助于数轴，要特别注意端点值的取舍．(2)求抽象函数的定义域：①若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a＜g(x)＜b即可求出y＝f(g(x))的定义域；②若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得y＝f(x)的定义域．(3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式(组)，然后求解．[提醒](1)求函数定义域时，对函数解析式先不要化简；(2)求出定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式．1．(2020·浙江新高考优化卷)函数f(x)＝3x21－x＋lg(－3x2＋5x＋2)的定义域是()A.－13，＋∞B.－13，15C.－13，13D.－∞，－13解析：选B.依题意可得，要使函数有意义，则有1－x0－3x2＋5x＋20，解得－13x1.故选B.2．(2020·浙江新高考预测卷)已知集合A＝{x|y＝x－x2}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则A∪B＝()A．[0，1]B．[0，1)C．(－∞，1]D．(－∞，1)解析：选C.因为由x－x2≥0得0≤x≤1，所以A＝{x|0≤x≤1}．由1－x0得x1，所以B＝{x|x1}，所以A∪B＝{x|x≤1}．故选C.3．若函数f(x)＝mx2＋mx＋1的定义域为实数集，则实数m的取值范围是________．解析：由题意可得mx2＋mx＋1≥0恒成立．当m＝0时，1≥0恒成立；当m≠0时，则m0，Δ＝m2－4m≤0，解得0m≤4.综上可得0≤m≤4.答案：[0，4]求函数的解析式(1)已知fx＋1x＝x2＋1x2，求f(x)的解析式；(2)已知f2x＋1＝lgx，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)；(4)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式．【解】(1)(配凑法)由于fx＋1x＝x2＋1x2＝x＋1x2－2，所以f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2，故f(x)的解析式是f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2.6(2)(换元法)令2x＋1＝t得x＝2t－1，代入得f(t)＝lg2t－1，又x＞0，所以t＞1，故f(x)的解析式是f(x)＝lg2x－1，x＞1.(3)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，所以2a＋b＝b＋1，a＋b＝1，解得a＝b＝12.所以f(x)＝12x2＋12x，x∈R.(4)(解方程组法)由f(－x)＋2f(x)＝2x，①得f(x)＋2f(－x)＝2－x，②①×2－②，得，3f(x)＝2x＋1－2－x.即f(x)＝2x＋1－2－x3.所以f(x)的解析式是f(x)＝2x＋1－2－x3，x∈R.求函数解析式的4种方法(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式．(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．(4)解方程组法：已知关于f(x)与f1x或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．[提醒]求解析式时要注意新元的取值范围．1．(2020·杭州学军中学月考)已知f(x＋1)＝x＋2x，则f(x)的解析式为f(x)＝__________．7解析：法一：设t＝x＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)；代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.故f(x)＝x2－1(x≥1)．法二：因为x＋2x＝(x)2＋2x＋1－1＝(x＋1)2－1，所以f(x＋1)＝(x＋1)2－1(x＋1≥1)，即f(x)＝x2－1(x≥1)．答案：x2－1(x≥1)2．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋2，则f(x)的解析式为f(x)＝________．解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2，所以a＝1，b＝2，f(x)＝x2＋2x＋c.又因为方程f(x)＝0有两个相等的实根，所以Δ＝4－4c＝0，c＝1，故f(x)＝x2＋2x＋1.答案：x2＋2x＋1分段函数(高频考点)分段函数是一类重要的函数，是高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题多为容易题或中档题．主要命题角度有：(1)分段函数求值；(2)已知函数值，求参数的值(或取值范围)；(3)与分段函数有关的方程、不等式问题．角度一分段函数求值(2020·杭州萧山中学高三适应性考试)若函数f(x)＝log2x，x0，f（x＋2），x≤0，g(x)＝x2，则f(8)＝________；g[f(2)]＝________；ff12＝________．【解析】f(8)＝log28＝3，g[f(2)]＝g(log22)＝g(1)＝1，ff12＝flog212＝f(－1)＝f(1)＝log21＝0.【答案】310角度二已知函数值求参数的值(或取值范围)(2020·瑞安市龙翔高中高三月考)设函数f(x)＝－2x2＋1（x≥1）log2（1－x）（x1），若f(f(a))＝3，8则a＝________．【解析】函数f(x)＝－2x2＋1（x≥1）log2（1－x）（x1），若f(f(a))＝3，当a≥1时，可得f