2021版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第6讲 正弦定理和余弦定理 第2课时 正、余

1第2课时正、余弦定理的综合问题与三角形面积有关的问题(多维探究)角度一计算三角形的面积(1)(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝6，a＝2c，B＝π3，则△ABC的面积为．(2)(2020·福建五校第二次联考)在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2＋b2－c2＝3ab，且acsinB＝23sinC，则△ABC的面积为．【解析】(1)法一：因为a＝2c，b＝6，B＝π3，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccosπ3，得c＝23，所以a＝43，所以△ABC的面积S＝12acsinB＝12×43×23×sinπ3＝63.法二：因为a＝2c，b＝6，B＝π3，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccosπ3，得c＝23，所以a＝43，所以a2＝b2＋c2，所以A＝π2，所以△ABC的面积S＝12×23×6＝63.(2)因为a2＋b2－c2＝3ab，所以由余弦定理得cosC＝a2＋b2－c22ab＝3ab2ab＝32，又0＜C＜π，所以C＝π6.因为acsinB＝23sinC，所以结合正弦定理可得abc＝23c，所以ab＝23.故S△ABC＝12absinC＝12×23sinπ6＝32.【答案】(1)63(2)32求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积；(2)若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面2积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．角度二已知三角形的面积解三角形(2020·湖南五市十校共同体联考改编)已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，(3b－a)cosC＝ccosA，c是a，b的等比中项，且△ABC的面积为32，则ab＝，a＋b＝．【解析】因为(3b－a)cosC＝ccosA，所以利用正弦定理可得3sinBcosC＝sinAcosC＋sinCcosA＝sin(A＋C)＝sinB．又因为sinB≠0，所以cosC＝13，则C为锐角，所以sinC＝223.由△ABC的面积为32，可得12absinC＝32，所以ab＝9.由c是a，b的等比中项可得c2＝ab，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcosC，所以(a＋b)2＝113ab＝33，所以a＋b＝33.【答案】933已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．[注意]正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用．1．(2020·济南市模拟考试)在△ABC中，AC＝5，BC＝10，cosA＝255，则△ABC的面积为()A.52B．5C．10D．102解析：选A.由AC＝5，BC＝10，BC2＝AB2＋AC2－2AC·ABcosA，得AB2－4AB－5＝0，解得AB＝5，而sinA＝1－cos2A＝55，故S△ABC＝12×5×5×55＝52.选A.2．(2020·长沙市统一模拟考试)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin(A＋B)＝csinB＋C2.(1)求A；3(2)若△ABC的面积为3，周长为8，求a.解：(1)由题设得asinC＝ccosA2，由正弦定理得sinAsinC＝sinCcosA2，所以sinA＝cosA2，所以2sinA2cosA2＝cosA2，所以sinA2＝12，所以A＝60°.(2)由题设得12bcsinA＝3，从而bc＝4.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得a2＝(b＋c)2－12.又a＋b＋c＝8，所以a2＝(8－a)2－12，解得a＝134.三角形面积或周长的最值(范围)问题(师生共研)(2019·高考全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asinA＋C2＝bsinA.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．【解】(1)由题设及正弦定理得sinAsinA＋C2＝sinBsinA.因为sinA≠0，所以sinA＋C2＝sinB.由A＋B＋C＝180°，可得sinA＋C2＝cosB2，故cosB2＝2sinB2cosB2.因为cosB2≠0，故sinB2＝12，因此B＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝34a.由正弦定理得a＝csinAsinC＝sin（120°－C）sinC＝32tanC＋12.由于△ABC为锐角三角形，故0°A90°，0°C90°.由(1)知A＋C＝120°，4所以30°C90°，故12a2，从而38S△ABC32.因此，△ABC面积的取值范围是38，32.求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题在解决求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题时，一般将其转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解．(一题多解)(2020·福州市质量检测)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若角A，B，C成等差数列，且b＝32.(1)求△ABC外接圆的直径；(2)求a＋c的取值范围．解：(1)因为角A，B，C成等差数列，所以2B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝π，所以B＝π3.根据正弦定理得，△ABC的外接圆直径2R＝bsinB＝32sinπ3＝1.(2)法一：由B＝π3，知A＋C＝2π3，可得0＜A＜2π3.由(1)知△ABC的外接圆直径为1，根据正弦定理得，asinA＝bsinB＝csinC＝1，所以a＋c＝sinA＋sinC＝sinA＋sin2π3－A＝332sinA＋12cosA＝3sinA＋π6.因为0＜A＜2π3，所以π6＜A＋π6＜5π6.所以12＜sinA＋π6≤1，5从而32＜3sinA＋π6≤3，所以a＋c的取值范围是32，3.法二：由(1)知，B＝π3，b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－3ac≥(a＋c)2－3a＋c22＝14(a＋c)2(当且仅当a＝c时，取等号)，因为b＝32，所以(a＋c)2≤3，即a＋c≤3，又三角形两边之和大于第三边，所以32＜a＋c≤3，所以a＋c的取值范围是32，3.解三角形与三角函数的综合应用(师生共研)(2020·湖南省五市十校联考)已知向量m＝(cosx，sinx)，n＝(cosx，3cosx)，x∈R，设函数f(x)＝m·n＋12.(1)求函数f(x)的解析式及单调递增区间；(2)设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，若f(A)＝2，b＋c＝22，△ABC的面积为12，求a的值．【解】(1)由题意知，f(x)＝cos2x＋3sinxcosx＋12＝sin2x＋π6＋1.令2x＋π6∈－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z，解得x∈－π3＋kπ，π6＋kπ，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为－π3＋kπ，π6＋kπ，k∈Z.(2)因为f(A)＝sin2A＋π6＋1＝2，所以sin2A＋π6＝1.因为0＜A＜π，所以π6＜2A＋π6＜13π6，所以2A＋π6＝π2，即A＝π6.由△ABC的面积S＝12bcsinA＝12，得bc＝2，6又b＋c＝22，所以a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－2bc(1＋cosA)，解得a＝3－1.标注条件，合理建模解决三角函数的应用问题，无论是实际应用问题还是三角函数与解三角形相结合的问题，关键是准确找出题中的条件并在三角形中进行准确标注，然后根据条件和所求建立相应的数学模型，转化为可利用正弦定理或余弦定理解决的问题．△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2a－2ccosB.(1)求角C的大小；(2)求3cosA＋sinB＋π3的最大值，并求出取得最大值时角A，B的值．解：(1)法一：在△ABC中，由正弦定理可知sinB＝2sinA－2sinCcosB，又A＋B＋C＝π，则sinA＝sin(π－(B＋C))＝sin(B＋C)，于是有sinB＝2sin(B＋C)－2sinCcosB＝2sinBcosC＋2cosBsinC－2sinCcosB，整理得sinB＝2sinBcosC，又sinB≠0，则cosC＝12，因为0Cπ，则C＝π3.法二：由题可得b＝2a－2c·a2＋c2－b22ac，整理得a2＋b2－c2＝ab，即cosC＝12，因为0Cπ，则C＝π3.(2)由(1)知C＝π3，则B＋π3＝π－A，于是3cosA＋sinB＋π3＝3cosA＋sin(π－A)＝3cosA＋sinA＝2sinA＋π3，因为A＝2π3－B，所以0A2π3，所以π3A＋π3π，故当A＝π6时，2sinA＋π3的最大值为2，此时B＝π2.7[基础题组练]1．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝7，c＝4，cosA＝74，则△ABC的面积等于()A．37B.372C．9D．92解析：选B.因为cosA＝74，则sinA＝34，所以S△ABC＝12×bcsinA＝372，故选B.2．在△ABC中，已知C＝π3，b＝4，△ABC的面积为23，则c＝()A．27B.7C．22D．23解析：选D.由S＝12absinC＝2a×32＝23，解得a＝2，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝12，故c＝23.3．(2020·河南三市联考)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，sinA∶sinB＝1∶3，c＝2cosC＝3，则△ABC的周长为()A．3＋33B．23C．3＋23D．3＋3解析：选C.因为sinA∶sinB＝1∶3，所以b＝3a，由余弦定理得cosC＝a2＋b2－c22ab＝a2＋（3a）2－c22a×3a＝32，又c＝3，所以a＝3，b＝3，所以△ABC的周长为3＋23，故选C.4．(2020·湖南师大附中4月模拟)若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝2，c＝5，△ABC的面积S＝52cosA，则a＝()A．1B.5C.13D．17解析：选A.因为b＝2，c＝5，S＝52cosA＝12bcsinA＝5sinA，所以sinA＝12cosA.8所以sin2A＋cos2A＝14cos2A＋cos2A＝54cos2A＝1.易得cosA＝255.所以a2＝b2＋c2－2bccosA＝4＋5－2×2×5×255＝9－8＝1，所以a＝1.故选A.5．(2020·开封市定位考试)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为43，且2bcosA＋a＝2c，a＋c＝8，则其周长为()A．10B．12C．8＋3D．8＋23解析：选B.因为△ABC的面积为43，所以12acsinB＝43.因为2bcosA＋a＝2c，所以由正弦定理得2sinBcosA＋sinA＝2sinC，又A＋B＋C＝π，所以2sinBcosA＋sinA＝2sinAcosB＋2cosAsinB，所以sinA＝2cosB·sinA，因为sinA≠0，所以cosB＝12，因为0＜B＜π，所以B＝π3，所以ac＝16，又a＋c＝8，所以a＝c＝4，所以△ABC为正三角形，所以△ABC的周长为3×4＝12.故选B.6．在△ABC中，A＝π4，b2sinC＝42sinB，则△ABC的面积为．解析：因为b2sinC＝42sinB，所以b2c＝42b，所以bc＝42，S△ABC＝12bcsinA＝12×42×22＝2.答案：27．(2020·江西赣州五校协作体期中改编)在△ABC中，A