（浙江专用）2021版新高考数学一轮复习 第六章 数列与数学归纳法 3 第3讲 等比数列及其前n项和

1第3讲等比数列及其前n项和1．等比数列的有关概念(1)定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为an＋1an＝q(q≠0，n∈N*)．(2)等比中项如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔G2＝ab．“a，G，b成等比数列”是“G是a与b的等比中项”的充分不必要条件．2．等比数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1qn－1．(2)前n项和公式：Sn＝na1，q＝1，a1（1－qn）1－q＝a1－anq1－q，q≠1.3．等比数列的性质已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和(m，n，p，q，r，k∈N*)(1)若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝ap·aq＝a2r；(2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列；(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)．4．等比数列的单调性当q1，a10或0q1，a10时，{an}是递增数列；当q1，a10或0q1，a10时，{an}是递减数列；当q＝1时，{an}是常数列．5．等比数列与指数函数的关系当q≠1时，an＝a1q·qn，可以看成函数y＝cqx，是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{an}各项所对应的点都在函数y＝cqx的图象上．[疑误辨析]2判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列．()(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.()(3)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．()(4)如果{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．()(5)等比数列中不存在数值为0的项．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√[教材衍化]1．(必修5P54A组T8改编)在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．解析：设该数列的公比为q，由题意知，192＝3×q3，q3＝64，所以q＝4.所以插入的两个数分别为3×4＝12，12×4＝48.答案：12，482．(必修5P51例3改编)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则公比q＝________．解析：由题意知q3＝a5a2＝18，所以q＝12.答案：123．(必修5P61A组T1改编)等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若S10S5＝3132，则{an}的通项公式an＝________．解析：因为S10S5＝3132，所以S10－S5S5＝－132，因为S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，所以q5＝－132，q＝－12，则an＝－1×－12n－1＝－－12n－1.答案：－－12n－1[易错纠偏](1)忽视项的符号判断；(2)忽视公比q＝1的特殊情况；(3)忽视等比数列的项不为0.1．在等比数列{an}中，a3＝4，a7＝16，则a3与a7的等比中项为________．3解析：设a3与a7的等比中项为G，因为a3＝4，a7＝16，所以G2＝4×16＝64，所以G＝±8.答案：±82．数列{an}的通项公式是an＝an(a≠0)，则其前n项和Sn＝________．解析：因为a≠0，an＝an，所以{an}是以a为首项，a为公比的等比数列．当a＝1时，Sn＝n；当a≠1时Sn＝a（1－an）1－a.答案：n，a＝1，a（1－an）1－a，a≠0，a≠13．已知x，2x＋2，3x＋3是一个等比数列的前三项，则x的值为________．解析：因为x，2x＋2，3x＋3是一个等比数列的前三项，所以(2x＋2)2＝x(3x＋3)，即x2＋5x＋4＝0，解得x＝－1或x＝－4.当x＝－1时，数列的前三项为－1，0，0，不是等比数列，舍去．答案：－4等比数列的基本运算(高频考点)等比数列的基本运算是高考的常考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度为中、低档题．主要命题角度有：(1)求首项a1、公比q或项数n；(2)求通项或特定项；(3)求前n项和．角度一求首项a1、公比q或项数n(1)已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1等于()A.13B．－13C.19D．－19(2)设数列{an}是等比数列，前n项和为Sn，若S3＝3a3，则公比q＝________．【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q，4由S3＝a2＋10a1，得a1＋a2＋a3＝a2＋10a1，即a3＝9a1，q2＝9，又a5＝a1q4＝9，所以a1＝19.(2)当q≠1时，a1（1－q3）1－q＝3a1q2，解得q＝1(舍去)或－12.当q＝1时，S3＝a1＋a2＋a3＝3a3也成立．【答案】(1)C(2)1或－12角度二求通项或特定项已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a2n－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，则an＝________．【解析】由a2n－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．因为{an}的各项都为正数，所以an＋1an＝12.故{an}是首项为1，公比为12的等比数列，因此an＝12n－1.【答案】12n－1角度三求前n项和(2020·温州模拟)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于________．【解析】设等比数列的公比为q，则有a1＋a1q3＝9，a21·q3＝8，解得a1＝1，q＝2或a1＝8，q＝12.又{an}为递增数列，所以a1＝1，q＝2，所以Sn＝1－2n1－2＝2n－1.【答案】2n－1解决等比数列有关问题的三种常见思想方法(1)方程思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解．(2)分类讨论思想：因为等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，所以当某一参数为公比进行求和时，就要对参数是否为1进行分类讨论．5(3)整体思想：应用等比数列前n项和公式时，常把qn或a11－q当成整体进行求解．1．设等比数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，若a1＝1，a3＝4，Sk＝63，则k＝()A．4B．5C．6D．7解析：选C.设等比数列{an}的公比为q，由已知a1＝1，a3＝4，得q2＝a3a1＝4.又{an}的各项均为正数，所以q＝2.而Sk＝1－2k1－2＝63，所以2k－1＝63，解得k＝6.2．(2020·绍兴市柯桥区高三期中考试)已知正数数列{an}的前n项和Sn满足：Sn和2的等比中项等于an和2的等差中项，则a1＝________，Sn＝________．解析：由题意知an＋22＝2Sn，平方可得Sn＝（an＋2）28，①由a1＝S1得a1＋22＝2a1，从而可解得a1＝2.又由①式得Sn－1＝（an－1＋2）28(n≥2)，②①－②可得an＝Sn－Sn－1＝（an＋2）28－（an－1＋2）28(n≥2)，整理得(an＋an－1)(an－an－1－4)＝0，因为数列{an}的各项都是正数，所以an－an－1－4＝0，即an－an－1＝4.故数列{an}是以2为首项4为公差的等差数列，所以Sn＝2n＋n（n－1）2×4＝2n2.当n＝1时，S1＝a1＝2.故Sn＝2n2.答案：22n2等比数列的判定与证明(1)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝12，a3a5＝4，则下列说法正确的6是()A．{an}是单调递减数列B．{Sn}是单调递减数列C．{a2n}是单调递减数列D．{S2n}是单调递减数列(2)设数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*.已知a1＝1，a2＝32，a3＝54，且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1.①求a4的值；②证明：an＋1－12an为等比数列．【解】(1)选C.由于{an}是等比数列，则a3a5＝a24＝4，又a2＝12，则a4＞0，a4＝2，q2＝16，当q＝－66时，{an}和{Sn}不具有单调性，选项A和B错误；a2n＝a2q2n－2＝12×16n－1单调递减，选项C正确；当q＝－66时，{S2n}不具有单调性，选项D错误．(2)①当n＝2时，4S4＋5S2＝8S3＋S1，即4(1＋32＋54＋a4)＋51＋32＝81＋32＋54＋1，解得a4＝78.②证明：由4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)，得4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)，即4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)．因为4a3＋a1＝4×54＋1＝6＝4a2，所以4an＋2＋an＝4an＋1，所以an＋2－12an＋1an＋1－12an＝4an＋2－2an＋14an＋1－2an＝4an＋1－an－2an＋14an＋1－2an＝2an＋1－an2（2an＋1－an）＝12，所以数列an＋1－12an是以a2－12a1＝1为首项，12为公比的等比数列．(变问法)在本例(2)条件下，求数列{an}的通项公式．解：由本例(2)的②知，an＋1－12an＝12n－1，7即an＋112n＋1－an12n＝4.所以数列an12n是以a112＝2为首项，4为公差的等差数列，所以an12n＝2＋4(n－1)＝4n－2，即an＝(2n－1)·12n－1，所以数列{an}的通项公式为an＝(2n－1)·12n－1.等比数列的判定方法(1)定义法：若an＋1an＝q(q为非零常数)或anan－1＝q(q为非零常数且n≥2)，则{an}是等比数列．(2)中项公式法：若数列{an}中an≠0且a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．(3)通项公式法：若数列的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0，1)，则{an}是等比数列．[提醒](1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．(2020·瑞安市龙翔中学高三月考)各项为正的数列{an}满足a1＝12，an＋1＝a2nλ＋an(n∈N*)．(1)取λ＝an＋1，求证：数列an＋1an是等比数列，并求其公比；(2)取λ＝2时令bn＝1an＋2，记数列{bn}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项之积为Tn，求证：对任意正整数n，2n＋1Tn＋Sn为定值．解：(1)由λ＝an＋1，得an＋1＝a2nan＋1＋an，所以a2n＋1－an＋1an－a2n＝0.8两边同除a2n可得：an＋1an2－an＋1an－1＝0，解得an＋1an＝1±52.因为an0，所以an＋1an＝1＋52为常数，故数列an＋1an是等比数列，公比为1＋52.(2)证明：当λ＝2时，an＋1＝a2n2＋an，得2an＋1＝an(an＋2)，所以bn＝1an＋2＝12·anan＋1.所以Tn＝b1·b2…bn＝12·a1a212·a2a3…12·anan＋1＝12na1an＋1＝12n＋11an＋1，又bn＝12·anan＋1＝a2n