（浙江专用）2021版新高考数学一轮复习 第七章 不等式 2 第2讲 一元二次不等式及其解法教学案

1第2讲一元二次不等式及其解法1．一元一次不等式axb(a≠0)的解集(1)当a0时，解集为xxba；(2)当a0时，解集为xxba．2．一元二次不等式的解集判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根有两个相异实根x1，x2(x1x2)有两个相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c0(a0)的解集{x|xx1或xx2}{x|x≠x1}Rax2＋bx＋c0(a0)的解集{x|x1xx2}∅∅[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若不等式ax2＋bx＋c0的解集为(x1，x2)，则必有a0.()(2)若不等式ax2＋bx＋c0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.()(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c0的解集为R.()(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a0且Δ＝b2－4ac≤0.()(5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c0的解集一定不是空集．()答案：(1)√(2)√(3)×(4)×(5)√2[教材衍化]1．(必修5P80A组T4改编)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝x4－xx＋1≤0，那么集合A∩(∁UB)＝________．解析：因为A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x－1或x≥4}，故∁UB＝{x|－1≤x4}，所以A∩(∁UB)＝{x|－1≤x≤3}．答案：[－1，3]2．(必修5P80A组T2改编)y＝log2(3x2－2x－2)的定义域是________．解析：由题意，得3x2－2x－20，令3x2－2x－2＝0，得x1＝1－73，x2＝1＋73，所以3x2－2x－20的解集为－∞，1－73∪1＋73，＋∞.答案：－∞，1－73∪1＋73，＋∞[易错纠偏](1)解不等式时，变形必须等价；(2)忽视二次项系数的符号；(3)对系数的讨论，忽视二次项系数为0的情况；(4)解分式不等式时，忽视分母的符号．1．不等式2x(x－7)3(x－7)的解集为________．解析：2x(x－7)3(x－7)⇔2x(x－7)－3(x－7)0⇔(x－7)(2x－3)0，解得x32或x7，所以，原不等式的解集为xx32或x7.答案：xx32或x72．不等式－x2－3x＋40的解集为________．(用区间表示)解析：由－x2－3x＋40可知，(x＋4)(x－1)0.得－4x1.答案：(－4，1)3．对于任意实数x，不等式mx2＋mx－10恒成立，则实数m的取值范围是________．解析：当m＝0时，mx2＋mx－1＝－10，不等式恒成立；当m≠0时，由m0，Δ＝m2＋4m0，解得－4m0.综上，m的取值范围是(－4，0]．答案：(－4，0]34．不等式2x＋11的解集是________．解析：2x＋11⇒2－（x＋1）x＋10⇒x－1x＋10⇒x1或x－1.答案：{x|x1或x－1}一元二次不等式的解法(高频考点)一元二次不等式的解法是高考的常考内容，题型多为选择题或填空题，难度为中档题．主要命题角度有：(1)解不含参数的一元二次不等式；(2)解含参数的一元二次不等式；(3)已知一元二次不等式的解集求参数．角度一解不含参数的一元二次不等式解下列不等式：(1)－x2－2x＋3≥0；(2)已知函数f(x)＝x2＋2x，x≥0，－x2＋2x，x0，解不等式f(x)3.【解】(1)不等式两边同乘以－1，原不等式可化为x2＋2x－3≤0.方程x2＋2x－3＝0的解为x1＝－3，x2＝1.而y＝x2＋2x－3的图象开口向上，可得原不等式－x2－2x＋3≥0的解集是{x|－3≤x≤1}．(2)由题意x≥0，x2＋2x3或x0，－x2＋2x3，解得x1.故原不等式的解集为{x|x1}．角度二解含参数的一元二次不等式(分类讨论思想)解关于x的不等式：12x2－axa2(a∈R)．【解】因为12x2－axa2，所以12x2－ax－a20，即(4x＋a)(3x－a)0.令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－a4，x2＝a3.①当a0时，－a4a3，4解集为xx－a4，或xa3；②当a＝0时，x20，解集为{x|x∈R，且x≠0}；③当a0时，－a4a3，解集为xxa3，或x－a4.综上所述：当a0时，不等式的解集为xx－a4，或xa3；当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠0}；当a0时，不等式的解集为xxa3，或x－a4.角度三已知一元二次不等式的解集求参数已知不等式ax2－bx－10的解集是x－12x－13，则不等式x2－bx－a≥0的解集是________．【解析】由题意知－12，－13是方程ax2－bx－1＝0的两个根，且a0，所以－12＋－13＝ba，－12×－13＝－1a，解得a＝－6，b＝5.即不等式x2－bx－a≥0为x2－5x＋6≥0，解得x≥3或x≤2.【答案】{x|x≥3或x≤2}(1)解一元二次不等式的方法和步骤(2)解含参数的一元二次不等式的步骤①二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．②判断相应方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．③确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．51．若集合A＝xxx－1≤0，B＝{x|x22x}，则A∩B＝()A．{x|0x1}B．{x|0≤x1}C．{x|0x≤1}D．{x|0≤x≤1}解析：选A.因为A＝xxx－1≤0＝{x|0≤x1}，B＝{x|x22x}＝{x|0x2}，所以A∩B＝{x|0x1}，故选A.2．不等式0x2－x－2≤4的解集为________．解析：原不等式等价于x2－x－20，x2－x－2≤4，即x2－x－20，x2－x－6≤0，即（x－2）（x＋1）0，（x－3）（x＋2）≤0，解得x2或x－1，－2≤x≤3.借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{x|－2≤x－1或2x≤3}．答案：[－2，－1)∪(2，3]3．已知不等式ax2－3x＋6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}．(1)求a，b；(2)解不等式x－cax－b＞0(c为常数)．解：(1)由题知1，b为方程ax2－3x＋2＝0的两根，即b＝2a，1＋b＝3a.所以a＝1，b＝2.(2)不等式等价于(x－c)(x－2)＞0，当c＞2时，解集为{x|x＞c或x＜2}；当c＜2时，解集为{x|x＞2或x＜c}；当c＝2时，解集为{x|x≠2}．一元二次不等式恒成立问题(高频考点)一元二次不等式恒成立问题是每年高考的热点，题型多为选择题和填空题，难度为中档题．主要命题角度有：(1)形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数的范围；(2)形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈[a，b])确定参数的范围；6(3)形如f(x)≥0(f(x)≤0)(参数m∈[a，b])确定x的范围．角度一形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数的范围若关于x的不等式ax2＋2x＋2＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________．【解析】当a＝0时，原不等式可化为2x＋2＞0，其解集不为R，故a＝0不满足题意，舍去；当a≠0时，要使原不等式的解集为R，只需a＞0，Δ＝22－4×2a＜0，解得a＞12.综上，所求实数a的取值范围是12，＋∞.【答案】12，＋∞角度二形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈[a，b])确定参数的范围若不等式(a－a2)(x2＋1)＋x≤0对一切x∈(0，2]恒成立，则a的取值范围是()A.－∞，1－32B.1＋32，＋∞C.－∞，1－32∪1＋32，＋∞D.1－32，1＋32【解析】因为x∈(0，2]，所以a2－a≥xx2＋1＝1x＋1x.要使a2－a≥1x＋1x在x∈(0，2]时恒成立，则a2－a≥1x＋1xmax，由基本不等式得x＋1x≥2，当且仅当x＝1时等号成立，即1x＋1xmax＝12.故a2－a≥12，解得a≤1－32或a≥1＋32.【答案】C角度三形如f(x)≥0(f(x)≤0)(参数m∈[a，b])确定x的范围7已知a∈[－1，1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为________．【解析】把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，则由f(a)＞0对于任意的a∈[－1，1]恒成立，易知只需f(－1)＝x2－5x＋6＞0，且f(1)＝x2－3x＋2＞0即可，联立方程解得x＜1或x＞3.【答案】{x|x＜1或x＞3}(1)不等式恒成立问题的求解方法①一元二次不等式在R上恒成立确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解．②一元二次不等式f(x)≥0在x∈[a，b]上恒成立确定参数范围时，要根据函数的单调性，求其最小值，让最小值大于等于0，从而求参数的范围．③一元二次不等式对于参数m∈[a，b]恒成立确定x的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．(2)三个“二次”间的转化二次函数、二次方程与二次不等式统称三个“二次”，解决此类问题首先采用转化思想，把方程、不等式问题转化为函数问题．借助于函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题．1．若函数y＝mx2－（1－m）x＋m的定义域为R，则m的取值范围是________．解析：要使y＝mx2－（1－m）x＋m有意义，即mx2－(1－m)x＋m≥0对∀x∈R恒成立，则m0，（1－m）2－4m2≤0，解得m≥13.答案：m≥132．若关于x的不等式4x－2x＋1－a≥0在[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围为________．解析：因为不等式4x－2x＋1－a≥0在[1，2]上恒成立，所以4x－2x＋1≥a在[1，2]上恒成立．令y＝4x－2x＋1＝(2x)2－2×2x＋1－1＝(2x－1)2－1.因为1≤x≤2，所以2≤2x≤4.由二次函数的性质可知：当2x＝2，即x＝1时，y取得最小值0，所以实数a的取值范围为(－∞，0]．答案：(－∞，0]8一元二次不等式的应用某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元辆，出厂价为12万元辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0x1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？【解】(1)由题意得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10000(1＋0.6x)(0x1)，整理得y＝－6000x2＋2000x＋20000(0x1)．(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有y－（