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-1-1.2.2分层抽样与系统抽样[航向标·学习目标]1．理解并掌握分层抽样与系统抽样的概念及一般步骤．2．理解三种抽样方法的使用条件及相互间的区别与联系，能根据实际问题选择合适的抽样方法进行抽样．3．通过对现实生活中的实际问题进行抽样，感知应用数学知识解决实际问题的方法．[读教材·自主学习]1．分层抽样：将总体按其□01属性特征分成若干类型(有时称作层)，然后在每个类型中按照□02所占比例随机抽取一定的样本，这种抽样方法通常叫作分层抽样，有时也称为类型抽样．2．系统抽样：将总体中的个体□03进行编号，□04等距分组，在第一组中按照简单随机抽样抽取第一个样本，然后按□05分组的间隔(称为抽样距)抽取其他样本，这种抽样方法有时也叫等距抽样或机械抽样．3．分层抽样的步骤：(1)将总体按一定标准□06分层．(2)计算各层的个体数与总体的个体数的□07比．(3)按各层的个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的□08样本容量．(4)在每一层进行抽样(可用简单随机抽样或系统抽样)．4．系统抽样的步骤：(1)将总体中的N个个体□09编号；(2)确定分段间隔k(k∈N)，将整体按编号进行□10分段(组)；(3)在第1段用□11简单随机抽样确定起始个体的编号l(l∈N,0≤l≤k)；(4)按照一定的规则抽取样本，通常是将起始编号l加上□12间隔k得到第2个个体编号□13l＋k，再加上k得到第3个个体编号□14l＋2k，这样继续下去，直到获取整个样本．[看名师·疑难剖析]1．分层抽样的特点当总体容量和样本容量较大时，不宜采用简单随机抽样，又由于总体差异明显，所以采用分层抽样为妥．2．系统抽样的特点(1)用于总体的个体数较多的情况．-2-(2)它是从总体中逐个地进行抽取．(3)它是一种不放回抽样．(4)每一个个体被抽到的可能性均等．3．三种抽样的特点及适用范围知识拓展：三种抽样方法都是不放回抽样，抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同，注意总结这些抽样方法的特点及适用范围，特别是系统抽样和分层抽样的区别与联系．考点一分层抽样与系统抽样的概念例1某电视台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为12000人，其中持各种态度的人数如下表所示：-3-很喜爱喜爱一般不喜爱2435456739261072电视台为进一步了解观众的具体想法和意见，打算从中抽取60人进行更为详细的调查，则应如何进行抽样？[分析]因为总体中人数较多，所以不宜采用简单随机抽样，又由于持不同态度的人数差异较大，故也不宜用系统抽样法，而以分层抽样法为宜．[解]可用分层抽样法，其总体容量为12000，“很喜爱”的占2435/12000＝487/2400，应取60×487÷2400≈12(人)；“喜爱”的占4567/12000，应取60×4567÷12000≈23(人)；“一般”的占3926/12000，应取60×3926/12000≈20(人)；“不喜爱”的占1072/12000，应取60×1072÷12000≈5(人)．因此，采用分层抽样的方法在“很喜爱”，“喜爱”，“一般”和“不喜爱”的2435人，4567人，3926人和1072人中分别抽取12人，23人，20人和5人．[变式训练1]为了保证分层抽样时，每个个体等可能地被抽取，必须要求()A．每层等可能抽样B．每层抽取的个体数相等C．每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取ni＝n·NiN(i＝1,2，…，k)个个体(其中i是层数，n是抽取的样本容量，Ni是第i层中个体的个数，N是总体的容量)D．只要抽取的样本容量一定，每层抽取的个体数没有限制答案C解析分层抽样时，在各层中按层在总体中所占的比例进行简单随机抽样．A虽然每层等可能地抽样，但是没有指明各层中应抽取几个个体，故A不正确．B由于每层的容量不一定相等，每层抽取同样多的个体数，显然，从总体来看，各层之间的个体被抽取的可能情况就不一样了，故B也不正确．C对于第i层的每个个体，它被抽到的可能性与层数i无关，即对于每个个体来说，被抽取为样本的可能性是相同的，故C正确，D不正确．故选C.例2下列抽样实验中，最适宜用系统抽样法的是()A．某市的3个区共有2000名学生，且3个区的学生人数之比为3∶2.8∶2，从中抽取200人入样B．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个入样C．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取200个入样D．从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样[解析]A总体有明显层次，不适宜用系统抽样法；B样本容量很小，适宜用随机数法；D总体容量很小，适宜用抽签法．[答案]C-4-类题通法当总体容量较大，样本容量也较大时适宜用系统抽样法抽样.[变式训练2]某商场想通过检查发票及销售记录的2%来快速估计每月的销售金额．采用如下方法：从某本发票的存根中随机抽一张，如15号，然后按序号往后将65号，115号，165号，…，发票上的销售金额组成一个调查样本．这种抽取样本的方法是()A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．其他方式的抽样答案C解析上述抽样方法是将发票平均分成若干组，每组50张．从第一组中抽出了15号，以后各组抽15＋50n(n为自然数)号．符合系统抽样的特点．考点二分层抽样与系统抽样的步骤例3某城市有210家百货商店，其中大型商店20家，中型商店40家，小型商店150家．为了掌握各商店的营业情况，计划抽取一个容量为21的样本，按照分层抽样方法抽取时，各种百货商店分别要抽取多少家？写出抽样过程．[分析]由题目可以获取以下主要信息：①某城市的百货商店包括差异明显的大、中、小型商店三种；②总体容量为210；③样本容量为21.解答本题应按分层抽样的步骤抽取，首先算出抽样比例，然后求出各层抽样的样本数，最后在各层抽取得到样本．[解](1)样本容量与总体的个体数的比为21210＝110；(2)确定各种商店要抽取的数目：大型：20×110＝2(家)，中型：40×110＝4(家)小型：150×110＝15(家)；(3)采用简单随机抽样在各层中抽取大型：2家；中型：4家；小型：15家；这样便得到了所要抽取的样本．类题通法对于个体差异较为明显的总体，以分层抽样法抽取样本，所得样本的代表性较好，在按比例确定各层抽取个数后，在各层中又可以采用简单随机抽样或系统抽样，甚至可以再次使用分层抽样.-5-[变式训练3]某运输队有货车1200辆，客车800辆．从中抽取110调查车辆的使用和保养情况．请给出抽样过程．分析因为货车和客车的使用和保养情况有明显的差别，所以用分层抽样．解采用分层抽样的方法进行抽样，具体步骤如下：第一步：明确货车和客车各应抽取多少辆．货车应抽取1200×110＝120辆，客车应抽取800×110＝80辆．第二步：用系统抽样法分别抽取货车120辆，客车80辆．这些货车和客车便组成了所要抽取的样本．例4为了解参加某种知识竞赛的1000名学生的成绩，从中抽取一个容量为50的样本，那么采用什么抽样方法比较恰当？简述抽样过程．[分析]由题目可以获取以下主要信息：①总体容量为1000，总体容量较大；②样本容量为50，也较大．解答本题目可先分析总体容量和样本容量的特点以及所学的各种抽样方法的适用范围，再选择恰当的抽样方法并简述抽样过程．[解]适宜选用系统抽样，抽样过程如下：(1)随机地将这1000名学生编号为1,2,3，…，1000.(2)将总体按编号顺序均分成50部分，每部分包括20个个体．(3)在第一部分的个体编号1,2,3，…，20中，利用简单随机抽样抽取一个号码，比如是18.(4)以18为起始号码，每间隔20抽取一个号码，这样得到一个容量为50的样本：18,38,58，…，978,998.类题通法1解决系统抽样问题中两个关键的步骤为：①分组的方法应依据抽取比例而定，即根据定义每组抽取一个样本②起始编号的确定应用随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定了2当总体中的个体数不能被样本容量整除时，需要在总体中剔除一些个体.[变式训练4]某单位在岗职工共624人，为了调查工人上班途中所用时间，决定抽取10%的工人进行调查，如何采用系统抽样法完成这一抽样？分析剔除多余个体是为了保证“等距”分段，方便系统抽样的应用，在剔除个体时需用简单随机抽样．解第一步：将624人用随机方式编号；第二步：从总体中剔除4人(可用随机数法)，-6-将剩下的620名职工重新编号，分别为000,001，…，619，并分成62段；第三步：在第一段000,001，…，009这10个编号中用简单随机抽样抽出一个(如002)作为起始号；第四步：将编号为002,012,022，…，612的个体抽出，组成样本.考点三三种抽样的区别与联系例5选择合适的抽样方法抽样，写出抽样过程．(1)有甲厂生产的30个篮球，其中一箱21个，另一箱9个，抽取3个．(2)有30个篮球，其中甲厂生产的有21个，乙厂生产的有9个，抽取10个．(3)有甲厂生产的300个篮球，抽取10个．(4)有甲厂生产的300个篮球，抽取30个．[分析]由题目可获取以下主要信息：①本题是要求选择适当的抽样方法．②要写出抽样过程．解答本题应综合三种抽样方法的适用范围和实际情况，灵活选取适当的方法进行抽取．[解](1)总体容量较小，用抽签法．①将30个篮球编号，编号为00,01，…，29；②将以上30个编号分别写在完全一样的一张小纸条上，揉成小球，制成号签；③把号签放入一个不透明的袋子中，充分搅拌；④从袋子中逐个抽取3个号签，并记录上面的号码；⑤找出和所得号码对应的篮球即可得到样本．(2)总体由差异明显的两个层次组成，需选用分层抽样法．①确定抽取个数．抽样比1030＝13，所以甲厂生产的应抽取213＝7个，乙厂生产的应抽取93＝3个；②用抽签法分别抽取甲厂生产的篮球7个，乙厂生产的篮球3个．这些篮球便组成了我们要抽取的样本．(3)总体容量较大，样本容量较小，宜用随机数法．①将300个篮球用随机方式编号，编号为001,002，…，300；②在随机数表(见课本附录2)中随机的确定一个数作为开始，如第8行第29列的数“1”开始．任选一个方向作为读数方向，比如向右读；③从数“1”开始向右读，每次读三位，凡不在001～300中的数跳过去不读，遇到已经读过的数也跳过去不读，便可依次得到10个号码，这就是所要抽取的10个样本个体的号码．(4)总体容量较大，样本容量也较大宜用系统抽样．①将300个篮球用随机方式编号，编号为000,001,002，…，299，并分成30段，其中每一段包含30030＝10个个体；-7-②在第一段000,001,002，…，009这十个编号中用简单随机抽样抽出一个(如002)作为起始号码；③将编号为002,012,022，…，292的个体抽出，组成了所要求的样本．类题通法弄清三种抽样方法的实质和适用范围，是灵活选用抽样方法的前提和基础.若用分层抽样，应先确定各层的抽取个数，然后在各层中用系统抽样或简单随机抽样进行抽取.[变式训练5]一个单位有职工160人，其中业务人员96人，管理人员40人，后勤服务人员24人，为了了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本，按下述三种方法抽样：方法1：将160人从1至160编上号，然后用白纸做成有1～160号的签160个放入箱内拌匀，然后从中抽20个签，与签号相同的20个人被选出．方法2：将160人从1至160编上号，按编号顺序分成20组，每组8人，1～8号，9～16号，…，153～160号，先从第1组中用抽签法抽出k号(1≤k≤8)，其余组的(k＋8n)号(n＝1,2，…，19)亦被抽到，如此抽取到20人．方法3：按20∶160＝1∶8的比例，从业务人员中抽取12人，从管理人员中抽取5人，从后勤服务人员中抽取3人，都用随机数法从各类人员中抽取所需的人数，他们合在一起恰好抽到20人．上述三种抽样方法，按简单随机抽样、分层抽样、系统抽样的顺序是()A．方法1、方法2、方法3B．方法2、方法1、方法3C．方法1、方法3、方法2D．方法3、方法1、方法2答案C解析方