2020年高中数学 第一章 立体几何初步 1.1 空间几何体 1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面

11.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积课时跟踪检测[A组基础过关]1．一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，那么此几何体的表面积(单位：cm2)是()A．102cm2B．128cm2C．144cm2D．184cm2解析：由三视图可知，该几何体是正四棱锥，其中底面边长为8cm，斜高为5cm，∴该几何体的表面积为8×8＋12×4×8×5＝144cm2，故选C．答案：C2．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是()A．3πB．33πC．6πD．9π解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则l＝2r.由题意知，轴截面面积S＝34×(2r)2＝3×r2＝3.∴r＝1，故圆锥的全面积S全＝πr·l＋πr2＝3π.故选A．答案：A3．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是()A．1＋2π2πB．1＋4π4πC．1＋2ππD．1＋4π2π解析：设圆柱的底面半径为r，母线长为l，则由题意得2πr＝l.此圆柱S侧＝l2＝(2πr)2＝4π2r2，S全＝S侧＋2S底＝4π2r2＋2πr2，S全S侧＝4π2r2＋2πr24π2r2＝1＋2π2π.故选A．2答案：A4．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为()A．316B．916C．38D．932解析：如图为球的截面图，球的半径为OA，截面圆的半径为AC，OC＝12OA，∴AC＝OA2－14OA2＝32OA.∴S截S球＝π·AC24π·OA2＝π·34OA24π·OA2＝316.故选A．答案：A5．一个直棱柱的底面是菱形，棱柱的体对角线长分别是9cm和15cm，高是5cm，则这个直棱柱的侧面积是()A．160cm2B．320cm2C．4089cm2D．8089cm2解析：设底面边长为a，则由已知可得4a2＝(92－52)＋(152－52)，解得a＝8，∴直棱柱的侧面积为4×8×5＝160cm2，故选A．答案：A6．底边和侧棱长均为3的三棱锥的表面积为________．解析：如图所示，在三棱锥A－BCD中，取CD的中点E，连接AE，知AE为斜高．AE＝AC2－CE2＝3－34＝32，∴三棱锥的表面积为4×12×3×32＝33.答案：3337．一个圆锥的底面半径为2，高为23，则圆锥的侧面积为________．解析：S侧＝πrl＝π×2×22＋232＝8π.答案：8π8．正四棱锥底面边长为4cm，高与斜高的夹角为30°，求正四棱锥的侧面积和表面积．解：如图所示，正棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成Rt△POE.因为OE＝2cm，∠OPE＝30°，所以PE＝OEsin30°＝4(cm)．因此S侧＝12ch′＝12×4×4×4＝32(cm2)，S表＝S侧＋S底＝32＋16＝48(cm2)．[B组技能提升]1．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，三棱锥D1－AB1C的表面积与正方体的表面积的比为()A．1∶2B．1∶3C．1∶2D．3∶2解析：设正方体的棱长为a，则S正方体＝6a2，正四面体D1－AB1C的棱长为2a，则S正四面体＝4×34×(2a)2＝23a2，所以S四面体S正方体＝236＝13.故选B．答案：B2.某个几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球的表面积是()4A．4πB．28π3C．44π3D．20π解析：由三视图可知该几何体是直三棱柱，底面是等边三角形，边长为2，高为2，设外接球的半径为R，底面截面圆的半径为r，∴r＝23·3＝233，∴R2＝r2＋12＝43＋1＝73，∴S球＝4πR2＝28π3，故选B．答案：B3．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于________．解析：由正视图知三棱柱底面边长a＝2，高h＝1，∴S侧＝3×2×1＝6，S底＝2×34×22＝23，∴表面积为6＋23.答案：6＋234．已知某几何体的直观图及三视图如图所示，三视图的轮廓均为正方形，则该几何体的表面积为________．5解析：因为几何体的三视图的轮廓均为正方形，将几何体放入正方体中，如图所示，几何体EF－ABCD.SABCD＝2×2＝4，S△AED＝12×2×2＝2，S△ABF＝S△BFC＝S△EDC＝2，S△AEF＝12×22×32×22＝23，S△EFC＝S△AEF＝23，∴S表＝4＋2×4＋23＋23＝12＋43.答案：12＋435．一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)：(1)试画出它的直观图；(2)求它的表面积．解：(1)作出直观图如图所示，是底面为直角梯形的四棱柱．(2)此几何体的表面积为S＝1＋2×12×(1＋2)×1＋1×2＋1＋1×2＝7＋2(m2)．6．已知一个几何体的三视图如图所示．6(1)求此几何体的表面积；(2)在如图的主视图中，如果点A为所在线段中点，点B为顶点，求在几何体侧面上从点A到点B的最短路径的长．解：(1)由三视图知：此几何体是一个圆锥加一个圆柱，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和．S圆锥侧＝π×2×22＝42π，S圆柱侧＝(2π×2)×4＝16π，S圆柱底＝4π，所以S表＝42π＋16π＋4π＝4(2＋5)π.(2)沿A点与B点所在母线剪开圆柱侧面，如图：则AB＝EA2＋EB2＝22＋2π2＝21＋π2，所以从A点到B点在侧面上的最短路径的长为21＋π2.