2021版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第4讲 三角函数的图象与性质 第2课时 三角

1第2课时三角函数的图象与性质(二)三角函数的周期性与奇偶性(师生共研)(1)函数f(x)＝2cos2x－π4－1是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为π2的奇函数D．最小正周期为π2的偶函数(2)(2020·湖北宜昌联考)已知函数y＝2sin(ωx＋θ)(0＜θ＜π)为偶函数，其图象与直线y＝2的某两个交点的横坐标分别为x1，x2，|x2－x1|的最小值为π，则()A．ω＝2，θ＝π2B．ω＝12，θ＝π2C．ω＝12，θ＝π4D．ω＝2，θ＝π4【解析】(1)因为f(x)＝2cos2x－π4－1＝cos2x－π4＝cos2x－π2＝sin2x.所以T＝2π2＝π，f(x)＝sin2x是奇函数．故函数f(x)是最小正周期为π的奇函数．(2)因为函数y＝2sin(ωx＋θ)的最大值为2，且其图象与直线y＝2的某两个交点的横坐标分别为x1，x2，|x2－x1|的最小值为π，所以函数y＝2sin(ωx＋θ)的最小正周期是π.由2πω＝π得ω＝2.因为函数y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数，所以θ＝π2＋kπ，k∈Z.又0＜θ＜π，所以θ＝π2，故选A.【答案】(1)A(2)A2(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式．(2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω0)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为2πω，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为πω求解．1．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是()A．y＝sin2x＋π2B．y＝cos2x＋π2C．y＝sin2x＋cos2xD．y＝sinx＋cosx解析：选B.y＝sin2x＋π2＝cos2x是偶函数，不符合题意；y＝cos2x＋π2＝－sin2x是T＝π的奇函数，符合题意；同理C，D均不是奇函数．2．(2020·石家庄市质量检测)设函数f(x)＝sinωx＋φ－π4ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则()A．f(x)在0，π2上单调递增B．f(x)在－π2，π2上单调递减C．f(x)在0，π2上单调递减D．f(x)在－π2，π2上单调递增解析：选A.f(x)＝sinωx＋φ－π4，因为f(x)的最小正周期为π，所以ω＝2，所以f(x)＝sin2x＋φ－π4.f(－x)＝f(x)，即f(x)为偶函数，所以φ－π4＝kπ＋π2(k∈Z)，所以φ＝kπ＋3π4(k∈Z)．因为|φ|＜π2，所以φ＝－π4，所以f(x)＝－cos2x，所以f(x)在0，π2上单调递增，在－π2，0上单调递减，故选A.三角函数的对称性(师生共研)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象关于直线x＝π3对称，它的最小正周期为π，则函数f(x)图象的一个对称中心是()3A.π3，1B.π12，0C.5π12，0D．－π12，0【解析】由题意可得2πω＝π，所以ω＝2，可得f(x)＝Asin(2x＋φ)，再由函数图象关于直线x＝π3对称，故fπ3＝Asin2π3＋φ＝±A，故可取φ＝－π6.故函数f(x)＝Asin2x－π6，令2x－π6＝kπ，k∈Z，可得x＝kπ2＋π12，k∈Z，故函数的对称中心为kπ2＋π12，0，k∈Z.所以函数f(x)图象的一个对称中心是π12，0.【答案】B三角函数图象的对称轴和对称中心的求解思路和方法(1)思路：函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴和对称中心可结合y＝sinx图象的对称轴和对称中心求解．(2)方法：利用整体代换的方法求解，令ωx＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，解得x＝（2k＋1）π－2φ2ω，k∈Z，即对称轴方程；令ωx＋φ＝kπ，k∈Z，解得x＝kπ－φω，k∈Z，即对称中心的横坐标(纵坐标为0)．对于y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)，可以利用类似方法求解(注意y＝Atan(ωx＋φ)的图象无对称轴)．1．(2019·高考全国卷Ⅱ)若x1＝π4，x2＝3π4是函数f(x)＝sinωx(ω＞0)两个相邻的极值点，则ω＝()A．2B.32C．1D．124解析：选A.依题意得函数f(x)的最小正周期T＝2πω＝2×(3π4－π4)＝π，解得ω＝2，选A.2．已知函数f(x)＝|sinx||cosx|，则下列说法错误的是()A．f(x)的图象关于直线x＝π2对称B．f(x)的周期为π2C．(π，0)是f(x)的一个对称中心D．f(x)在区间π4，π2上单调递减解析：选A.f(x)＝|sinx||cosx|＝|sinxcosx|＝12·|sin2x|，则fπ2＝12|sinπ|＝0，则f(x)的图象不关于直线x＝π2对称，故A错误；函数周期T＝12×2π2＝π2，故B正确；f(π)＝12|sin2π|＝0，则(π，0)是f(x)的一个对称中心，故C正确；当x∈π4，π2时，2x∈π2，π，此时sin2x＞0，且sin2x为减函数，故D正确．三角函数的图象与性质的综合问题(师生共研)已知函数f(x)＝sin(2π－x)·sin3π2－x－3cos2x＋3.(1)求f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程；(2)当x∈0，7π12时，求f(x)的最小值和最大值．【解】(1)由题意，得f(x)＝(－sinx)(－cosx)－3cos2x＋3＝sinxcosx－3cos2x＋3＝12sin2x－32(cos2x＋1)＋3＝12sin2x－32cos2x＋32＝sin2x－π3＋32，所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π；令2x－π3＝kπ＋π2(k∈Z)，则x＝kπ2＋5π12(k∈Z)，故所求图象的对称轴方程为x＝kπ2＋5π12(k∈Z)．(2)当0≤x≤7π12时，－π3≤2x－π3≤5π6，5由函数图象(图略)可知，－32≤sin2x－π3≤1，即0≤sin(2x－π3)＋32≤2＋32.故f(x)的最小值为0，最大值为2＋32.解决三角函数图象与性质综合问题的方法先将y＝f(x)化为y＝asinx＋bcosx的形式，然后用辅助角公式化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．已知函数f(x)＝2sin2x－π4.(1)求函数的最大值及相应的x值的集合；(2)求函数f(x)的图象的对称轴方程与对称中心．解：(1)当sin2x－π4＝1时，2x－π4＝2kπ＋π2，k∈Z，即x＝kπ＋3π8，k∈Z，此时函数取得最大值为2；故f(x)的最大值为2，使函数取得最大值的x的集合为xx＝3π8＋kπ，k∈Z.(2)由2x－π4＝π2＋kπ，k∈Z，得x＝3π8＋12kπ，k∈Z.即函数f(x)的图象的对称轴方程为x＝3π8＋12kπ，k∈Z.由2x－π4＝kπ，k∈Z得x＝π8＋12kπ，k∈Z，即对称中心为π8＋12kπ，0，k∈Z.[基础题组练]1．函数y＝3sin2x＋cos2x的最小正周期为()A.π2B.2π3C．πD．2π解析：选C.因为y＝232sin2x＋12cos2x＝62sin2x＋π6，所以T＝2π2＝π.2．f(x)＝tanx＋sinx＋1，若f(b)＝2，则f(－b)＝()A．0B．3C．－1D．－2解析：选A.因为f(b)＝tanb＋sinb＋1＝2，即tanb＋sinb＝1.所以f(－b)＝tan(－b)＋sin(－b)＋1＝－(tanb＋sinb)＋1＝0.3．若π8，0是函数f(x)＝sinωx＋cosωx图象的一个对称中心，则ω的一个取值是()A．2B．4C．6D．8解析：选C.因为f(x)＝sinωx＋cosωx＝2sinωx＋π4，由题意，知fπ8＝2sinωπ8＋π4＝0，所以ωπ8＋π4＝kπ(k∈Z)，即ω＝8k－2(k∈Z)，当k＝1时，ω＝6.4．关于函数y＝tan(2x－π3)，下列说法正确的是()A．是奇函数B．在区间(0，π3)上单调递减C．(π6，0)为其图象的一个对称中心D．最小正周期为π解析：选C.函数y＝tan(2x－π3)是非奇非偶函数，A错；在区间(0，π3)上单调递增，B错；最小正周期为π2，D错；由2x－π3＝kπ2，k∈Z得x＝kπ4＋π6，当k＝0时，x＝π6，所以它的图象关于(π6，0)中心对称，故选C.5．已知函数f(x)＝2sinωx＋π6(ω＞0)的最小正周期为4π，则该函数的图象()A．关于点π3，0对称B．关于点5π3，0对称7C．关于直线x＝π3对称D．关于直线x＝5π3对称解析：选B.函数f(x)＝2sinωx＋π6(ω＞0)的最小正周期是4π，而T＝2πω＝4π，所以ω＝12，即f(x)＝2sin12x＋π6.函数f(x)的对称轴为x2＋π6＝π2＋kπ，解得x＝23π＋2kπ(k∈Z)；令k＝0得x＝23π.函数f(x)的对称中心的横坐标为x2＋π6＝kπ，解得x＝2kπ－13π(k∈Z)，令k＝1得f(x)的一个对称中心53π，0.6．若函数y＝cosωx＋π6(ω∈N*)图象的一个对称中心是π6，0，则ω的最小值为．解析：由题意知πω6＋π6＝kπ＋π2(k∈Z)⇒ω＝6k＋2(k∈Z)，又ω∈N*，所以ωmin＝2.答案：27．(2020·无锡期末)在函数①y＝cos|2x|；②y＝|cos2x|；③y＝cos2x＋π6；④y＝tan2x中，最小正周期为π的所有函数的序号为．解析：①y＝cos|2x|＝cos2x，最小正周期为π；②y＝cos2x，最小正周期为π，由图象知y＝|cos2x|的最小正周期为π2；③y＝cos2x＋π6的最小正周期T＝2π2＝π；④y＝tan2x的最小正周期T＝π2.因此①③的最小正周期为π.答案：①③8．已知函数f(x)＝2sin(ωx－π6)＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，其中ω为常数，且ω∈(1，2)，则函数f(x)的最小正周期为．解析：由函数f(x)＝2sin(ωx－π6)＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，可得ωπ－π6＝kπ＋π2，k∈Z，所以ω＝k＋23，又ω∈(1，2)，所以ω＝53，从而得函数f(x)的最小正周期为2π53＝6π5.答案：6π589．已知函数f(x)＝2cos2x－π6＋2sinx－π4·sinx＋π4.求函数f(x)的最小正周期和图象的对称中心．解：因为f(x)＝2cos2x－π6＋2sinx－π4·sinx＋π4＝cos2x－π3＋1＋2sinx－π4sinx＋π2－π4＝cos2x－π3＋2sinx－π4cosx－π4＋1＝12cos2x＋32sin2x＋sin2x－π2＋1＝32sin2x－12cos2x＋1＝sin2x－π6＋1，所以f(x)的最小正周期为2π2＝π，图象的对称中心为π12＋kπ2，1，k∈Z.10．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)0φ2π3的最小正周期为π.(1)求当f(x