2021版高考数学一轮复习 选修4-5 不等式选讲 第1讲 绝对值不等式教案 文 新人教A版

1第1讲绝对值不等式一、知识梳理1．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a与|x|a的解集不等式a0a＝0a0|x|a{x|－axa}∅∅|x|a{x|xa或x－a}{x|x∈R且x≠0}R(2)|ax＋b|≤c(c0)和|ax＋b|≥c(c0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c．常用结论1．|a＋b|与|a|－|b|，|a－b|与|a|－|b|，|a|＋|b|之间的关系：(1)|a＋b|≥|a|－|b|，当且仅当ab≤0且|a|≥|b|时，等号成立．(2)|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时，左边等号成立，当且仅当ab≤0时，右边等号成立．2．解绝对值不等式的两个要点(1)解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号．(2)解含绝对值的不等式的基本思路可概括为十二字口诀“找零点，分区间，逐个解，2并起来”．二、教材衍化1．求不等式3≤|5－2x|9的解集．解：由题意得|2x－5|9，|2x－5|≥3，即－92x－59，2x－5≥3或2x－5≤－3，解得－2x7，x≥4或x≤1，不等式的解集为(－2，1]∪[4，7)．2．求不等式|x＋1|＋|x－2|≤5的解集．解：不等式|x＋1|＋|x－2|≤5，等价于x－1，－x－1－x＋2≤5或－1≤x≤2，x＋1－x＋2≤5或x2，x＋1＋x－2≤5，解得－2≤x≤3，所以原不等式的解集为{x|－2≤x≤3}．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若|x|c的解集为R，则c≤0.()(2)不等式|x－1|＋|x＋2|2的解集为∅.()(3)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．()答案：(1)×(2)√(3)√二、易错纠偏常见误区(1)解集中等号是否成立不注意；(2)含参数的绝对值不等式讨论不清．1．不等式|x－4|＋|x－1|－3≤2的解集．解：不等式等价于x≤1，2－2x≤2或1x4，0≤2或x≥4，2x－8≤2，解得0≤x≤5，故不等式|x－4|＋|x－1|－3≤2的解集为[0，5]．2．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，求实数k的值．解：因为|kx－4|≤2，所以－2≤kx－4≤2，所以2≤kx≤6.因为不等式的解集为{x|1≤x≤3}，所以k＝2.3含绝对值不等式的解法(师生共研)(2020·安徽安庆质量检测)已知函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a∈R.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋|2x＋1|的解集；(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．【解】(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|＋3x，由f(x)≥3x＋|2x＋1|，得|x－1|－|2x＋1|≥0，当x1时，x－1－(2x＋1)≥0，得x≤－2，无解；当－12≤x≤1时，1－x－(2x＋1)≥0，得－12≤x≤0；当x－12时，1－x－(－2x－1)≥0，得－2≤x－12.所以不等式的解集为{x|－2≤x≤0}．(2)由|x－a|＋3x≤0，可得x≥a，4x－a≤0或xa，2x＋a≤0，即x≥a，x≤a4或xa，x≤－a2.当a0时，不等式的解集为{x|x≤－a2}．由－a2＝－1，得a＝2.当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤0}，不合题意．当a0时，不等式的解集为xx≤a4.由a4＝－1，得a＝－4.综上，a＝2或a＝－4.含绝对值不等式解法的常用方法4设函数f(x)＝|x＋4|.求不等式f(x)1－12x的解集．解：f(x)＝|x＋4|＝x＋4，x－4，0，x＝－4，－4－x，x－4，所以不等式f(x)1－12x等价于x＋41－12x（x－4），01－12x（x＝－4），－4－x1－12x（x－4），解得x－2或x－10，故不等式f(x)1－12x的解集为{x|x－2或x－10}．绝对值不等式性质的应用(师生共研)(2020·昆明市质量检测)已知函数f(x)＝|2x－1|.(1)解不等式f(x)＋f(x＋1)≥4；(2)当x≠0，x∈R时，证明：f(－x)＋f(1x)≥4.【解】(1)不等式f(x)＋f(x＋1)≥4等价于|2x－1|＋|2x＋1|≥4，等价于x－12，－4x≥4或－12≤x≤12，2≥4或x12，4x≥4，解得x≤－1或x≥1，所以原不等式的解集是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．(2)当x≠0，x∈R时，f(－x)＋f(1x)＝|－2x－1|＋|2x－1|，因为|－2x－1|＋|2x－51|≥|2x＋2x|＝2|x|＋2|x|≥4，当且仅当（2x＋1）（2x－1）≥02|x|＝2|x|，即x＝±1时等号成立，所以f(－x)＋f(1x)≥4.两数和与差的绝对值不等式的性质(1)对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．(2)该定理可强化为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式．(2020·陕西省五校联考)已知函数f(x)＝|2x－1|，x∈R.(1)解不等式f(x)|x|＋1；(2)若对x，y∈R，有|x－y－1|≤13，|2y＋1|≤16，求证：f(x)1.解：(1)因为f(x)|x|＋1，所以|2x－1||x|＋1，即x≥12，2x－1x＋1，或0x12，1－2xx＋1，或x≤0，1－2x－x＋1，得12≤x2或0x12或无解．故不等式f(x)|x|＋1的解集为{x|0x2}．(2)证明：f(x)＝|2x－1|＝|2(x－y－1)＋(2y＋1)|≤|2(x－y－1)|＋|2y＋1|＝2|x－y－1|＋|2y＋1|≤2×13＋16＝561.绝对值不等式的综合应用(师生共研)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)＞1的解集；(2)若x∈(0，1)时不等式f(x)＞x成立，求a的取值范围．【解】(1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，即f(x)＝－2，x≤－1，2x，－1x1，2，x≥1.故不等式6f(x)1的解集为{x|x12}．(2)当x∈(0，1)时|x＋1|－|ax－1|x成立等价于当x∈(0，1)时|ax－1|1成立．若a≤0，则当x∈(0，1)时|ax－1|≥1；若a0，|ax－1|1的解集为0x2a，所以2a≥1，故0a≤2.综上，a的取值范围为(0，2]．(1)研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后数形结合解决，这是常用的思维方法．(2)对于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x－a|－|x－b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如y＝|x－a|＋|x－b|的函数只有最小值，形如y＝|x－a|－|x－b|的函数既有最大值又有最小值．(2020·安徽五校联盟第二次质检)已知f(x)＝|x|＋2|x－1|.(1)解不等式f(x)≥4；(2)若不等式f(x)≤|2a＋1|有解，求实数a的取值范围．解：(1)不等式f(x)≥4，即|x|＋2|x－1|≥4，等价于x0，2－3x≥4或0≤x≤1，2－x≥4或x1，3x－2≥4⇒x≤－23或无解或x≥2.故不等式的解集为(－∞，－23]∪[2，＋∞)．(2)f(x)≤|2a＋1|有解等价于f(x)min≤|2a＋1|.f(x)＝|x|＋2|x－1|＝2－3x（x0）2－x（0≤x≤1），3x－2（x1）故f(x)的最小值为1，所以1≤|2a＋1|，得2a＋1≤－1或2a＋1≥1，解得a≤－1或a≥0，故实数a的取值范围为(－∞，－1]∪[0，＋∞)．[基础题组练]1．已知函数f(x)＝|x－2|－|x－5|.7(1)证明：－3≤f(x)≤3；(2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集．解：(1)证明：f(x)＝|x－2|－|x－5|＝－3，x≤2，2x－7，2x5，3，x≥5.当2x5时，－32x－73，所以－3≤f(x)≤3.(2)由(1)可知，当x≤2时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为空集；当2x5时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5－3≤x5}；当x≥5时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5≤x≤6}．综上，不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5－3≤x≤6}．2．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知f(x)＝|x－a|x＋|x－2|·(x－a)．(1)当a＝1时，求不等式f(x)＜0的解集；(2)若x∈(－∞，1)时，f(x)＜0，求a的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|x＋|x－2|(x－1)．当x1时，f(x)＝－2(x－1)20；当x≥1时，f(x)≥0.所以，不等式f(x)0的解集为(－∞，1)．(2)因为f(a)＝0，所以a≥1.当a≥1，x∈(－∞，1)时，f(x)＝(a－x)x＋(2－x)(x－a)＝2(a－x)(x－1)0.所以，a的取值范围是[1，＋∞)．3．(2020·陕西宝鸡中学二模)设函数f(x)＝x2－x－1.(1)解不等式：|f(x)|1；(2)若|x－a|1，求证：|f(x)－f(a)|2(|a|＋1)．解：(1)由|f(x)|1得－1f(x)1，即－1x2－x－11，所以x2－x0，x2－x－20，解得－1x0或1x2，8所以原不等式的解集为(－1，0)∪(1，2)．(2)证明：因为|x－a|1，所以|f(x)－f(a)|＝|x2－a2＋a－x|＝|(x－a)(x＋a－1)|＝|x－a||x＋a－1||x＋a－1|＝|(x－a)＋2a－1|≤|x－a|＋|2a|＋1|2a|＋2＝2(|a|＋1)．4．(2020·新疆第一次毕业诊断及模拟测试)已知函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|.(1)若f(x)a成立有解，求a的取值范围；(2)解不等式f(x)x2－2x.解：(1)f(x)＝|x－2|－|x＋1|＝3，x≤－1，－2x＋1，－1x2，－3，x≥2，故f(x)∈[－3，3]，所以若使f(x)a成立有解，应有af(x)max，即a3，所以a的取值范围是(－∞，3)．(2)当x≤－1时，x2－2x3，所以x－1；当－1x2时，x2－2x－2x＋1.所以1x2；当x≥2时，x2－2x－3，故x≥2.综上所述，不等式的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．5．(2020·陕西汉中重点中学3月联考)已知函数f(x)＝|4x－1|－|x＋2|.(1)解不等式f(x)8；(2)若关于x的不等式f(x)＋5|x＋2|a2－8a的解集不是空集，求a的取值范围．解：(1)f(x)＝－3x＋3，x≤－2，－5x－1，－2x14，3x－3，x≥14，当x≤－2时，由－3x＋38，得x－53，无解；当－2x14时，由－5x－18，得x－95，9即－95x14；当x≥14时，由3x－38，得x113，即14≤x113.所以不等式的解集为x－95x113.(2)f(x)＋5|x＋2|