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1第5讲古典概型1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件都是互斥的．(2)任何事件都可以表示成基本事件的和(除不可能事件)．2．古典概型(1)特点①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性．②每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性．(2)概率公式P(A)＝A包含的基本事件的个数基本事件的总数．[教材衍化]1．(必修3P127例3改编)一个盒子里装有标号为1，2，3，4的4张卡片，随机地抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是________．解析：抽取两张卡片的基本事件有：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6种，和为奇数的事件有：(1，2)，(1，4)，(2，3)，(3，4)，共4种．所以所求概率为46＝23.答案：232．(必修3P145A组T5改编)袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球．从中任取一球，则取到白球的概率为________．解析：从袋中任取一球，有15种取法，其中取到白球的取法有6种，则所求概率为P＝615＝25.答案：253．(必修3P134A组T6改编)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为________．解析：从5件产品中任取2件共有C25＝10(种)取法，恰有一件次品的取法有C12C13＝6(种)，2所以恰有一件次品的概率为610＝0.6.答案：0.6求古典概型的概率(高频考点)求古典概型的概率问题是高考考查的热点．主要命题角度有：(1)直接列举法；(2)图表、树型法；(3)逆向思维法；(4)对称性法．角度一直接列举法袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两个，求下列事件的概率．(1)取出的两球都是白球；(2)取出的两球一个是白球，另一个是红球．【解】设4个白球的编号为1，2，3，4，2个红球的编号为5，6，从袋中的6个小球中任取两个的所有可能结果如下：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共15个．(1)从袋中的6个球中任取两个，所取的两球全是白球的方法数，即是从4个白球中任取两个的方法数，共有6个，即为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)．所以取出的两个球全是白球的概率为P＝615＝25.(2)从袋中的6个球中任取两个，其中一个是红球，而另一个为白球，其取法包括(1，5)，(1，6)，(2，5)，(2，6)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，共8个．所以取出的两个球一个是白球，另一个是红球的概率为P＝815.角度二图表、树型法一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，则摸出2个黑球的概率为____________．【解析】如图所示，所有结果组成的集合U含有6个元素，故共有6种不同的结果．3U的子集A有3个元素，故摸出2个黑球有3种不同的结果．因此，摸出2个黑球的概率是P＝36＝12.【答案】12角度三逆向思维法同时抛掷两枚骰子，则至少有一个5点或6点的概率为____________．【解析】至少有一个5点或6点的对立事件是：没有5点或6点．因为没有5点或6点的结果共有16个，而抛掷两枚骰子的结果共有36个，所以没有5点或6点的概率为P＝1636＝49.至少有一个5点或6点的概率为1－49＝59.【答案】59角度四对称性法有A，B，C，D，E共5人站成一排，则A在B的右边(A，B可以不相邻)的概率为____________．【解析】由于A，B不相邻，A在B的右边和B在A的右边的总数是相等的，且A在B的右边的排法数与B在A的右边的排法数组成所有基本事件总数，所以A在B的右边的概率是12.【答案】12(1)(2)求较复杂事件的概率问题的方法①将所求事件转化成彼此互斥的事件的和事件，再利用互斥事件的概率加法公式求解．②先求其对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式求解．1．从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是()A.518B.49C.59D.794解析：选C.所求概率为P＝C12C15C14C19C18＝59.2．(2020·台州高三教学质量评估)袋子里装有编号分别为“1，2，2，3，4，5”的6个大小、质量相同的小球，某人从袋子中一次任取3个球，若每个球被取到的机会均等，则取出的3个球编号之和大于7的概率为()A.1720B.710C.58D.45解析：选B.由题设取三个球的所有可能有n＝C36＝6×5×43×2×1＝20，其中编号之和小于或等于7的所有可能有(1，2，2)，(1，2，3)，(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，4)，(2，2，3)，共6种，其概率P＝620＝310，所以3个球编号之和大于7的概率为P′＝1－310＝710.3．(2020·温州八校联考)依次从标号为1，2，3，4，5的五个黑球和标号为6，7，8，9的四个白球中随机地各取一个球，用数对(x，y)表示事件“抽到两个球标号分别为x，y”．(1)问共有多少个基本事件？并列举出来；(2)求所抽取的标号之和小于11但不小于9或标号之和大于12的概率．解：(1)共有20个基本事件，列举如下：(1，6)，(1，7)，(1，8)，(1，9)，(2，6)，(2，7)，(2，8)，(2，9)，(3，6)，(3，7)，(3，8)，(3，9)，(4，6)，(4，7)，(4，8)，(4，9)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(5，9)，共20个．(2)记事件“所抽取的标号之和小于11但不小于9”为事件A，由(1)可知事件A共含有7个基本事件，列举如下：(1，8)，(1，9)，(2，7)，(2，8)，(3，6)，(3，7)，(4，6)，共7个．“抽取的标号之和大于12”记作事件B，则事件B包含：(4，9)，(5，8)，(5，9)，共3个．故P(A)＋P(B)＝720＋320＝12，故抽取的标号之和小于11但不小于9或大于12的概率为12.古典概型与其他知识的交汇(高频考点)近几年高考对交汇型古典概型问题有所侧重．主要命题角度有：(1)与平面向量的交汇；(2)与函数(方程)的交汇；(3)与解析几何的交汇．角度一与平面向量的交汇从集合{2，3，4，5}中随机抽取一个数a，从集合{1，3，5}中随机抽取一个数b，5则向量m＝(a，b)与向量n＝(1，－1)垂直的概率为()A.16B.13C.14D.12【解析】由题意可知m＝(a，b)有：(2，1)，(2，3)，(2，5)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(4，1)，(4，3)，(4，5)，(5，1)，(5，3)，(5，5)，共12种情况．因为m⊥n，即m·n＝0，所以a×1＋b×(－1)＝0，即a＝b，满足条件的有(3，3)，(5，5)，共2个，故所求的概率为16.【答案】A角度二与函数(方程)的交汇已知|p|≤3，|q|≤3，当p，q∈Z，则方程x2＋2px－q2＋1＝0有两个相异实数根的概率是________．【解析】由方程x2＋2px－q2＋1＝0有两个相异实数根，可得Δ＝(2p)2－4(－q2＋1)0，即p2＋q21.当p，q∈Z时，设点M(p，q)，如图，直线p＝－3，－2，－1，0，1，2，3和直线q＝－3，－2，－1，0，1，2，3的交点，即为点M，共有49个，其中在圆上和圆内的点共有5个(图中黑点)．当点M(p，q)落在圆p2＋q2＝1外时，方程x2＋2px－q2＋1＝0有两个相异实数根，所以方程x2＋2px－q2＋1＝0有两个相异实数根的概率P＝49－549＝4449.【答案】4449角度三与解析几何的交汇甲、乙两颗质地均匀且形状为正方体的骰子，它的六个面上的点数依次为1，2，3，4，5，6，现将甲、乙两颗骰子先后各抛一次，a，b分别表示掷甲、乙两颗骰子所出现的向上的点数．6(1)若“点M(a，b)落在直线x＋y＝6上的事件”记为A，求事件A的概率；(2)若“点M(a，b)落在圆x2＋y2＝25内部的事件”记为B，求事件B的概率．【解】(1)先后抛掷甲、乙两颗骰子所得的点M(a，b)共有36个，其中落在直线x＋y＝6上的点有(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，共5个点，所以P(A)＝536.(2)同(1)，落在圆x2＋y2＝25的内部的点共有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，共13个点，所以P(B)＝1336.求解古典概型与其他知识交汇问题的思路解决古典概型与其他知识交汇问题，其关键是将平面向量、直线与圆、函数的单调性及方程的根的情况转化为概率模型，再按照求古典概型的步骤求解．设a∈{2，4}，b∈{1，3}，函数f(x)＝12ax2＋bx＋1.(1)求f(x)在区间(－∞，－1]上是减函数的概率；(2)从f(x)中随机抽取两个，求它们在(1，f(1))处的切线互相平行的概率．解：(1)由题意－b2×12a≥－1，即b≤a.而(a，b)共有C12·C12＝4种，满足b≤a的有3种，故概率为34.(2)由(1)可知，函数f(x)共有4种可能，从中随机抽取两个，有6种抽法．因为函数f(x)在(1，f(1))处的切线的斜率为f′(1)＝a＋b，所以这两个函数中的a与b之和应该相等，而只有(2，3)，(4，1)这1组满足，故概率为16.古典概型概率的应用将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使两条不重合直线l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2平行的概率为P1，相交的概率为P2，若点(P1，P2)在圆(x－m)2＋y2＝137144的内部，则实数m的取值范围是()A.－518，＋∞B.－∞，7187C.－718，518D.－518，718【解析】对于a与b各有6种情形，故总数为36种．两条直线l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2平行的情形有a＝2，b＝4或a＝3，b＝6，故概率为P1＝236＝118，两条直线l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2相交的情形除平行与重合(a＝1，b＝2)即可，所以P2＝3336＝1112，因为点(P1，P2)在圆(x－m)2＋y2＝137144的内部，所以118－m2＋11122＜137144，解得－518＜m＜718，故选D.【答案】D概率问题主要体现必然与或然思想，在生活、生产中有着广泛的应用．在高考中常以生产、生活中的决策与判断、求参数的范围等问题呈现，多具有开放性特点．甲、乙两人各拿出200元，用作掷硬币游戏的奖金，两人商定：一局中掷出正面向上则甲胜，否则乙胜，谁先胜三局就得所有奖金．比赛开始后，甲胜了两局，乙胜了一局，这时因为意外事件中断游戏，请问怎样分配这400元才合理？解：为了决出胜负，最多再赛两局，用“甲”表示甲胜，用“乙”表示乙胜，于是这两局有四种可能：(甲，甲)，(甲，乙)，(乙，甲)，(乙，乙)．其中甲获胜有3种情况，而乙获胜只有1种情况，所以甲获胜的概率是34，乙获胜的概率是14.因此，合理的分法为甲得300元，乙得100元．[基础题组练]1．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()A.110B.158C.310D.25解析：选D.依题意，记两次取得卡片上的数字依次为a，b，则一共有25个不同的数组(a，b)，其中满足ab的数组共有10个，分别为(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，因此所求的概率为1025＝25，选D.2．高三毕业时，甲、乙、丙等五位同