2021版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第2讲 函数的基本性质 第2课时 函数的

1第2课时函数的奇偶性及周期性一、知识梳理1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称[注意]奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称，函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．2．函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．[注意]不是所有的周期函数都有最小正周期，如f(x)＝5.常用结论1．函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a0)．(2)若f(x＋a)＝1f（x），则T＝2a(a0)．2(3)若f(x＋a)＝－1f（x），则T＝2a(a0)．二、习题改编1．(必修1P35例5改编)下列函数中为偶函数的是()A．y＝x2sinxB．y＝x2cosxC．y＝|lnx|D．y＝2－x解析：选B.根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数．故选B.2．(必修4P46A组T10改编)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝－4x2＋2，－1≤x0，x，0≤x1，则f32＝．解析：由题意得，f32＝f－12＝－4×－122＋2＝1.答案：1一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.()(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．()(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．()(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．()(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．()答案：(1)√(2)×(3)√(4)√(5)√二、易错纠偏常见误区(1)利用奇偶性求解析式忽视定义域；(2)周期不能正确求出从而求不出结果．1．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则x0时，f(x)＝．解析：当x0时，则－x＞0，所以f(－x)＝(－x)(1－x)．又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝(－x)(1－x)，所以f(x)＝x(1－x)．答案：x(1－x)2．已知函数f(x)满足f(x＋2)＝－1f（x）.当1≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105)＝．3解析：因为f(x＋2)＝－1f（x），所以f(x＋4)＝f(x)，故4为函数f(x)的一个周期．f(105)＝f(4×26＋1)＝f(1)＝1.答案：1判断函数的奇偶性(师生共研)判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝x3－1x；(2)f(x)＝x2－1＋1－x2；(3)f(x)＝x2＋2，x＞0，0，x＝0，－x2－2，x0.【解】(1)原函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，并且对于定义域内的任意一个x都有f(－x)＝(－x)3－1－x＝－x3－1x＝－f(x)，从而函数f(x)为奇函数．(2)f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称．又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)f(x)的定义域为R，关于原点对称，当x＞0时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；当x0时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；当x＝0时，f(0)＝0，也满足f(－x)＝－f(x)．故该函数为奇函数．判定函数奇偶性的3种常用方法(1)定义法4(2)图象法(3)性质法①设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇；②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．[提醒]对函数奇偶性的判断，不能用特殊值法，如存在x0使f(－x0)＝－f(x0)，不能判断函数f(x)是奇函数．已知函数f(x)＝x2x－1，g(x)＝x2，则下列结论正确的是()A．h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数B．h(x)＝f(x)＋g(x)是奇函数C．h(x)＝f(x)g(x)是奇函数D．h(x)＝f(x)g(x)是偶函数解析：选A.易知h(x)＝f(x)＋g(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．因为f(－x)＋g(－x)＝－x2－x－1＋－x2＝－x·2x1－2x－x2＝x（1－2x）－x1－2x－x2＝x2x－1＋x2＝f(x)＋g(x)，所以h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．故选A.函数奇偶性的应用(师生共研)(2019·高考全国卷Ⅱ)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x＜0时，f(x)＝()A．e－x－1B．e－x＋1C．－e－x－1D．－e－x＋1【解析】通解：依题意得，当x0时，f(x)＝－f(－x)＝－(e－x－1)＝－e－x＋1，选D.优解：依题意得，f(－1)＝－f(1)＝－(e1－1)＝1－e，结合选项知，选D.【答案】D5已知函数奇偶性可以解决的3个问题(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出．(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程或方程(组)，进而得出参数的值．(一题多解)已知函数f(x)为奇函数，当x0时，f(x)＝x2－x，则当x0时，函数f(x)的最大值为．解析：法一：当x0时，－x0，所以f(－x)＝x2＋x.又因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－x＝－x＋122＋14，所以当x0时，函数f(x)的最大值为14.法二：当x0时，f(x)＝x2－x＝x－122－14，最小值为－14，因为函数f(x)为奇函数，所以当x0时，函数f(x)的最大值为14.答案：14函数的周期性(师生共研)(1)(2020·广东六校第一次联考)在R上函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)＝x＋a，－1≤x0|2－x|，0≤x1，其中a∈R，若f(－5)＝f(4.5)，则a＝()A．0.5B．1.5C．2.5D．3.5(2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，4]上与x轴的交点的个数为()A．2B．3C．4D．5【解析】(1)由f(x＋1)＝f(x－1)，得f(x)是周期为2的函数，又f(－5)＝f(4.5)，所以f(－1)＝f(0.5)，即－1＋a＝1.5，所以a＝2.5.故选C.(2)当0≤x2时，令f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝0，所以y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝1.6当2≤x4时，0≤x－22，又f(x)的最小正周期为2，所以f(x－2)＝f(x)，所以f(x)＝(x－2)(x－1)(x－3)，所以当2≤x4时，y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x3＝2，x4＝3.又f(4)＝f(2)＝f(0)＝0，综上可知，共有5个交点．【答案】(1)C(2)D函数周期性的判定与应用(1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．已知定义在R上的函数满足f(x＋2)＝－1f（x），当x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1.则f(17)＝，f(20)＝．解析：因为f(x＋2)＝－1f（x），所以f(x＋4)＝－1f（x＋2）＝f(x)，所以函数y＝f(x)的周期T＝4.f(17)＝f(4×4＋1)＝f(1)＝1.f(20)＝f(4×4＋4)＝f(4)＝f(2＋2)＝－1f（2）＝－12×2－1＝－13.答案：1－13[基础题组练]1．下列函数中，与函数y＝－3|x|的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是()A．y＝－1xB．y＝log2|x|C．y＝1－x2D．y＝x3－1解析：选C.函数y＝－3|x|为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项A的函数为奇函数，不符合要求；选项B的函数是偶函数，但其单调性不符合要求；选项D的函数为非奇非偶函数，不符合要求；只有选项C符合要求．2．已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－2)＝()7A．－3B．－54C.54D．3解析：选A.由f(x)为R上的奇函数，知f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，则f(－2)＝－f(2)＝－(22－1)＝－3.3．已知定义域为R的奇函数f(x)满足f32＋x＝f12－x，且当0≤x≤1时，f(x)＝x3，则f52＝()A．－278B．－18C.18D.278解析：选B.因为f32＋x＝f12－x，所以f52＝f32＋1＝f12－1＝f－12，又因为函数为奇函数，所以f－12＝－f12＝－123＝－18.4．已知定义域为[a－4，2a－2]的奇函数f(x)＝2018x3－sinx＋b＋2，则f(a)＋f(b)的值为()A．0B．1C．2D．不能确定解析：选A.依题意得a－4＋2a－2＝0，所以a＝2.又f(x)为奇函数，故b＋2＝0，所以b＝－2，所以f(a)＋f(b)＝f(2)＋f(－2)＝0.5．已知函数f(x)＝2|x|＋x3＋12|x|＋1的最大值为M，最小值为m，则M＋m等于()A．0B．2C．4D．8解析：选B.f(x)＝2|x|＋x3＋12|x|＋1＝1＋x32|x|＋1.设g(x)＝x32|x|＋1，因为g(x)定义域为R，关于原点对称，且g(－x)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0.因为M＝f(x)max＝1＋g(x)max，m＝f(x)min＝1＋g(x)min，所以M＋m＝1＋g(x)max＋1＋g(x)min＝2.6．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于．解析：f(－1)＋g(1)＝2，即－f(1)＋g(1)＝2①，f(1)＋g(－1)＝4，即f(1)＋g(1)＝4②，由①②得，2g(1)＝6，即g(1)＝3.8答案：37．设函数f(x)是定义在R上周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝x＋1，则f32＝．解析：依题意得，f(2＋x)＝f(x)，f(－x)＝f(x)，则f32＝f－12＝f12＝12＋1＝32.答案：328．设函数f(x