2019-2020学年高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.4 正态分布讲义 新人教A版选修2-3

-1-2.4正态分布知识点正态曲线1．正态曲线函数，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为□01正态分布密度曲线，简称□02正态曲线．2．正态曲线的性质(1)曲线位于x轴□03上方，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线□04x＝μ对称；(3)曲线在x＝μ处达到峰值□051σ2π；(4)曲线与x轴之间的面积为□061；(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”．总体分布越集中，如图乙所示：知识点正态分布一般地，如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aX≤b)＝□01abφμ，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布．正态分布完全由参数□02μ和□03σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)，如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)．-2-知识点3σ原则(1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P(μ－σX≤μ＋σ)＝□010.6826；②P(μ－2σX≤μ＋2σ)＝□020.9544；③P(μ－3σX≤μ＋3σ)＝□030.9974.(2)通常服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取□04(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值．正态分布是概率统计中最重要的一种分布，它由参数μ，σ唯一确定，常记作N(μ，σ2)，其中μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可用样本的均值去估计，σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．参数μ，σ可由正态曲线的对称性求得：正态曲线关于x＝μ对称，当x＝μ时达到峰值12πσ.理论上可以证明，正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]内的取值的概率分别为0.6826,0.9544,0.9974，由于正态分布在(－∞，＋∞)内取值的概率为1，可以推出它在区间(μ－2σ，μ＋2σ]之外的取值的概率为0.0456，在区间(μ－3σ，μ＋3σ]之外的取值的概率为0.0026，于是正态变量的取值几乎都在x＝μ三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数φμ，σ(x)中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．()(2)正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的．()(3)正态曲线可以关于y轴对称．()答案(1)×(2)×(3)√2．做一做-3-(1)已知正态分布密度函数为f(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，则该正态分布的均值为________，标准差为________．(2)设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1＞0)和N(μ2，σ22)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有μ1________μ2，σ1________σ2.(3)在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．答案(1)02π(2)＜＜(3)0.8解析(1)对照正态分布密度函数f(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，可得μ＝0，σ＝2π.(2)可知N(μ1，σ21)，N(μ2，σ22)的密度曲线分别关于直线x＝μ1，x＝μ2对称，因此结合所给图象知μ1＜μ2，且N(μ1，σ21)的密度曲线较N(μ2，σ22)的密度曲线“高瘦”，因此σ1＜σ2.(3)可知正态分布N(1，σ2)的密度曲线关于直线x＝1对称．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为0.8.探究1＝0.0013，∴n＝10000，即此次参加数学考试的学生共有10000人．-4-