（浙江专用）2021版新高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 5 第5讲 三角函数的图象与性

1第5讲三角函数的图象与性质1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}值域[－1，1][－1，1]R函数的最值最大值1，当且仅当x＝2kπ＋π2，k∈Z；最小值－1，当且仅当x＝2kπ－π2，k∈Z最大值1，当且仅当x＝2kπ，k∈Z；最小值－1，当且仅当x＝2kπ－π，k∈Z无最大值和最小值单调性增区间[2kπ－π2，2kπ＋π2](k∈Z)；减区间[2kπ＋π2，2kπ＋3π2](k∈Z)增区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；减区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)增区间(kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z)奇偶性奇函数偶函数奇函数周期性周期为2kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为2π周期为2kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为2π周期为kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为π对称对称中心(kπ，0)，k∈Zkπ＋π2，0，k∈Zkπ2，0，k∈Z2性对称轴x＝kπ＋π2，k∈Zx＝kπ，k∈Z无对称轴零点kπ，k∈Zkπ＋π2，k∈Zkπ，k∈Z2.周期函数的定义对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期；函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期均为T＝2π|ω|；函数y＝Atan(ωx＋φ)的周期为T＝π|ω|.3．对称与周期正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻的两个对称中心之间的距离是半个周期．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y＝cosx在第一、二象限内是减函数．()(2)若y＝ksinx＋1，x∈R，则y的最大值是k＋1.()(3)若非零实数T是函数f(x)的周期，则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期．()(4)函数y＝sinx图象的对称轴方程为x＝2kπ＋π2(k∈Z)．()(5)函数y＝tanx在整个定义域上是增函数．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×[教材衍化]1．(必修4P46A组T2，3改编)若函数y＝2sin2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则T＝________，A＝________．解析：最小正周期T＝2π2＝π，最大值A＝2－1＝1.答案：π12．(必修4P40练习T4改编)下列关于函数y＝4sinx，x∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是________(填序号)．①在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数；3②在－π2，π2上是增函数，在－π，－π2及π2，π上是减函数；③在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数；④在π2，π及－π，－π2上是增函数，在－π2，π2上是减函数．解析：函数y＝4sinx在－π，－π2和π2，π上单调递减，在－π2，π2上单调递增．答案：②3．(必修4P45练习T3改编)y＝tan2x的定义域是________．解析：由2x≠kπ＋π2，k∈Z，得x≠kπ2＋π4，k∈Z，所以y＝tan2x的定义域是xx≠kπ2＋π4，k∈Z.答案：xx≠kπ2＋π4，k∈Z[易错纠偏](1)忽视y＝Asinx(或y＝Acosx)中A对函数单调性的影响；(2)忽视定义域的限制；(3)忽视正切函数的周期；(4)不化为同名函数以及同一单调区间导致比较大小出错．1．函数y＝1－2cosx的单调递减区间为________．解析：函数y＝1－2cosx的单调递减区间为函数y＝cosx的递增区间．答案：[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)2．函数f(x)＝3sin(2x－π6)在区间[0，π2]上的值域为________．解析：当x∈[0，π2]时，2x－π6∈[－π6，5π6]，所以sin2x－π6∈[－12，1]，故3sin2x－π6∈[－32，3]，所以函数f(x)在区间[0，π2]上的值域是[－32，3]．答案：[－32，3]3．函数y＝tanx＋π4图象的对称中心是________．4解析：由x＋π4＝kπ2，得x＝kπ2－π4，k∈Z.答案：kπ2－π4，0(k∈Z)4．cos23°，sin68°，cos97°的大小关系是________．解析：sin68°＝cos22°，又y＝cosx在[0°，180°]上是减函数，所以sin68°cos23°cos97°.答案：sin68°cos23°cos97°三角函数的定义域和值域(1)函数f(x)＝sin2x＋3cosx－34x∈0，π2的最大值是________．(2)函数y＝lg(2sinx－1)＋1－2cosx的定义域是________．【解析】(1)依题意，f(x)＝sin2x＋3cosx－34＝－cos2x＋3cosx＋14＝－cosx－322＋1，因为x∈0，π2，所以cosx∈[0，1]，因此当cosx＝32时，f(x)max＝1.(2)要使函数y＝lg(2sinx－1)＋1－2cosx有意义，则2sinx－10，1－2cosx≥0，即sinx12，cosx≤12.解得2kπ＋π3≤x2kπ＋5π6，k∈Z.即函数的定义域为2kπ＋π3，2kπ＋5π6，k∈Z.【答案】(1)1(2)2kπ＋π3，2kπ＋5π6，k∈Z5(1)三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)三角函数值域的不同求法①利用sinx和cosx的值域直接求；②把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域；③(换元法)把sinx或cosx看作一个整体，转换成二次函数求值域；④(换元法)利用sinx±cosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值域．(2020·温州市十校联合体期初)已知函数f(x)＝2cosx·(sinx－cosx)，x∈R，则fπ4＝________，f(x)的最大值是________．解析：f(x)＝2cosx(sinx－cosx)＝2cosxsinx－2cos2x＝sin2x－1－cos2x＝2sin2x－π4－1.当x＝π4时，fπ4＝2sin2×π4－π4－1＝0.由正弦函数的图象和性质可得，sin2x－π4的最大值为1.所以f(x)的最大值为2－1.答案：02－1三角函数的单调性(高频考点)三角函数的单调性是每年高考命题的热点，题型既有选择题也有填空题，或在解答题某一问出现，难度为中档题．主要命题角度有：(1)求已知三角函数的单调区间；(2)已知三角函数的单调区间求参数；(3)利用三角函数的单调性比较大小；(4)利用三角函数的单调性求值域(或最值)．角度一求已知三角函数的单调区间已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－23sinxcosx(x∈R)．(1)求f2π3的值；6(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．【解】(1)由sin2π3＝32，cos2π3＝－12，f2π3＝322－－122－23×32×－12，得f2π3＝2.(2)由cos2x＝cos2x－sin2x与sin2x＝2sinxcosx得f(x)＝－cos2x－3sin2x＝－2sin2x＋π6.所以f(x)的最小正周期是π.由正弦函数的性质得π2＋2kπ≤2x＋π6≤3π2＋2kπ，k∈Z，解得π6＋kπ≤x≤2π3＋kπ，k∈Z，所以，f(x)的单调递增区间是π6＋kπ，2π3＋kπ(k∈Z)．角度二已知三角函数的单调区间求参数函数f(x)＝sin(x＋φ)在区间π3，2π3上单调递增，则常数φ的值可能是()A．0B.π2C．πD.3π2【解析】法一：结合选项，当φ分别取选项中的值时，A：f(x)＝sinx；B：f(x)＝cosx；C：f(x)＝－sinx；D：f(x)＝－cosx．验证得D选项正确．法二：π3，2π3⊆f(x)的递增区间，π3，2π3⊆－π2－φ＋2kπ，π2－φ＋2kπ，⇒－5π6＋2kπ≤φ≤－π6＋2kπ(k∈Z)，k＝0，选项中无值符合；k＝1，7π6≤φ≤11π6，φ＝3π2符合；k＝2，19π6≤φ≤23π6，选项中无值符合．可知φ的可取值逐渐增大，故只有D选项符合题意．【答案】D7角度三利用三角函数的单调性比较大小已知函数f(x)＝2sinx＋π3，设a＝fπ7，b＝fπ6，c＝fπ3，则a，b，c的大小关系是()A．acbB．cabC．bacD．bca【解析】a＝fπ7＝2sin10π21，b＝fπ6＝2sinπ2＝2，c＝fπ3＝2sin2π3＝2sinπ3，因为y＝sinx在0，π2上递增，所以cab.【答案】B(1)求三角函数单调区间的两种方法①代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用复合函数的单调性列不等式求解．②图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．[提醒]要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数．同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．(2)利用单调性确定ω的范围的方法对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷．(3)利用单调性比较大小的方法首先利用诱导公式把已知角转化为同一区间内的角且函数名称相同，再利用其单调性比较大小．1．(2020·浙江宁波质检)已知函数f(x)＝2sinωx在区间－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是()A.－∞，－92∪[6，＋∞)B.－∞，－92∪32，＋∞C．(－∞，－2]∪[6，＋∞)8D．(－∞，－2]∪32，＋∞解析：选D.当ω0时，由题意知－π3ω≤－π2，即ω≥32；当ω0时，由题意知π4ω≤－π2，所以ω≤－2.综上可知，ω的取值范围是(]－∞，－2∪32，＋∞.2．函数f(x)＝sin2x－π4在区间0，π2上的最小值为()A．－1B．－22C.22D．0解析：选B.由已知x∈0，π2，得2x－π4∈－π4，3π4，所以sin2x－π4∈－22，1，故函数f(x)＝sin(2x－π4)在区间0，π2上的最小值为－22.3．函数y＝sin－2x＋π3的单调减区间为________．解析：(同增异减法)y＝－sin2x－π3，它的减区间是y＝sin2x－π3的增区间．由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z.故其单调减区间为kπ－π12，kπ＋5π12，k∈Z.答案：kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)三角函数的奇偶性、周期性及对称性(1)设函数f(x)＝sin2x＋bsinx＋c，则f(x)的最小正周期()A．与b有关，且与c有关9B．与b有关，但与c无关C．与b无关，且与c无关D．与b无