（浙江专用）2021版新高考数学一轮复习 第七章 不等式 5 第5讲 绝对值不等式教学案

1第5讲绝对值不等式1．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集a＞0a＝0a＜0|x|＜a{x|－a＜x＜a}∅∅|x|＞a{x|x＞a或x＜－a}{x|x∈R且x≠0}R(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c．2．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|.当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．上述定理还可以推广得到以下几个不等式：(1)|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|；(2)||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|；(3)||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若|x|c的解集为R，则c≤0.()(2)不等式|x－1|＋|x＋2|2的解集为∅.()(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当ab0时等号成立．()(4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立．()(5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√[教材衍化]1．(选修4­5P20T7改编)不等式3≤|5－2x|9的解集为________．解析：由题意得|2x－5|9，|2x－5|≥3，2即－92x－59，2x－5≥3或2x－5≤－3，解得－2x7，x≥4或x≤1，所以不等式的解集为(－2，1]∪[4，7)．答案：(－2，1]∪[4，7)2．(选修4­5P20T8改编)不等式|x－1|－|x－5|2的解集是________．解析：①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)2，所以－42，不等式恒成立，所以x≤1；②当1x5时，原不等式可化为x－1－(5－x)2，所以x4，所以1x4；③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)2，该不等式不成立．综上，原不等式的解集为{x|x4}．答案：{x|x4}[易错纠偏](1)含参数的绝对值不等式讨论不清；(2)存在性问题不能转化为最值问题求解．1．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________．解析：因为|kx－4|≤2，所以－2≤kx－4≤2，所以2≤kx≤6.因为不等式的解集为{x|1≤x≤3}，所以k＝2.答案：22．若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________．解析：由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，所以|x＋1|＋|x－2|的最小值为3.要使原不等式有解，只需|a|≥3，则a≥3或a≤－3.答案：(－∞，－3]∪[3，＋∞)绝对值不等式的解法(1)(2020·嘉兴市高考模拟)已知f(x)＝x－2，g(x)＝2x－5，则不等式|f(x)|＋|g(x)|≤2的解集为________；|f(2x)|＋|g(x)|的最小值为________．(2)解不等式|x＋3|－|2x－1|x2＋1.【解】(1)因为f(x)＝x－2，g(x)＝2x－5，3所以|f(x)|＋|g(x)|≤2，即|x－2|＋|2x－5|≤2，x≥52时，x－2＋2x－5≤2，解得52≤x≤3，2＜x＜52时，x－2＋5－2x≤2，解得x≥1，即2＜x＜52，x≤2时，2－x＋5－2x≤2，解得x≥53，即53≤x≤2.综上，不等式的解集是[53，3]；|f(2x)|＋|g(x)|＝|2x－2|＋|2x－5|≥|2x－2－2x＋5|＝3，故|f(2x)|＋|g(x)|的最小值是3.故填[53，3]，3.(2)①当x－3时，原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)x2＋1，解得x10，所以x－3.②当－3≤x12时，原不等式化为(x＋3)－(1－2x)x2＋1，解得x－25，所以－3≤x－25.③当x≥12时，原不等式化为(x＋3)－(2x－1)x2＋1，解得x2，所以x2.综上可知，原不等式的解集为x|x－25或x2.|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型不等式的解法(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设ab)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．(2)几何法：利用|x－a|＋|x－b|c(c0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体，|x－a|＋|x－b|≥|x－a－(x－b)|＝|a－b|.(3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解．设函数f(x)＝|x－a|.(1)当a＝2时，解不等式f(x)≥7－|x－1|；(2)若f(x)≤1的解集为[0，2]，求a的值．解：(1)当a＝2时，不等式为|x－2|＋|x－1|≥7，所以x1，2－x＋1－x≥7或1≤x≤2，2－x＋x－1≥74或x2x－2＋x－1≥7，所以不等式的解集为(－∞，－2]∪[5，＋∞)．(2)f(x)≤1即|x－a|≤1，解得a－1≤x≤a＋1，而f(x)≤1的解集是[0，2]，所以a－1＝0a＋1＝2，解得a＝1.绝对值不等式性质的应用(1)(2020·宁波市九校联考)已知f(x)＝|x＋1x－a|＋|x－1x－a|＋2x－2a(x＞0)的最小值为32，则实数a＝________．(2)(2020·宁波效实中学高三模拟)确定“|x－a|m且|y－a|m”是“|x－y|2m”(x，y，a，m∈R)的什么条件．【解】(1)f(x)＝|x＋1x－a|＋|x－1x－a|＋2x－2a≥|(x＋1x－a)－(x－1x－a)|＋2x－2a＝|2x|＋2x－2a＝2x＋2x－2a≥22x·2x－2a＝4－2a.当且仅当2x＝2x，即x＝1时，上式等号成立．由4－2a＝32，解得a＝54.故填54.(2)因为|x－y|＝|(x－a)－(y－a)|≤|x－a|＋|y－a|m＋m＝2m，所以“|x－a|m且|y－a|m”是“|x－y|2m”的充分条件．取x＝3，y＝1，a＝－2，m＝2.5，则有|x－y|＝25＝2m，但|x－a|＝5，不满足|x－a|m＝2.5，故“|x－a|m且|y－a|m”不是“|x－y|2m”的必要条件．故为充分不必要条件．两数和与差的绝对值不等式的性质(1)对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件要深刻理5解，特别是用此定理求函数的最值时．(2)该定理可强化为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式．1．若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是________．解析：由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，所以只需a≤3即可．故a的取值范围为(－∞，3]．答案：(－∞，3]2．(2020·温州模拟)已知a，b，c∈R，若|acos2x＋bsinx＋c|≤1对x∈R成立，则|asinx＋b|的最大值为________．解析：由题意，设t＝sinx，t∈[－1，1]，则|at2－bt－a－c|≤1恒成立，不妨设t＝1，则|b＋c|≤1；t＝0，则|a＋c|≤1，t＝－1，则|b－c|≤1，若a，b同号，则|asinx＋b|的最大值为|a＋b|＝|a＋c＋b－c|≤|a＋c|＋|b－c|≤2；若a，b异号，则|asinx＋b|的最大值为|a－b|＝|a＋c－b－c|≤|a＋c|＋|b＋c|≤2；综上所述，|asinx＋b|的最大值为2.答案：2绝对值不等式的综合应用与证明(2020·杭州学军中学高三模拟)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，当x∈[－1，1]时，|f(x)|≤1.(1)求证：|b|≤1；(2)若f(0)＝－1，f(1)＝1，求实数a的值．【解】(1)证明：由题意知f(1)＝a＋b＋c，f(－1)＝a－b＋c，所以b＝12[f(1)－f(－1)]．因为当x∈[－1，1]时，|f(x)|≤1，所以|f(1)|≤1，|f(－1)|≤1，所以|b|＝12|f(1)－f(－1)|≤12[|f(1)|＋|f(－1)|]≤1.(2)由f(0)＝－1，f(1)＝1可得c＝－1，b＝2－a，所以f(x)＝ax2＋(2－a)x－1.6当a＝0时，不满足题意，当a≠0时，函数f(x)图象的对称轴为x＝a－22a，即x＝12－1a.因为x∈[－1，1]时，|f(x)|≤1，即|f(－1)|≤1，所以|2a－3|≤1，解得1≤a≤2.所以－12≤12－1a≤0，故|f12－1a|＝|a12－1a2＋(2－a)12－1a－1|≤1.整理得|（a－2）24a＋1|≤1，所以－1≤（a－2）24a＋1≤1，所以－2≤（a－2）24a≤0，又a＞0，所以（a－2）24a≥0，所以（a－2）24a＝0，所以a＝2.(1)研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后数形结合解决是常用的思维方法．(2)对于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x－a|－|x－b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如y＝|x－a|＋|x－b|的函数只有最小值，形如y＝|x－a|－|x－b|的函数既有最大值又有最小值．(3)证明含有绝对值的不等式的思路：①充分利用含绝对值的不等式的性质；②证题过程还应考虑添、拆项的技巧，以上两步骤用活，此类问题可快速破解．1．设不等式|x－2|a(a∈N*)的解集为A，且32∈A，12∉A.(1)求a的值；(2)求函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|的最小值．解：(1)因为32∈A，且12∉A.所以32－2a，且12－2≥a，解得12a≤32，又因为a∈N*，所以a＝1.7(2)因为f(x)＝|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3.当且仅当(x＋1)(x－2)≤0即－1≤x≤2时取到等号，所以f(x)的最小值为3.2．设f(x)＝x2－x＋b，|x－a|＜1，求证：|f(x)－f(a)|＜2(|a|＋1)．证明：f(x)－f(a)＝x2－x－a2＋a＝(x－a)(x＋a－1)，所以|f(x)－f(a)|＝|(x－a)(x＋a－1)|＝|x－a|·|x＋a－1|＜|x＋a－1|＝|x－a＋2a－1|≤|x－a|＋|2a－1|≤|x－a|＋2|a|＋1＜2|a|＋2＝2(|a|＋1)．所以|f(x)－f(a)|＜2(|a|＋1)．[基础题组练]1．(2020·嘉兴期中)不等式1≤|2x－1|＜2的解集为()A.－12，0∪1，32B.－12，32C.－12，0∪1，32D．(－∞，0]∪[1，＋∞)解析：选C.由题意得，－2＜2x－1＜22x－1≥1或2x－1≤－1，解得：－12＜x≤0或1≤x＜32，故不等式的解集是－12，0∪1，32，故选C.2．(2020·温州高三第二次适应性考试)不等式|x－1|＋|x＋1|＜4的解集是()A．{x|x＞－2}B．{x|x＜2}C．{x|x＞0或x＜－2}D．{x|－2＜x＜2}解析：选D.根据题意，原不等式等价于x≤－1，1－x－x－1＜4或－1＜x≤1，1－x＋x＋1＜4或x＞1，x－1＋x＋1＜4，解之取并集即得原不等式的解集为{x|－2＜x＜2}．3．(2020·绍兴高三质量检测)对任意实数x，若