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1第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且⇒/pp是q的必要不充分条件p⇒/q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇒/q且q⇒/p[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x2＋2x－3＜0”是命题．()(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则﹁q”．()(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．()(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(5)q不是p的必要条件时，“p⇒/q”成立．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√[教材衍化]1．(选修2－1P12A组T2改编)命题“若x2y2，则xy”的逆否命题是________，是2________命题(填“真”或“假”)解析：根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2y2，则xy”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．答案：若x≤y，则x2≤y2假2．(选修2－1P12A组T3改编)设x∈R，则“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的________条件．解析：2－x≥0，则x≤2，(x－1)2≤1，则－1≤x－1≤1，即0≤x≤2，据此可知，“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的必要不充分条件．答案：必要不充分[易错纠偏](1)命题的条件与结论不明确；(2)对充分必要条件判断错误．1．命题“若a2＋b2＝0，a，b∈R，则a＝b＝0”的逆否命题是________．答案：若a≠0或b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠02．条件p：xa，条件q：x≥2.(1)若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________；(2)若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是________．解析：设A＝{x|xa}，B＝{x|x≥2}，(1)因为p是q的充分不必要条件，所以AB，所以a≥2；(2)因为p是q的必要不充分条件，所以BA，所以a2.答案：(1)a≥2(2)a2四种命题的相互关系及真假判断(1)(2020·浙江重点中学模拟)已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的()A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．否定(2)(2020·温州模拟)命题“若x2＋y2＝0，x，y∈R，则x＝y＝0”的逆否命题是()A．若x≠y≠0，x，y∈R，则x2＋y2＝0B．若x＝y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠03C．若x≠0且y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0D．若x≠0或y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0【解析】(1)命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题，故选B.(2)将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可．由x＝y＝0知x＝0且y＝0，其否定是x≠0或y≠0.【答案】(1)B(2)D(1)写一个命题的其他三种命题时需关注2点①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写．②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．[提醒]四种命题的关系具有相对性，一旦一个命题定为原命题，相应的也就有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”．(2)判断命题真假的2种方法①直接判断：判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．②间接判断：当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．1．命题“若a2b2，则ab”的否命题是()A．若a2b2，则a≤bB．若a2≤b2，则a≤bC．若a≤b，则a2b2D．若a≤b，则a2≤b2解析：选B.根据命题的否命题若“﹁p，则﹁q”知选B.2．下列命题中为真命题的是()A．命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题B．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若1x＞1，则x＞1”的逆否命题解析：选B.对于A，命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4＞1，故为假命题；对于B，命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”，分析可知为真命题；对于C，命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x2＋x－2＝0，故为假命题；对于D，命题“若1x＞1，则x＞1”的逆否命题为“若x≤1，则1x≤1”，易知为假命题，故选B.4充分条件、必要条件的判断(高频考点)充分条件、必要条件的判断是高考命题的热点，常以选择题的形式出现，作为一个重要载体，考查的知识面很广，几乎涉及数学知识的各个方面．主要命题角度有：(1)判断指定条件与结论之间的关系；(2)与命题的真假性相交汇命题．角度一判断指定条件与结论之间的关系(1)(2019·高考浙江卷)设a0，b0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2018·高考浙江卷)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】(1)通解：因为a0，b0，所以a＋b≥2ab，由a＋b≤4可得2ab≤4，解得ab≤4，所以充分性成立；当ab≤4时，取a＝8，b＝13，满足ab≤4，但a＋b4，所以必要性不成立，所以“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．故选A.优解：在同一坐标系内作出函数b＝4－a，b＝4a的图象，如图，则不等式a＋b≤4与ab≤4表示的平面区域分别是直线a＋b＝4及其左下方(第一象限中的部分)与曲线b＝4a及其左下方(第一象限中的部分)，易知当a＋b≤4成立时，ab≤4成立，而当ab≤4成立时，a＋b≤4不一定成立．故选A.(2)若m⊄α，n⊂α，m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α.若m∥α，m⊄α，n⊂α，不一定推出m∥n，直线m与n可能异面，故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．故选A.【答案】(1)A(2)A角度二与命题的真假性相交汇命题(2020·杭州模拟)下列有关命题的说法正确的是()A．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件5B．p：A∩B＝A；q：AB，则p是q的充分不必要条件C．已知数列{an}，若p：对于任意的n∈N*，点Pn(n，an)都在直线y＝2x＋1上；q：{an}为等差数列，则p是q的充要条件D．“x0”是“ln(1＋x)0”的必要不充分条件【解析】选项A：当x＝－1时，x2－5x－6＝0，所以x＝－1是x2－5x－6＝0的充分条件，故A错．选项B：因为A∩B＝A⇒/AB(如A＝B)，而AB⇒A∩B＝A，从而p⇒/q，q⇒p，所以p是q的必要不充分条件，故B错．选项C：因为Pn(n，an)在直线y＝2x＋1上．所以an＝2n＋1(n∈N*)，则an＋1－an＝2(n＋1)＋1－(2n＋1)＝2，又由n的任意性可知数列{an}是公差为2的等差数列，即p⇒q.但反之则不成立，如：令an＝n，则{an}为等差数列，但点(n，n)不在直线y＝2x＋1上，从而q⇒/p.从而可知p是q的充分不必要条件，故C错．选项D：利用充分条件和必要条件的概念判断．因为ln(x＋1)0⇔0x＋11⇔－1x0，所以“x0”是“ln(x＋1)0”的必要不充分条件．故D正确．【答案】D判断充要条件的3种常用方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．(2)等价法：利用A⇒B与﹁B⇒﹁A，B⇒A与﹁A⇒﹁B，A⇔B与﹁B⇔﹁A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．[提醒]判断充要条件需注意3点(1)要分清条件与结论分别是什么．(2)要从充分性、必要性两个方面进行判断．(3)直接判断比较困难时，可举出反例说明．1．(2020·杭州市富阳二中高三开学检测)若a，b为实数，则“3a3b”是“1|a|1|b|”的()6A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选D.根据题意，若“3a3b”，则有ab，而“1|a|1|b|”不一定成立，如a＝－3，b＝1；若“1|a|1|b|”，则有|a||b|，“3a3b”不一定成立，如a＝1，b＝－3，故“3a3b”是“1|a|1|b|”的既不充分也不必要条件．2．(2020·“超级全能生”高考浙江省联考)已知函数f(x)＝sinx，x∈[0，2π)，则“f(x)≥0”是“f(x2)≥0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.由f(x)≥0⇒x∈[0，π]，由f(x2)≥0⇒x2∈[0，π]⇒x∈[0，π]，因为[0，π]⊆[0，π]，由集合性质可知为必要不充分条件．充分条件、必要条件的应用(1)已知p：|x＋1|＞2，q：x＞a，且﹁p是﹁q的充分不必要条件，则a的取值范围是()A．a≤1B．a≤－3C．a≥－1D．a≥1(2)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若“x∈P”是“x∈S”的必要条件，则m的取值范围为________．【解析】(1)由|x＋1|＞2，解得x＞1或x＜－3，因为﹁p是﹁q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件，从而可得(a，＋∞)是(－∞，－3)∪(1，＋∞)的真子集，所以a≥1，故选D.(2)由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，所以P＝{x|－2≤x≤10}，由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.则1－m≤1＋m，1－m≥－2，1＋m≤10，所以0≤m≤3.所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0，3]．【答案】(1)D(2)[0，3]7(变问法)本例(2)条件不变，若“x∈﹁P”是“x∈﹁S”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．解：由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，因为“x∈﹁P”是“x∈﹁S”的必要不充分条件，所以P⇒S且S⇒/P.所以[－2，10][1－m，1＋m]．所以1－m≤－2，1＋m＞10或1－m＜－2，1＋m≥10.所以m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞)．利用充要条件求参数应关注2点(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍．[提醒]含有参数的问题，要注意分类讨论．(2020·金华一模)已知命题p：实数m满足m2＋12a27am(a0)，命题q：实数m满足方程x2m－1＋y22－m＝1表示焦点在y轴上的椭圆．若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为________．解析：由a0，m2－7am＋12a20，得3am4a，即命题p：3am4a，a0.由x2m－1＋y22－m＝1表示焦点在y轴上的椭圆，可得2－mm－10，解得1m32，即命题q：1m32.因为p是q的充分不必要条件，所以3a≥14a≤32，解得13≤a≤38，所以实数a的取值范围是13，38.8答案：13，38[基础题组练]1．下列命题是真命题的是()A．若1x＝1y，则x＝yB．若x2＝1，则x＝