（浙江专用）2021版新高考数学一轮复习 第六章 数列与数学归纳法 4 第4讲 数列求和教学案

1第4讲数列求和1．基本数列求和方法(1)等差数列求和公式：Sn＝n（a1＋an）2＝na1＋n（n－1）2d．(2)等比数列求和公式：Sn＝na1，q＝1，a1－anq1－q＝a1（1－qn）1－q，q≠1.2．一些常见数列的前n项和公式(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝n（n＋1）2；(2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2；(3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n．3．数列求和的常用方法(1)倒序相加法如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的．(2)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的．(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．(4)分组转化法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和后再相加减．(5)并项求和法一个数列的前n项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)2(1)当n≥2时，1n2－1＝1n－1－1n＋1.()(2)利用倒序相加法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.()(3)若Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan，当a≠0，且a≠1时，求Sn的值可用错位相减法求得．()答案：(1)×(2)√(3)√[教材衍化]1．(必修5P61A组T5改编)一个球从100m高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第10次着地时，经过的路程是()A．100＋200(1－2－9)B．100＋100(1－2－9)C．200(1－2－9)D．100(1－2－9)解析：选A.第10次着地时，经过的路程为100＋2(50＋25＋…＋100×2－9)＝100＋2×100×(2－1＋2－2＋…＋2－9)＝100＋200×2－1（1－2－9）1－2－1＝100＋200(1－2－9)．2．(必修5P47B组T4改编)在数列{an}中，an＝1n（n＋1），若{an}的前n项和为20172018，则项数n为()A．2014B．2015C．2016D．2017解析：选D.an＝1n（n＋1）＝1n－1n＋1，Sn＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1＝20172018，所以n＝2017.故选D.3．(必修5P61A组T4(3)改编)1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1＝________(x≠0且x≠1)．解析：设Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1，①则xSn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，②①－②得：(1－x)Sn＝1＋x＋x2＋…＋xn－1－nxn＝1－xn1－x－nxn，所以Sn＝1－xn（1－x）2－nxn1－x.答案：1－xn（1－x）2－nxn1－x[易错纠偏](1)不会分组致误；(2)错位相减法运用不熟练出错．1．已知数列：112，214，318，…，n＋12n，…，则其前n项和关于n的表达式为________．解析：设所求的数列前n项和为Sn，则3Sn＝(1＋2＋3＋…＋n)＋12＋14＋…＋12n＝n（n＋1）2＋1－12n.答案：n（n＋1）2＋1－12n2．已知数列{an}的前n项和为Sn且an＝n·2n，则Sn＝________．解析：Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①所以2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1，②①－②得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝2×（1－2n）1－2－n×2n＋1，所以Sn＝(n－1)2n＋1＋2.答案：(n－1)2n＋1＋2分组转化法求和设数列{an}的前n项和为Sn.已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*.(1)求通项公式an；(2)求数列{|an－n－2|}的前n项和．【解】(1)由题意得a1＋a2＝4，a2＝2a1＋1，则a1＝1，a2＝3.又当n≥2时，由an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，得an＋1＝3an.所以数列{an}的通项公式为an＝3n－1，n∈N*.(2)设bn＝|3n－1－n－2|，n∈N*，b1＝2，b2＝1.当n≥3时，由于3n－1n＋2，故bn＝3n－1－n－2，n≥3.设数列{bn}的前n项和为Tn，则T1＝2，T2＝3.当n≥3时，Tn＝3＋9（1－3n－2）1－3－（n＋7）（n－2）2＝3n－n2－5n＋112，所以Tn＝2，n＝1，3n－n2－5n＋112，n≥2，n∈N*.分组转化法求和的常见类型(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组转化法求{an}的前n项4和；(2)通项公式为an＝bn，n为奇数，cn，n为偶数的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求和．1．数列{an}的通项公式an＝2n－n，前n项之和为Sn，则Sn＝________．解析：Sn＝21＋22＋…＋2n－(1＋2＋…＋n)＝2（1－2n）1－2－n（1＋n）2＝2n＋1－n2＋n＋42.答案：2n＋1－n2＋n＋422．(2020·丽水模拟)在等比数列{an}中，公比q≠1，等差数列{bn}满足b1＝a1＝3，b4＝a2，b13＝a3.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)记cn＝(－1)nbn＋an，求数列{cn}的前2n项和S2n.解：(1)设等差数列{bn}的公差为d.则有3＋3d＝3q，3＋12d＝3q2，解得q＝3，d＝2或q＝1，d＝0(舍去)，所以an＝3n，bn＝2n＋1.(2)由(1)知cn＝(－1)n(2n＋1)＋3n，则S2n＝(3＋32＋33＋…＋32n)＋{(－3)＋5＋(－7)＋9＋…＋[－(4n－1)]＋(4n＋1)}＝3（1－32n）1－3＋[(5－3)＋(9－7)＋…＋(4n＋1－4n＋1)]＝32n＋1－32＋2n.错位相减法求和已知数列{an}和{bn}满足a1＝2，b1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，b1＋12b2＋13b3＋…＋1nbn＝bn＋1－1(n∈N*)．(1)求an与bn的通项公式；(2)记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn.【解】(1)由a1＝2，an＋1＝2an，得an＝2n(n∈N*)．由题意知当n＝1时，b1＝b2－1，故b2＝2.当n≥2时，1nbn＝bn＋1－bn，5整理得bn＋1n＋1＝bnn，所以bn＝n.当n＝1时，也符合bn＝n，综上bn＝n(n∈N*)．(2)由(1)知anbn＝n·2n，因此Tn＝2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，2Tn＝22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1，所以Tn－2Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1.故Tn＝(n－1)2n＋1＋2(n∈N*)．错位相减法求和策略(1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解．(2)在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．1．数列12，34，58，716，…，的前10项之和为________．解析：S10＝12＋34＋58＋…＋19210，①所以12S10＝14＋38＋…＋17210＋19211.②①－②得12S10＝12＋24＋28＋…[phone]＝12＋121－1291－12.6