（浙江专用）2021版新高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 1 第1讲 变化率与导数、导数的计算

1第三章导数及其应用知识点最新考纲变化率与导数、导数的计算了解导数的概念与实际背景，理解导数的几何意义．会用基本初等函数的导数公式表和导数运算法则求函数的导数，并能求简单的复合函数的导数(限于形如f(ax＋b)的导数).导数在研究函数中的应用了解函数单调性和导数的关系，能用导数求函数的单调区间．理解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大(小)值，会求闭区间上函数的最大(小)值.第1讲变化率与导数、导数的计算1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝limΔx→0ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx.(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(3)函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝limΔx→0f（x＋Δx）－f（x）Δx为f(x)的导函数．2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝02f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sin__xf(x)＝ax(a0且a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(x0，a0且a≠1)f′(x)＝1xlnaf(x)＝lnx(x0)f′(x)＝1x3.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)f（x）g（x）′＝f′（x）g（x）－f（x）g′（x）[g（x）]2(g(x)≠0)．4．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．()(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．()(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．()(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．()(5)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cosx．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×[教材衍化]1．(选修2－2P65A组T2(1)改编)函数y＝xcosx－sinx的导数为()A．xsinxB．－xsinxC．xcosxD．－xcosx解析：选B.y′＝x′cosx＋x(cosx)′－(sinx)′＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.32．(选修2－2P18A组T6改编)曲线y＝1－2x＋2在点(－1，－1)处的切线方程为________．解析：因为y′＝2（x＋2）2，所以y′|x＝－1＝2.故所求切线方程为2x－y＋1＝0.答案：2x－y＋1＝03．(选修2－2P7例2改编)有一机器人的运动方程为s＝t2＋3t(t是时间，s是位移)，则该机器人在t＝2时的瞬时速度为________．解析：因为s＝t2＋3t，所以s′＝2t－3t2，所以s′|t＝2＝4－34＝134.答案：134[易错纠偏](1)求导时不能掌握复合函数的求导法则致误；(2)不会用方程法解导数求值．1．已知函数f(x)＝sin2x＋π3，则f′(x)＝________．解析：f′(x)＝[sin2x＋π3]′＝cos2x＋π3·2x＋π3′＝2cos2x＋π3.答案：2cos2x＋π32．设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝f′π2sinx＋cosx，则f′π4＝________．解析：因为f(x)＝f′π2sinx＋cosx，所以f′(x)＝f′π2cosx－sinx，所以f′π2＝f′π2cosπ2－sinπ2，即f′π2＝－1，所以f(x)＝－sinx＋cosx，f′(x)＝－cosx－sinx.故f′π4＝－cosπ4－sinπ4＝－2.4答案：－2导数的计算求下列函数的导数：(1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)；(2)y＝x2sinx；(3)y＝3xex－2x＋e；(4)y＝ln(2x－5)．【解】(1)因为y＝(3x2－4x)(2x＋1)＝6x3＋3x2－8x2－4x＝6x3－5x2－4x，所以y′＝18x2－10x－4.(2)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(3)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3xexln3＋3xex－2xln2＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2.(4)令u＝2x－5，y＝lnu，则y′＝(lnu)′u′＝12x－5·2＝22x－5.[提醒]求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．1．已知f(x)＝x(2017＋lnx)，若f′(x0)＝2018，则x0＝()A．e2B．1C．ln2D．e解析：选B.因为f(x)＝x(2017＋lnx)，所以f′(x)＝2017＋lnx＋1＝2018＋lnx，又f′(x0)＝2018，5所以2018＋lnx0＝2018，所以x0＝1.2．求下列函数的导数：(1)y＝xnex；(2)y＝cosxsinx；(3)y＝exlnx；(4)y＝(1＋sinx)2.解：(1)y′＝nxn－1ex＋xnex＝xn－1ex(n＋x)．(2)y′＝－sin2x－cos2xsin2x＝－1sin2x.(3)y′＝exlnx＋ex·1x＝ex1x＋lnx.(4)y′＝2(1＋sinx)·(1＋sinx)′＝2(1＋sinx)·cosx.导数的几何意义(高频考点)导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题也有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，属中低档题．主要命题角度有：(1)求切线方程；(2)已知切线方程(或斜率)求切点坐标；(3)已知切线方程(或斜率)求参数值．角度一求切线方程(1)曲线y＝x2＋1x在点(1，2)处的切线方程为____________________．(2)已知函数f(x)＝xlnx，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为________．【解析】(1)因为y′＝2x－1x2，所以在点(1，2)处的切线方程的斜率为y′|x＝1＝2×1－112＝1，所以切线方程为y－2＝x－1，即y＝x＋1.(2)因为点(0，－1)不在曲线f(x)＝xlnx上，所以设切点为(x0，y0)．又因为f′(x)＝1＋lnx，所以y0＝x0lnx0，y0＋1＝（1＋lnx0）x0，解得x0＝1，y0＝0.6所以切点为(1，0)，所以f′(1)＝1＋ln1＝1.所以直线l的方程为y＝x－1.【答案】(1)y＝x＋1(2)y＝x－1角度二已知切线方程(或斜率)求切点坐标若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．【解析】设P(x0，y0)，因为y＝e－x，所以y′＝－e－x，所以点P处的切线斜率为k＝－e－x0＝－2，所以－x0＝ln2，所以x0＝－ln2，所以y0＝eln2＝2，所以点P的坐标为(－ln2，2)．【答案】(－ln2，2)角度三已知切线方程(或斜率)求参数值(1)(2020·宁波调研)直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1，3)，则2a＋b的值等于()A．2B．－1C．1D．－2(2)(2020·绍兴调研)若直线y＝ax是曲线y＝2lnx＋1的一条切线，则实数a＝________．【解析】(1)依题意知，y′＝3x2＋a，则13＋a＋b＝3，3×12＋a＝k，k＋1＝3，由此解得a＝－1，b＝3，k＝2，所以2a＋b＝1，选C.(2)依题意，设直线y＝ax与曲线y＝2lnx＋1的切点的横坐标为x0，则有y′|x＝x0＝2x0，于是有a＝2x0ax0＝2lnx0＋1，解得x0＝e，a＝2x0＝2e－12.【答案】(1)C(2)2e－127(1)求曲线切线方程的步骤①求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率；②由点斜式方程求得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．(2)求曲线的切线方程需注意两点①当曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线垂直于x轴(此时导数不存在)时，切线方程为x＝x0；②当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解．1．(2020·杭州七校联考)曲线y＝e12x在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()A.92e2B．4e2C．2e2D．e2解析：选D.因为y′＝12e12x，所以k＝12e12×4＝12e2，所以切线方程为y－e2＝12e2(x－4)，令x＝0，得y＝－e2，令y＝0，得x＝2，所以所求面积为S＝12×2×|－e2|＝e2.2．已知函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex(其中e是自然对数的底数，a∈R)，若f(x)在(0，f(0))处的切线与直线x＋y－1＝0垂直，则a＝________．解析：f′(x)＝(x2＋ax－1)′ex＋(x2＋ax－1)(ex)′＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax－1)ex＝[x2＋(a＋2)x＋(a－1)]ex，故f′(0)＝[02＋(a＋2)×0＋(a－1)]e0＝a－1.因为f(x)在(0，f(0))处的切线与直线x＋y－1＝0垂直，故f′(0)＝1，即a－1＝1，解得a＝2.答案：23．(2020·台州高三月考)已知曲线f(x)＝xn＋1(n∈N*)与直线x＝1交于点P，设曲线y＝f(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2018x1＋log2018x2＋…＋log2018x2017的值为________．解析：f′(x)＝(n＋1)xn，k＝f′(1)＝n＋1，点P(1，1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得x＝1－1n＋1＝nn＋1，即xn＝nn＋1.所以x1·x2·…·x2017＝12×23×34×…×20162017×20172018＝12018.则log2018x1＋log2018x2＋…＋log2018x20178＝log2018(x1·x2·…·x2017)＝log201812018＝－1.答案：－1两条曲线的公切线若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________．【解析】设y＝kx＋b与y＝lnx＋2和y＝ln(x＋1)的切点分别为(x1，lnx1＋2)和(x2，ln(x2＋1))．则切线分别为y－lnx1－2＝1x1(x－x1)，y－ln(x2＋1)＝1x2＋1(x－x2)，化简得y＝1x1x＋lnx1＋1，y＝1x2＋1x－x2x2＋1＋ln(x2＋1)，依题意1x1＝1x2＋1，lnx1＋1＝－x2x2＋1＋ln（x2＋1），解得x1＝12，从而b＝lnx1＋1＝1－ln2.【答案】1－ln2求两条曲线的公切线的方法(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一条曲线相切，列出关系式求解．(2)利用公切线得出关系式．设公切线l