（浙江专用）2021版新高考数学一轮复习 第七章 不等式 4 第4讲 基本不等式教学案

1第4讲基本不等式1．基本不等式：ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．(3)其中a＋b2称为正数a，b的算术平均数，ab称为正数a，b的几何平均数．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(2)ab≤a＋b22(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(3)a2＋b22≥a＋b22(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(4)ba＋ab≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．3．利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p．(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是s24．(简记：和定积最大)[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x＋1x的最小值是2.()(2)ab≤a＋b22成立的条件是ab0.()(3)“x0且y0”是“xy＋yx≥2”的充要条件．()2(4)若a0，则a3＋1a2的最小值是2a.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×[教材衍化]1．(必修5P99例1(2)改编)设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为________．解析：因为x0，y0，所以x＋y2≥xy，即xy≤x＋y22＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.答案：812．(必修5P100A组T2改编)若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.解析：设矩形的一边为xm，则另一边为12×(20－2x)＝(10－x)m，所以y＝x(10－x)≤x＋（10－x）22＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.答案：25[易错纠偏](1)忽视基本不等式成立的条件；(2)基本不等式不会变形使用．1．“x0”是“x＋1x≥2成立”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.当x0时，x＋1x≥2x·1x＝2.因为x，1x同号，所以若x＋1x≥2，则x0，1x0，所以“x0”是“x＋1x≥2成立”的充要条件，故选C.2．设x0，则函数y＝x＋22x＋1－32的最小值为________．解析：y＝x＋22x＋1－32＝x＋12＋1x＋12－2≥2x＋12·1x＋12－2＝0，当且仅当x3＋12＝1x＋12，即x＝12时等号成立．所以函数的最小值为0.答案：0利用基本不等式求最值(高频考点)利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型主要为选择题、填空题．主要命题角度有：(1)求不含等式条件的函数最值；(2)求含有等式条件的函数最值．角度一求不含等式条件的函数最值(1)函数f(x)＝xx2＋3x＋1(x0)的最大值为________．(2)已知x54，则f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值为________．【解析】(1)因为x0，则f(x)＝xx2＋3x＋1＝1x＋1x＋3≤12x·1x＋3＝15，当且仅当x＝1x时等号成立．(2)因为x54，所以5－4x0，则f(x)＝4x－2＋14x－5＝－5－4x＋15－4x＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，等号成立．故f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值为1.【答案】(1)15(2)1角度二求含有等式条件的函数最值(1)已知x0，y0，lg2x＋lg8y＝lg2，则1x＋13y的最小值是()A．2B．22C．4D．23(2)(2020·杭州中学高三月考)函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点4A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，则1m＋2n的最小值为()A．2B．4C．8D．16【解析】(1)因为lg2x＋lg8y＝lg2，所以x＋3y＝1，所以1x＋13y＝1x＋13y(x＋3y)＝2＋3yx＋x3y≥4，当且仅当3yx＝x3y，即x＝12，y＝16时，取等号．(2)因为x＝－2时，y＝loga1－1＝－1，所以函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点(－2，－1)，即A(－2，－1)，因为点A在直线mx＋ny＋1＝0上，所以－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1，因为m＞0，n＞0，1m＋2n＝1m＋2n(2m＋n)＝2＋nm＋4mn＋2≥4＋2nm·4mn＝8，当且仅当m＝14，n＝12时取等号，故选C.【答案】(1)C(2)C利用基本不等式求最值的方法(1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．1．设a，b0，a＋b＝5，则a＋1＋b＋3的最大值为________．解析：令t＝a＋1＋b＋3，则t2＝a＋1＋b＋3＋2（a＋1）（b＋3）＝9＋2（a＋1）（b＋3）≤9＋a＋1＋b＋3＝13＋a＋b＝13＋5＝18，当且仅当a＋1＝b＋3时取等号，此时a＝72，b＝32.5所以tmax＝18＝32.答案：322．(2020·瑞安市龙翔高中高三月考)设x，y满足约束条件3x－y－2≤0x－y≥0x≥0，y≥0，若目标函数z＝ax＋by(a＞1，b＞2)的最大值为5，则1a－1＋4b－2的最小值为________．解析：由约束条件3x－y－2≤0x－y≥0x≥0，y≥0，作出可行域如图，联立x－y＝03x－y－2＝0，解得A(1，1)．由z＝ax＋by(a＞1，b＞2)，得y＝－abx＋zb，由图可知，zmax＝a＋b＝5.可得a－1＋b－2＝2.所以1a－1＋4b－2＝121a－1＋4b－2(a－1＋b－2)＝125＋b－2a－1＋4（a－1）b－2≥125＋2b－2a－1×4（a－1）b－2＝92.当且仅当b＝2a时等号成立，并且a＋b＝5，a1，b2即a＝53，b＝103时上式等号成立．所以1a－1＋4b－2的最小值为92.答案：92利用转化思想求参数已知不等式(x＋y)1x＋ay≥9对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为________．6【解析】(x＋y)1x＋ay＝1＋a＋yx＋axy≥1＋a＋2a＝(a＋1)2(x，y，a0)，当且仅当y＝ax时取等号，所以(x＋y)·1x＋ay的最小值为(a＋1)2，于是(a＋1)2≥9恒成立．所以a≥4.【答案】4(1)涉及恒成立问题的数学问题，一般将其转化为最值问题处理，即a≥f(x)恒成立，则a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立，则a≤f(x)min.(2)涉及多个变元问题时，用常量与变元的转化思想处理．如本例先把参数a看作常量，求得含参数a的最值，再将其转化为变量处理．1．(2020·浙江省名校联考)已知函数f(x)＝x＋ax＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是()A.12B.32C．1D．2解析：选C.由题意可得a＞0，①当x＞0时，f(x)＝x＋ax＋2≥2a＋2，当且仅当x＝a时取等号；②当x＜0时，f(x)＝x＋ax＋2≤－2a＋2，当且仅当x＝－a时取等号．所以2－2a＝0，2a＋2＝4，解得a＝1，故选C.2．(2020·金丽衢十二校高三联考)若函数f(x)＝2x2－ax－1(a2)在区间(1，＋∞)上的最小值为6，则实数a的值为()A．2B.32C．1D.12解析：选B.f(x)＝2x2－ax－1＝2（x－1）2＋4（x－1）＋2－ax－1＝2(x－1)＋2－ax－1＋4≥22（x－1）·2－ax－17＋4＝24－2a＋4，当且仅当2(x－1)＝2－ax－1⇒x＝1＋2－a2时，等号成立，所以24－2a＋4＝6⇒a＝32，故选B.利用不等式解决实际问题如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝3米，AD＝2米．(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？(2)当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．【解】(1)设DN的长为x(x0)米，则|AN|＝(x＋2)米．因为|DN||AN|＝|DC||AM|，所以|AM|＝3（x＋2）x，所以S矩形AMPN＝|AN|·|AM|＝3（x＋2）2x.由S矩形AMPN32得3（x＋2）2x32.又x0得3x2－20x＋120，解得0x23或x6，即DN长的取值范围是0，23∪(6，＋∞)．(2)矩形花坛的面积为y＝3（x＋2）2x＝3x2＋12x＋12x＝3x＋12x＋12(x0)≥23x·12x＋12＝24.当且仅当3x＝12x即x＝2时，矩形花坛的面积最小为24平方米．(1)利用基本不等式求解实际问题的注意事项①根据实际问题抽象出目标函数的表达式，再利用基本不等式求得函数的最值．②设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．③解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．④在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．8(2)此类问题还常与一元二次函数、一元二次不等式结合命题，求解关键是构建函数与不等关系，在实际条件下解决．某公司生产的商品A，当每件售价为5元时，年销售10万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销量相应减少1万件，要使销售收入不低于原销售收入，该商品的销售价格最多可提高多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，公司决定对该商品的生产进行技术革新，将技术革新后生产的商品售价提高到每件x元，公司拟投入12(x2＋x)万元作为技改费用，投入x4万元作为宣传费用．试问：技术革新后生产的该商品销售量m至少应达到多少万件时，才能使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和？解：(1)设商品的销售价格提高a元，则(10－a)(5＋a)≥50，解得0≤a≤5.所以商品的价格最多可以提高5元．(2)由题意知，技术革新后的销售收入为mx万元，若技术革新后的销售收入等于原销售收入与总投入之和，只需满足mx＝12(x2＋x)＋x4＋50(x5)即可，此时m＝12x＋34＋50x≥2x2·50x＋34＝434，当且仅当12x＝50x，即x＝10时，取“＝”．故销售量至少应达到434万件，才能使技术革新后的销售收入等于原销售收入与总投入之和．核心素养系列13数学运算——利用均值定理连续放缩求最值已知ab0，那么a2＋1b（a－b）的最小值为________．【解析】因为ab0，所以a－b0，所以b(a－b)≤b＋a－b22＝a24，所以a2＋1b（a－b）≥a2＋4a2≥2a2·4a2＝4，当且仅当b＝a－b且a2＝4a2，即a＝2且b＝22时取等号，所以a2＋1b（a－b）的最小值为4.答案：49设ab0，则a2＋1ab＋1a（a－b）的最小值是________．【解析】因为ab0，所以a－b0，所以a2＋1ab＋1a（a－b）＝(a2－ab)＋1（a2－ab）＋1ab＋ab≥2（a2－ab）·1（a2－ab）＋21ab×ab＝4(当且仅当a2－ab＝1a2－ab且1ab＝ab，即a＝2，b＝22时取等号)．【答案】4利用基本不等式求函数或代数式的最值时一定要注意验证等号是否成立，特别是当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的