2021版高考数学一轮复习 选修4-4 坐标系与参数方程 第1讲 坐标系教案 文 新人教A版

1第1讲坐标系一、知识梳理1．坐标系(1)伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：x′＝λ·x（λ0），y′＝μ·y（μ0）的作用下，点P(x，y)对应到点P′(λx，μy)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．(2)极坐标系在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．2．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yx（x≠0）.23．直线的极坐标方程若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0.(2)直线过点M(a，0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a．(3)直线过点Mb，π2且平行于极轴：ρsinθ＝b．4．圆的极坐标方程若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，则该圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r.(2)当圆心位于M(a，0)，半径为a：ρ＝2acosθ．(3)当圆心位于Ma，π2，半径为a：ρ＝2asinθ．常用结论1．明辨两个坐标伸缩变换关系式x′＝λx（λ0），y′＝μy（μ0），点(x，y)在原曲线上，点(x′，y′)在变换后的曲线上，因此点(x，y)的坐标满足原来的曲线方程，点(x′，y′)的坐标满足变换后的曲线方程．2．极坐标方程与直角坐标方程互化(1)公式代入：直角坐标方程化为极坐标方程公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入并化简．(2)整体代换：极坐标方程化为直角坐标方程，变形构造形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，进行整体代换．二、习题改编31．(选修4­4P15T2改编)在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是()A.1，π2B.1，－π2C．(1，0)D．(1，π)解析：选B.由ρ＝－2sinθ，得ρ2＝－2ρsinθ，化为直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，化成标准方程为x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为1，－π2.故选B.2．(选修4­4P15T2改编)圆心C的极坐标为2，π4，且圆C经过极点．求圆C的极坐标方程．解：圆心C的直角坐标为(2，2)，则设圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－2)2＝r2，依题意可知r2＝(0－2)2＋(0－2)2＝4，故圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4，化为极坐标方程为ρ2－22ρ(sinθ＋cosθ)＝0，即ρ＝22(sinθ＋cosθ)．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．()(2)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．()(3)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．()答案：(1)×(2)√(3)×二、易错纠偏常见误区(1)对极坐标几何意义不理解；(2)极坐标与直角坐标的互化致误．1．在极坐标系中，已知两点A3，π4，B2，π2，则|AB|＝．解析：设极点为O.在△OAB中，A3，π4，B2，π2，由余弦定理，得AB＝432＋（2）2－2×3×2×cosπ2－π4＝5.答案：52．确定极坐标方程ρ2cos2θ－2ρcosθ＝1表示的曲线．解：由极坐标方程ρ2cos2θ－2ρcosθ＝1，得ρ2(cos2θ－sin2θ)－2ρcosθ＝1.由互化公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2＋y2＝ρ2，得x2－y2－2x＝1，即(x－1)2－y2＝2.故此方程表示以(1，0)为中心，F1(－1，0)，F2(3，0)为焦点的等轴双曲线．平面直角坐标系中的伸缩变换(师生共研)(1)曲线C：x2＋y2＝1经过伸缩变换x′＝2x，y′＝y得到曲线C′，则曲线C′的方程为．(2)曲线C经过伸缩变换x′＝2x，y′＝3y后所得曲线的方程为x′2＋y′2＝1，则曲线C的方程为．【解析】(1)因为x′＝2x，y′＝y，所以x＝x′2，y＝y′，代入曲线C的方程得C′：x′24＋y′2＝1.(2)根据题意，曲线C经过伸缩变换x′＝2x，y′＝3y后所得曲线的方程为x′2＋y′2＝1，则(2x)2＋(3y)2＝1，即4x2＋9y2＝1，所以曲线C的方程为4x2＋9y2＝1.【答案】(1)x′24＋y′2＝1(2)4x2＋9y2＝151．平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：x′＝λx（λ0），y′＝μy（μ0）的作用下的变换方程的求法是将x＝x′λ，y＝y′μ代入y＝f(x)，整理得y′＝h(x′)即为所求．2．解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P(x，y)与变换后的点P′(x′，y′)的坐标关系，用方程思想求解．1．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：x′＝3x，2y′＝y，则点A13，－2经过变换后所得的点A′的坐标为．解析：设A′(x′，y′)，由伸缩变换φ：x′＝3x，2y′＝y，得到x′＝3x，y′＝12y.由于点A的坐标为13，－2，于是x′＝3×13＝1，y′＝12×(－2)＝－1，所以A′的坐标为(1，－1)．答案：(1，－1)2．将圆x2＋y2＝1变换为椭圆x29＋y24＝1的一个伸缩变换公式为φ：X＝ax（a0），Y＝by（b0），求a，b的值．解：由X＝ax，Y＝by得x＝1aX，y＝1bY，代入x2＋y2＝1中得X2a2＋Y2b2＝1，所以a2＝9，b2＝4，因为a0，b0，所以a＝3，b＝2.极坐标与直角坐标的互化(师生共研)(1)已知直线l的极坐标方程为2ρsinθ－π4＝2，点A的极坐标为A22，7π4，求点A到直线l的距离．6(2)把曲线C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0化为极坐标方程．【解】(1)由2ρsinθ－π4＝2，得2ρ22sinθ－22cosθ＝2，所以y－x＝1.由点A的极坐标为22，7π4得点A的直角坐标为(2，－2)，所以d＝|2＋2＋1|2＝522.即点A到直线l的距离为522.(2)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0，得ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0，所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.极坐标方程与直角坐标方程的互化(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入直角坐标方程并化简即可．(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧．1．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为2，π4，直线的极坐标方程为ρcosθ－π4＝a，且点A在直线上，求a的值及直线的直角坐标方程．解：因为点A(2，π4)在直线ρcosθ－π4＝a上，所以a＝2cosπ4－π4＝2，所以直线的方程可化为ρcosθ＋ρsinθ＝2，从而直线的直角坐标方程为x＋y－2＝0.2．在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：ρsinθ－π4＝22(ρ≥0，0≤θ2π)．(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标．7解：(1)圆O：ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，故圆O的直角坐标方程为x2＋y2－x－y＝0，直线l：ρsinθ－π4＝22，即ρsinθ－ρcosθ＝1，故直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0.(2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程，将两方程联立得x2＋y2－x－y＝0，x－y＋1＝0，解得x＝0，y＝1，即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0，1)，将(0，1)转化为极坐标为1，π2即为所求．求曲线的极坐标方程(师生共研)(2019·高考全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ00)在曲线C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A(4，0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当θ0＝π3时，求ρ0及l的极坐标方程；(2)当点M在C上运动且点P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．【解】(1)因为M(ρ0，θ0)在C上，当θ0＝π3时，ρ0＝4sinπ3＝23.由已知得|OP|＝|OA|cosπ3＝2.设Q(ρ，θ)为l上除点P外的任意一点．连接OQ，在Rt△OPQ中，ρcosθ－π3＝|OP|＝2.经检验，点P2，π3在曲线ρcosθ－π3＝2上．所以，l的极坐标方程为ρcosθ－π3＝2.(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cosθ＝4cosθ，即ρ＝4cosθ.因为P在线段OM上，且AP⊥OM，故θ的取值范围是π4，π2.所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cosθ，θ∈π4，π2.8求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点．(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式．(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．1．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O作圆C：ρ＝8cosθ的弦ON，交圆C于点N.求ON的中点M的轨迹的极坐标方程．解：设M(ρ，θ)，N(ρ1，θ1)．因为N点在圆ρ＝8cosθ上，所以ρ1＝8cosθ1.①因为M是ON的中点，所以ρ1＝2ρ，θ1＝θ，代入①式得2ρ＝8cosθ，故点M的轨迹的极坐标方程是ρ＝4cosθ.2．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcosθ－π3＝1(0≤θ＜2π)，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点．(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．解：(1)由ρcosθ－π3＝1得ρ12cosθ＋32sinθ＝1.从而曲线C的直角坐标方程为12x＋32y＝1，即x＋3y－2＝0.当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2，0)．当θ＝π2时，ρ＝233，所以N233，π2.9(2)由(1)知，M点的直角坐标为(2，0)，N点的直角坐标为0，233.所以P点的直角坐标为1，33，则P点的极坐标为233，π6.所以直线OP的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)．曲线极坐标方程的应用(师生共研)(2020·福州四校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝2＋cosα，y＝