（浙江专用）2021版新高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 2 第2讲 同角三角函数的基本

1第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．(2)商数关系：tanα＝sinαcosα．[基本关系式变形]sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，sinα＝tanαcosα，cosα＝sinαtanα，(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.2．六组诱导公式组数一二三四五六角α＋2kπ(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sinα－sin__α－sinαsinαcos__αcosα余弦cosα－cosαcos__α－cosαsinα－sin__α正切tanαtanα－tanα－tan__α口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限简记口诀：把角统一表示为kπ2±α(k∈Z)的形式，奇变偶不变，符号看象限．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意的角α，β，都有sin2α＋cos2β＝1.()(2)若α∈R，则tanα＝sinαcosα恒成立．()(3)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．()(4)若cos(nπ－θ)＝13(n∈Z)，则cosθ＝13.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×[教材衍化]21．(必修4P19例6改编)若sinα＝55，π2απ，则tanα＝________．解析：因为π2απ，所以cosα＝－1－sin2α＝－255，所以tanα＝sinαcosα＝－12.答案：－122．(必修4P22B组T3改编)已知tanα＝2，则sinα＋cosαsinα－cosα的值为________．解析：原式＝tanα＋1tanα－1＝2＋12－1＝3.答案：33．(必修4P28练习T7改编)化简cosα－π2sin52π＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________．解析：原式＝sinαcosα·(－sinα)·cosα＝－sin2α.答案：－sin2α[易错纠偏](1)不会运用消元的思想；(2)π±α的形式没有把k按奇数和偶数进行分类讨论导致出错．1．已知tanx＝2，则1＋sin2x的值为________．解析：1＋sin2x＝cos2x＋2sin2x＝cos2x＋2sin2xsin2x＋cos2x＝1＋2tan2x1＋tan2x＝95.答案：952．已知A＝sin（kπ＋α）sinα＋cos（kπ＋α）cosα(k∈Z)，则A的值构成的集合是________．解析：k＝2n(n∈Z)时，A＝sin（2nπ＋α）sinα＋cos（2nπ＋α）cosα3＝sinαsinα＋cosαcosα＝2.当k＝2n＋1(n∈Z)时，A＝sin（π＋α）sinα＋cos（π＋α）cosα＝－sinαsinα＋－cosαcosα＝－1＋(－1)＝－2.答案：{2，－2}同角三角函数的基本关系式(高频考点)同角三角函数的基本关系式的应用很广泛，也比较灵活．高考中常以选择题、填空题的形式出现．主要命题角度有：(1)知弦求弦；(2)知弦求切；(3)知切求弦．角度一知弦求弦(2020·丽水模拟)已知sinθ＋cosθ＝43，θ∈(0，π4)，则sinθ－cosθ的值为()A.23B.13C．－23D．－13【解析】(sinθ＋cosθ)2＝169，所以1＋2sinθcosθ＝169，所以2sinθcosθ＝79，由(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝1－79＝29，可得sinθ－cosθ＝±23.又因为θ∈(0，π4)，sinθcosθ，所以sinθ－cosθ＝－23.【答案】C角度二知弦求切已知cosπ2＋α＝35，且α∈π2，3π2，则tanα＝()A.43B.34C．－34D．±344【解析】因为cosπ2＋α＝35，所以sinα＝－35，显然α在第三象限，所以cosα＝－45，故tanα＝34.【答案】B角度三知切求弦若tanα＝34，则cos2α＋2sin2α＝()A.6425B.4825C．1D.1625【解析】法一：由tanα＝sinαcosα＝34，cos2α＋sin2α＝1，得sinα＝35，cosα＝45或sinα＝－35，cosα＝－45，则sin2α＝2sinαcosα＝2425，则cos2α＋2sin2α＝1625＋4825＝6425.法二：cos2α＋2sin2α＝cos2α＋4sinαcosαcos2α＋sin2α＝1＋4tanα1＋tan2α＝1＋31＋916＝6425.【答案】A同角三角函数基本关系式的应用技巧(1)知弦求弦：利用诱导公式及平方关系sin2α＋cos2α＝1求解．(2)知弦求切：常通过平方关系sin2α＋cos2α＝1及商数关系tanα＝sinαcosα结合诱导公式进行求解．(3)知切求弦：通常先利用商数关系转化为sinα＝tanα·cosα的形式，然后用平方关系求解．若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，如asinα＋bcosαcsinα＋dcosα＝atanα＋bctanα＋d；asin2α＋bcos2α＋csinαcosα＝asin2α＋bcos2α＋csinαcosαsin2α＋cos2α＝atan2α＋b＋ctanαtan2α＋1.51．已知sinα＋cosα＝15，那么角α的终边在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第二或第四象限解析：选D.因为sinα＋cosα＝15，所以两边平方得1＋2sinαcosα＝125，即2sinαcosα＝－2425，所以sinαcosα0，验证可知，角α是第二或第四象限角，故选D.2．已知α是第二象限的角，tanα＝－12，则cosα＝________．解析：因为α是第二象限的角，所以sinα＞0，cosα＜0，由tanα＝－12，得cosα＝－2sinα，代入sin2α＋cos2α＝1中，得5sin2α＝1，所以sinα＝55，cosα＝－255.答案：－255诱导公式的应用(1)sin(－1200°)cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)＝________．(2)已知cosα是方程3x2－x－2＝0的根，且α是第三象限角，则sin（－α＋3π2）cos（3π2＋α）tan2（π－α）cos（π2＋α）sin（π2－α）等于________．(3)已知cos(π6－α)＝23，则sin(α－2π3)＝________．【解析】(1)原式＝－sin1200°cos1290°－cos1020°·sin1050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin120°cos210°－cos300°sin330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＝sin60°cos30°＋cos60°sin30°6＝32×32＋12×12＝1.(2)因为方程3x2－x－2＝0的根为x1＝1，x2＝－23，由题知cosα＝－23，所以sinα＝－53，tanα＝52.所以原式＝－cosαsinαtan2α－sinαcosα＝tan2α＝54.(3)因为π6－α＋α－2π3＝－π2，所以α－2π3＝－π2－π6－α，所以sinα－2π3＝sin－π2－π6－α＝－cosπ6－α＝－23.【答案】(1)1(2)54(3)－23(1)诱导公式用法的一般思路①化大角为小角．②角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍．(2)常见的互余和互补的角①常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等．②常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．(3)三角函数式化简的方向①切化弦，统一名．②用诱导公式，统一角．③用因式分解将式子变形，化为最简．1．若sin(π2＋α)＝－35，且α∈(π2，π)，则sin(π－2α)＝()A.2425B.12257C．－1225D．－2425解析：选D.由sin(π2＋α)＝cosα＝－35，且α∈(π2，π)，得sinα＝45，所以sin(π－2α)＝sin2α＝2sinαcosα＝－2425，选项D正确．2．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x－y＝0上，则sin3π2＋θ＋2cos（π－θ）sinπ2－θ－sin（π－θ）＝________．解析：由题意可知tanθ＝3，原式＝－cosθ－2cosθcosθ－sinθ＝－31－tanθ＝32.答案：323．(2020·宁波高三模拟)已知cos(π＋α)＝－12，求sin[α＋（2n＋1）π]＋sin（π＋α）sin（π－α）cos（α＋2nπ）(n∈Z)．解：因为cos(π＋α)＝－12，所以－cosα＝－12，cosα＝12.sin[α＋（2n＋1）π]＋sin（π＋α）sin（π－α）cos（α＋2nπ）＝sin（α＋2nπ＋π）－sinαsinαcosα＝sin（π＋α）－sinαsinαcosα＝－2sinαsinαcosα＝－2cosα＝－4.[基础题组练]1．计算：sin116π＋cos103π＝()A．－1B．1C．0D.12－32解析：选A.原式＝sin2π－π6＋cos3π＋π3＝－sinπ6＋cosπ＋π3＝－12－cosπ38＝－12－12＝－1.2．已知tan(α－π)＝34，且α∈π2，3π2，则sinα＋π2＝()A.45B．－45C.35D．－35解析：选B.由tan(α－π)＝34⇒tanα＝34.又因为α∈π2，3π2，所以cosα＝－45，所以α为第三象限的角，sinα＋π2＝cosα＝－45.3．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|π2，则θ等于()A．－π6B．－π3C.π6D.π3解析：选D.因为sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，所以－sinθ＝－3cosθ，所以tanθ＝3.因为|θ|π2，所以θ＝π3.4．已知sin(3π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sinαcosα等于()A．－25B.25C.25或－25D．－15解析：选A.因为sin(3π－α)＝sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，所以sinα＝－2cosα，所以tanα＝－2，当α在第二象限时，sinα＝255cosα＝－55，所以sinαcosα＝－25；9当α在第四象限时，sinα＝－255cosα＝55，所以sinαcosα＝－25，综上，sinαcosα＝－25，故选A.5．已知sinα＋3cosα3cosα－sinα＝5，则sin2α－sinαcosα的值为()A．－15B．－25C.15D.25解析：选D.依题意得tanα＋33－tanα＝5，所以tanα＝2.所以sin2α－sinαcosα＝sin2α－sinαcosαsin2α＋cos2α＝tan2α－tanαtan2α＋1＝22－222＋1＝25.6．已知sinα＋3cosα＋1＝0，则tanα的值为()A.43或34B．－34或－43C.34或－43D．－43或不存在解析：选D.由sinα＝－3cosα－1，可得(－3cosα－1)2＋cos2α＝1，即5cos2α＋3cosα＝0，解得cosα＝－35或cosα＝0，当cosα＝0时，tanα的值不存在，当cosα＝－35时，sinα＝－3cosα－1＝45，tanα＝sinαcosα＝－43，故选D.7．化简sin（π2＋α）cos