（浙江专用）2021版新高考数学一轮复习 第六章 数列与数学归纳法 6 第6讲 数学归纳法教学案

1第6讲数学归纳法1．数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．2．明确数学归纳法的两步证明数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在n＝k＋1时一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．()(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．()(3)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．()(4)用数学归纳法证明问题时，必须要用归纳假设．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√[教材衍化]1．(选修2­2P99B组T1改编)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n－3)条时，第一步检验n等于()A．1B．2C．3D．4解析：选C.凸n边形边数最小时是三角形，故第一步检验n＝3.2．(选修2­2P96A组T2改编)已知{an}满足an＋1＝a2n－nan＋1，n∈N*，且a1＝2，则a2＝________，a3＝________，a4＝________，猜想an＝________．答案：345n＋1[易错纠偏](1)误认为利用数学归纳法证明时第一步验证的初始值均为n＝1；(2)利用数学归纳法证明时，添加的项出错，或不利用归纳假设．21．用数学归纳法证明“2nn2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()A．2B．3C．5D．6解析：选C.当n＝1时，21＝2＝12＋1，当n＝2时，22＝422＋1＝5，当n＝3时，23＝832＋1＝10，当n＝4时，24＝1642＋1＝17，当n＝5时，25＝3252＋1＝26，当n＝6时，26＝6462＋1＝37，故起始值n0应取5.2．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从n＝k到n＝k＋1，左边需增添的代数式是______________．解析：当n＝k时，待证等式左边＝1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，当n＝k＋1时，待证等式左边＝1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)，所以从n＝k到n＝k＋1，左边需增添的代数式是(2k＋2)＋(2k＋3)．答案：(2k＋2)＋(2k＋3)用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n（2n＋2）＝n4（n＋1）(n∈N*)．【证明】(1)当n＝1时，左边＝12×1×（2×1＋2）＝18，右边＝14×（1＋1）＝18.左边＝右边，所以等式成立．(2)假设n＝k(k∈N*且k≥1)时等式成立，即有12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k（2k＋2）＝k4（k＋1），则当n＝k＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k（2k＋2）＋12（k＋1）[2（k＋1）＋2]＝k4（k＋1）＋14（k＋1）（k＋2）＝k（k＋2）＋14（k＋1）（k＋2）3＝（k＋1）24（k＋1）（k＋2）＝k＋14（k＋2）＝k＋14（k＋1＋1）.所以当n＝k＋1时，等式也成立，由(1)(2)可知，对于一切n∈N*等式都成立．用数学归纳法证明恒等式的注意事项(1)明确初始值n0的取值并验证n＝n0时等式成立．(2)由n＝k证明n＝k＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标．(3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法．(2020·温州七校联考)已知数列{an}的通项公式为an＝1＋12＋13＋…＋1n，记Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，用数学归纳法证明Sn＝(n＋1)an－n.证明：当n＝1时，a1＝1，S1＝a1＝1，满足条件．假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，Sk＝(k＋1)ak－k成立，则当n＝k＋1时，因为ak＝1＋12＋13＋…＋1k＝1＋12＋13＋…＋1k＋1k＋1－1k＋1＝ak＋1－1k＋1，所以Sk＋1＝Sk＋ak＋1＝(k＋1)ak－k＋ak＋1＝(k＋1)(ak＋1－1k＋1)－k＋ak＋1＝(k＋1)ak＋1－1－k＋ak＋1＝(k＋2)ak＋1－(1＋k)．从而Sn＝(n＋1)an－n成立．用数学归纳法证明不等式(2020·衢州模拟)在数列{an}中，已知a1＝a(a2)，且an＋1＝a2n2（an－1）(n∈N*)．(1)用数学归纳法证明：an2(n∈N*)；4(2)求证an＋1an(n∈N*)．【证明】(1)①当n＝1时，a1＝a2，命题成立．②假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，命题成立，即ak2.则当n＝k＋1时，ak＋1－2＝a2k2（ak－1）－2＝（ak－2）22（ak－1）0，所以当n＝k＋1时ak＋12也成立，由①②得，对任意正整数n，都有an2.(2)an＋1－an＝a2n2（an－1）－an＝an（2－an）2（an－1），由(1)可知an20，所以an＋1an.数学归纳法证明不等式的注意事项(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法；(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明．已知数列{an}的各项均为正数，a1＝1，a2n＋1－a2n＝2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明：1a1＋1a2＋1a3＋…＋1an≤2n－1对一切n∈N*恒成立．解：(1)由a2n＋1－a2n＝2得a2n＝2n－1，所以an＝2n－1.(2)证明：①当n＝1时，1＝1成立；当n＝2时，左边右边．②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，1a1＋1a2＋1a3＋…＋1ak2k－1成立，那么当n＝k＋1时，1a1＋1a2＋1a3＋…＋1ak＋1ak＋12k－1＋12k＋12k－1＋22k＋1＋2k－1＝2k＋1，不等式成立．5由①②可得1a1＋1a2＋1a3＋…＋1an≤2n－1对一切n∈N*恒成立．归纳—猜想—证明(2020·宁波效实中学高三期中)已知数列{an}，a1＝3，an＋1＝3an－4an－1(n∈N*)．(1)求a2，a3，a4的值，并猜想{an}的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的猜想．【解】(1)因为a1＝3，且an＋1＝3an－4an－1，所以a2＝3×3－43－1＝52，a3＝3×52－452－1＝73，a4＝3×73－473－1＝94，由此猜想an＝2n＋1n.(2)证明：①当n＝1时，a1＝2×1＋11＝3，满足要求，猜想成立；②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时，猜想成立，即ak＝2k＋1k，那么当n＝k＋1时，ak＋1＝3ak－4ak－1＝3×2k＋1k－42k＋1k－1＝2k＋3k＋1＝2（k＋1）＋1k＋1，这就表明当n＝k＋1时，猜想成立，根据①②可以断定，对所有的正整数该猜想成立，即an＝2n＋1n.“归纳——猜想——证明”的模式“归纳——猜想——证明”的模式是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式．其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用，其关键是归纳、猜想出公式．(2020·宁波市九校联考)已知n∈N*，Sn＝(n＋1)·(n＋2)…(n＋n)，Tn＝2n×1×3×…×(2n－1)．6(1)求S1，S2，S3，T1，T2，T3；(2)猜想Sn与Tn的关系，并用数学归纳法证明．解：(1)S1＝T1＝2，S2＝T2＝12，S3＝T3＝120.(2)猜想：Sn＝Tn(n∈N*)．证明：①当n＝1时，S1＝T1；②假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时，Sk＝Tk，即(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k×1×3×…×(2k－1)，则当n＝k＋1时，Sk＋1＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)…(k＋1＋k－1)(k＋1＋k)·(k＋1＋k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(2k)(2k＋1)(2k＋2)＝2k×1×3×…×（2k－1）k＋1×(2k＋1)(2k＋2)＝2k＋1×1×3×…×(2k－1)(2k＋1)＝Tk＋1.即n＝k＋1时也成立，由①②可知，n∈N*，Sn＝Tn成立．[基础题组练]1．凸n边形有f(n)条对角线，则凸(n＋1)边形的对角线的条数f(n＋1)为()A．f(n)＋n＋1B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1D．f(n)＋n－2解析：选C.边数增加1，顶点也相应增加1个，它与和它不相邻的n－2个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加n－1条．2．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是()A．假设n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3时正确(其中k∈N*)B．假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1时正确(其中k∈N*)C．假设n＝k时正确，再推n＝k＋1时正确(其中k∈N*)D．假设n＝k时正确，再推n＝k＋2时正确(其中k∈N*)解析：选B.因为n为正奇数，所以n＝2k－1(k∈N*)．3．用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋12n－1n(n∈N*，n1)”时，由n＝k(k1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是________．解析：当n＝k时，要证的式子为1＋12＋13＋…＋12k－1k；当n＝k＋1时，要证的式子为1＋12＋13＋…＋12k－1＋12k＋12k＋1＋…＋12k＋1－1k＋1.左边增加了2k项．7答案：2k4．(2020·绍兴模拟)已知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)，经计算得f(4)2，f(8)52，f(16)3，f(32)72，则其一般结论为________．解析：因为f(22)42，f(23)52，f(24)62，f(25)72，所以当n≥2时，有f(2n)n＋22.答案：f(2n)n＋22(n≥2，n∈N*)5．已知数列{an}满足，a1＝1，an＝1an＋1－12.(1)求证：23≤an≤1；(2)求证：|an＋1－an|≤13.证明：(1)由已知得an＋1＝1an＋12，计算a2＝23，a3＝67，a4＝1419，猜想23≤an≤1.下面用数学归纳法证明．①当n＝1时，命题显然成立；②假设n＝k时，有23≤an≤1成立，则当n＝k＋1时，ak＋1＝1ak＋12≤123＋12＜1，ak＋1＝1ak＋12≥11＋12＝23，即当n＝k＋1时也成立，所以对任意n∈N*，都有23≤an≤1.(2)当n＝1时，|a1－a2|＝13，当n≥2时，因为(an＋12)(an－1＋12)＝(an＋12)·1an＝1＋12an≥1＋12＝32，所以|an＋1－an|＝1an＋12－1an－1＋12＝|an－an－1|（an＋12）（an－1＋12）≤23|an－an－1|≤…≤23n－1|a2－a1|＝13·23n－1.6．(2020·温州高考模拟节选)已知数列{an}，{bn}满足a1＝2，b1＝4，且2bn＝an＋an＋1，a2n＋1＝bnbn＋1.8(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4的值；(2)猜想{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论．解：(1)因为2bn＝an＋an＋1，a2n＋1＝bnbn＋1，且a1＝2，b1＝4.令n＝1，得到8＝2＋a2，a22＝4b2解得a2＝6，b2＝9；同理令n＝2，3分别解得a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.(2)证明：猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2.用数学归纳法