2021版高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

1第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、知识梳理1．简单的逻辑联结词(1)常用的简单的逻辑联结词有“或”“且”“非”．(2)命题p∧q、p∨q、﹁p的真假判断pqp∧qp∨q﹁p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称命题和特称命题(1)全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等∀存在量词存在一个、至少有一个、有些、某些等∃(2)全称命题和特称命题名称形式全称命题特称命题结构对M中任意一个x，有p(x)成立存在M中的一个x0，使p(x0)成立简记∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)否定∃x0∈M，﹁p(x0)∀x∈M，﹁p(x)常用结论1．含逻辑联结词命题真假的判断(1)p∧q中一假则假，全真才真．(2)p∨q中一真则真，全假才假．(3)p与﹁p真假性相反．22．全称命题与特称命题的否定(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．二、习题改编1．(选修1­1P26A组T3改编)命题“∀x∈R，x2＋x≥0”的否定是()A．∃x0∈R，x20＋x0≤0B．∃x0∈R，x20＋x00C．∀x∈R，x2＋x≤0D．∀x∈R，x2＋x0解析：选B.由全称命题的否定是特称命题知命题B正确．故选B.2．(选修1­1P18A组T1(3)改编)已知命题p：2是偶数，命题q：2是质数，则命题﹁p，﹁q，p∨q，p∧q中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：选B.p和q显然都是真命题，所以﹁p，﹁q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．故选B.一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题p∧q为假命题，则命题p、q都是假命题．()(2)命题p和﹁p不可能都是真命题．()(3)若命题p、q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．()(4)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．()(5)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，﹁p(x)的真假性相反．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)√(5)√二、易错纠偏常见误区(1)全称命题或特称命题的否定出错；(2)复合命题的否定中出现逻辑联结词错误．1．命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是．答案：存在两个全等三角形的面积不相等2．已知命题“若ab＝0，则a＝0或b＝0”，则其否命题为．解析：“a＝0或b＝0”的否定为“a≠0且b≠0”．答案：若ab≠0，则a≠0且b≠03全称命题、特称命题(多维探究)角度一全称命题、特称命题的真假若定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题中一定为真命题的是()A．∀x∈R，f(－x)≠f(x)B．∀x∈R，f(－x)＝－f(x)C．∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0)D．∃x0∈R，f(－x0)＝－f(x0)【解析】由题意知∀x∈R，f(－x)＝f(x)是假命题，则其否定为真命题，即∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0)是真命题，∃x0∈R，f(－x0)＝－f(x0)是假命题．【答案】C全称命题与特称命题的真假判断方法(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判断全称命题是假命题，只要能找出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．(2)要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则，这一特称命题就是假命题．角度二全称命题、特称命题的否定已知命题p：∃m∈R，f(x)＝2x－mx是增函数，则﹁p为()A．∃m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数B．∀m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数C．∃m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数D．∀m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数【解析】由特称命题的否定可得﹁p为“∀m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数”．【答案】D全称命题与特称命题的否定确定原命题所含量词的类型，省去量词的要先结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写，改写完以后再对原命题的结论进行否定．角度三与全(特)称命题有关的参数问题(2020·宁夏石嘴山期中)若命题“∃t∈R，t2－2t－a0”是假命题，则实数a的取值范围是．【解析】因为命题“∃t∈R，t2－2t－a0”为假命题，所以命题“∀t∈R，t2－2t4－a≥0”为真命题，所以Δ＝(－2)2－4×1×(－a)＝4a＋4≤0，即a≤－1.【答案】(－∞，－1]将命题的真假转化为不等式恒成立或不等式有解、方程有解或无解、函数最值等问题，从而根据函数性质、不等式等内容解决．1．(2020·甘肃静宁一中三模)下列命题正确的是()A．∃x0∈R，x20＋2x0＋3＝0B．x1是x21的充分不必要条件C．∀x∈N，x3x2D．若ab，则a2b2解析：选B.对于x2＋2x＋3＝0，Δ＝－80，故方程无实根，即∃x0∈R，x20＋2x0＋3＝0错误，即A错误；x21⇔x－1或x1，故x1是x21的充分不必要条件，故B正确；当x≤1时，x3≤x2，故∀x∈N，x3x2错误，即C错误；若a＝1，b＝－1，则ab，但a2＝b2，故D错误．故选B.2．(2020·河南商丘模拟)已知f(x)＝sinx－x，命题p：∃x∈0，π2，f(x)0，则()A．p是假命题，﹁p：∀x∈0，π2，f(x)≥0B．p是假命题，﹁p：∃x∈0，π2，f(x)≥0C．p是真命题，﹁p：∀x∈0，π2，f(x)≥0D．p是真命题，﹁p：∃x∈0，π2，f(x)≥0解析：选C.易知f′(x)＝cosx－10，所以f(x)在0，π2上是减函数，因为f(0)＝0，所以f(x)0，所以命题p：∃x∈0，π2，f(x)0是真命题，﹁p：∀x∈0，π2，f(x)≥0，故选C.含有逻辑联结词的命题的真假判断(师生共研)(2020·河北衡水中学3月大联考)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|x；命题q：“m≤1”是“函数f(x)＝x2－(m＋1)x－m2在区间(1，＋∞)内单调递增”的充分不必要条件，则下列命题中是真命题的为()5A．p∧qB．(﹁p)∧qC．(﹁p)∨qD．p∧(﹁q)【解析】因为|x＋1|x，对x∈R成立，故p为真命题；因为函数f(x)＝x2－(m＋1)·x－m2在区间(1，＋∞)内单调递增，所以m＋12≤1，即m≤1，故应为充要条件，故q为假命题，所以p∧q，(﹁p)∧q，(﹁p)∨q均为假命题，p∧(﹁q)为真命题，故选D.【答案】D(1)“p∨q”“p∧q”“﹁p”等形式命题真假的判断步骤①确定命题的构成形式；②判断其中命题p，q的真假；③确定“p∨q”“p∧q”“﹁p”等形式命题的真假．(2)含逻辑联结词命题真假的等价关系①p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(﹁p)∧(﹁q)假；②p∨q假⇔p，q均假⇔(﹁p)∧(﹁q)真；③p∧q真⇔p，q均真⇔(﹁p)∨(﹁q)假；④p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(﹁p)∨(﹁q)真；⑤﹁p真⇔p假；﹁p假⇔p真．1．(2020·宁夏石嘴山三中一模)已知命题p：∃x∈R，sinx1，命题q：∀x∈(0，1)，lnx0，则下列命题中为真命题的是()A．p∧qB．p∧(﹁q)C．p∨(﹁q)D．(﹁p)∧q解析：选D.因为－1≤sinx≤1，故命题p是假命题，易知命题q是真命题，故p∧q为假，p∧(﹁q)为假，p∨(﹁q)为假，(﹁p)∧q为真，故选D.2．已知命题p：“若x2－x0，则x1”；命题q：“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则xy＝0”．下列命题是真命题的是()A．p∨(﹁q)B．p∨qC．p∧qD．(﹁p)∧(﹁q)解析：选B.若x2－x0，则x1或x0，故p是假命题；若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x＝0，y＝0，xy＝0，故q是真命题．则p∨q是真命题，故选B.由命题的真假确定参数的取值范围(典例迁移)已知p：存在x0∈R，mx20＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋10，若p或q为假命6题，求实数m的取值范围．【解】依题意知p，q均为假命题，当p是假命题时，mx2＋10恒成立，则有m≥0；当q是真命题时，则有Δ＝m2－40，即－2m2.因此由p，q均为假命题得m≥0，m≤－2或m≥2，即m≥2.所以实数m的取值范围为[2，＋∞)．【迁移探究1】(变结论)本例条件不变，若p且q为真，则实数m的取值范围为．解析：依题意知p，q均为真命题，当p是真命题时，有m0；当q是真命题时，有－2m2，由m0，－2m2，可得－2m0.答案：(－2，0)【迁移探究2】(变结论)本例条件不变，若p且q为假，p或q为真，则实数m的取值范围为．解析：若p且q为假，p或q为真，则p，q一真一假．当p真q假时m0，m≥2或m≤－2，所以m≤－2；当p假q真时m≥0，－2m2，所以0≤m2.所以实数m的取值范围是(－∞，－2]∪[0，2)．答案：(－∞，－2]∪[0，2)【迁移探究3】(变条件)本例中的条件q变为：存在x0∈R，x20＋mx0＋10，其他不变，则实数m的取值范围为．解析：依题意，当q是真命题时，Δ＝m2－40，所以m2或m－2.由题意知，p，q均为假命题，所以m≥0，－2≤m≤2，得0≤m≤2，所以实数m的取值范围是[0，2]．答案：[0，2]根据命题真假求参数的步骤(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)．(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围．(3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．7[注意]要注意分类讨论思想的应用，如本例的迁移探究(2)，由于p和q一真一假，因此需分p真q假与p假q真两种情况讨论求解．(2020·河南师范大学附属中学开学考)已知命题p：“∀x∈[0，1]，a≥ex”，命题q：“∃x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是()A．(4，＋∞)B．[1，4]C．(－∞，1]D．[e，4]解析：选D.命题p等价于lna≥x对x∈[0，1]恒成立，所以lna≥1，解得a≥e；命题q等价于关于x的方程x2＋4x＋a＝0有实根，则Δ＝16－4a≥0，所以a≤4.因为命题“p∧q”是真命题，所以命题p真，命题q真，所以实数a的取值范围是[e，4]，故选D.[基础题组练]1．已知命题p：∃x01，x20－10，那么﹁p是()A．∀x1，x2－10B．∀x1，x2－1≤0C．∃x01，x20－1≤0D．∃x0≤1，x20－1≤0解析：选B.特称命题的否定为全称命题，所以﹁p：∀x1，x2－1≤0.2．已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是()A．命题p是假命题B．命题p是特称命题C．命题p是全称命题D．命题p既不是全称命题也不是特称命题解析：选C.本题考查命题真假的判断以及全称命题、特称命题的判断．命题p：实数的平方是非负数，是真命题，命题p是全称命题，故选C.3．(2020·吉林第三次调研测试)已知命题p，q，则“﹁p为假命题”是“p∨q为真命题”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.若﹁p为假命题，则p为真命题，则p∨q为真命题；若p∨q为真命题，则p，q中至少有一个为真命题，但p不一定为真命题，故无法判定﹁p为假命题．即“﹁p为假命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件．故选A.4．(2020·辽宁五校协作体联考)已知命题“∃x∈R，4x2＋(a－2)x＋14≤0”是假命题，8则实数a的取值范围为()A．(－∞，0)B．[0，4]C．[4，＋∞)D．(0，4)解析：选D.因为命题“∃x∈R，4x2＋(a－2)x＋14≤0”是假命题，所以其否定“∀x∈R，4x2＋(a